勾股定理的应用8种高频考点讲义-2025-2026学年下学期人教版八年级数学下册

勾股定理的应用8种高频考点讲义 勾股定理的应用8种高频考点讲义 考点目录 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 勾股定理的应用：旗杆高度问题 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 勾股定理的应用：航海问题 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 勾股定理的应用：选址问题 勾股定理的应用：最短路径问题 考点一 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础必考题，考查梯子斜靠墙面时，底端滑动与顶端滑落的高度计算，核心是直角三角形边长的动态变化，侧重勾股定理的两次应用。 2.方法技能： ①初始状态：梯子为斜边，墙高、地面距墙底为直角边，用勾股定理求未知边； ②滑动后：梯子长度不变（斜边不变），结合底端滑动距离，再次用勾股定理求新直角边； ③作差得顶端滑落/底端滑动的实际距离。 【例题分析】 例1．（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑至C点．求梯子底端B外移距离的长度； 【答案】底端B外移距离的长度为 【详解】解：在中，，， ∴． 在中，，， ， 梯子底端外移的距离为． 例2．（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 变式2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 考点二 勾股定理的应用：旗杆高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础常考题，全题型覆盖，考查旗杆（垂直地面）、拉绳、地面绳端距旗杆底构成的直角三角形计算，含绳端落地、绳端离地两种变式，侧重直角边与斜边的关系分析。 2.方法技能 ①旗杆为直角边，地面距离为直角边，拉绳为斜边； ②绳端落地：直接用求旗杆高；③绳端离地：设旗杆高为，则绳长为下垂长度，列勾股定理方程下垂长度求解。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．    【答案】这栋居民楼的高度为米． 【详解】解：设米，则米，米， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 答：这栋居民楼的高度为米． 例2．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)米 【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 米， 焊接的钢索的长为米． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 【答案】(1)风筝的高度是 (2)还需要放出风筝线14米 (3)，乙 【详解】（1）解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 即则还需要放出风筝线14米． （3）由题意得，， ∴ ∴同学乙所放风筝的垂直高度是m， ∵， ∴乙的风筝更高， 故答案为：，乙 考点三 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础必考题，考查大树折断后，折段部分为斜边、地面残距为直角边、剩余树身为直角边的计算，核心是折断后直角三角形的边长求和。 2.方法技能 ①设剩余树身为，地面残距为，折段部分为斜边，用求折段长； ②折断前总高度=剩余树身折段长，注意区分“树顶触地”的直角三角形构成。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 例2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 变式2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 考点四 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础易考题，考查圆柱形水杯（底面直径、高为直角边）与斜放筷子（斜边）的长度计算，含筷子露出长度、筷子完全浸没变式，侧重“直径+高”的直角三角形构造。 2.方法技能 ①水杯底面直径为，杯高为，筷子在杯内的最长长度为斜边； ②筷子露出长度=总筷长，或根据露出长度求杯内筷长再反推未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 【答案】这株荷花的茎长为 【详解】解：由题意可得：设，则， ∵， ∴， 则， 解得：， 答：这株荷花的茎长为． 例2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设铁桶的底面边长， 根据题意，得， 解得（负值已舍去）， 答：铁桶的底面边长； （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴铁棍最少还有露出水面． 变式2．（24-25八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 考点五 勾股定理的应用：航海问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档综合题，选择/解答为主，考查两艘船沿不同方向航行后，求两船距离或航行时间，核心是方位角下的直角三角形构造，常结合匀速航行的路程公式。 2.方法技能 ①根据方位角（如北偏东、南偏西）画示意图，确定直角三角形的两个直角边（两船的航行路程）； ②路程=速度×时间，设未知时间为，用表示直角边长； ③勾股定理列方程，求解距离或。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 例2．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1)，理由见解析 (2)小亮的路线更短 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ， ； （2）解：点D在点C的正北方，点A在B的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ∵ ∴ ∴ ∴， 小亮的路线更短． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【答案】北偏西 【详解】解：∵上午6时出发，到上午8时，我国海警舰艇以每小时海里的速度，橡皮艇以每小时海里的速度， ∴我国海警舰艇行走的路程为海里， 橡皮艇行走的路程为海里， ∴， ∵上午8时两船分别到达点和点，且相距海里， ∴上午8时我国海警舰艇、橡皮艇与P，三个位置成直角三角形， ∴， ∵我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行， ， ∴该橡皮艇的航行方向为北偏西方向． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 考点六 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档应用题，解答题为主，考查汽车过路口/弯道时，结合路程、时间判断是否超速，核心是用勾股定理求实际行驶路程，再计算速度与限速比较。 2.方法技能 ①构造直角三角形，用勾股定理求汽车实际行驶的斜边路程； ②速度=路程÷时间（注意单位统一，如千米/小时、米/秒）；③将计算速度与限速比较，判断是否超速。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 例2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 变式2．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 考点七 勾股定理的应用：选址问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档综合题，选择/解答为主，考查公路、河道旁的站点选址，使距离和/距离满足特定条件，核心是结合实际场景构造直角三角形，求最短距离或定点位置。 2.方法技能 ①根据题意画示意图，确定待选点与已知点的直角三角形关系； ②设未知距离为，用表示直角三角形的三边； ③勾股定理列方程，求解并确定选址位置，验证是否符合实际。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 例2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． (1)求城镇A，B之间的距离． (2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 【答案】(1)千米 (2)中转站P应修建在离点M千米处 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 变式2．（25-26八年级上·重庆·月考）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)基地E距A为，图见解析，的最小值为 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 考点八 勾股定理的应用：最短路径问题 【知识点解析】 1.考向解读：高频中档题，全题型覆盖，考查立体图形（圆柱、正方体、长方体）表面的最短路径，核心是将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形求斜边（最短路径）。 2.方法技能 ①沿棱展开立体图形的两个面，得到平面长方形； ②长方形的长、宽为直角边（由立体图形的棱长决定），最短路径为斜边； ③勾股定理求斜边长度，比较不同展开方式的路径长，取最小值。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 【变式训练】 变式1．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 变式2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理的应用8种高频考点讲义 勾股定理的应用8种高频考点讲义 考点目录 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 勾股定理的应用：旗杆高度问题 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 勾股定理的应用：航海问题 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 勾股定理的应用：选址问题 勾股定理的应用：最短路径问题 考点一 勾股定理的应用：梯子滑落高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础必考题，考查梯子斜靠墙面时，底端滑动与顶端滑落的高度计算，核心是直角三角形边长的动态变化，侧重勾股定理的两次应用。 2.方法技能： ①初始状态：梯子为斜边，墙高、地面距墙底为直角边，用勾股定理求未知边； ②滑动后：梯子长度不变（斜边不变），结合底端滑动距离，再次用勾股定理求新直角边； ③作差得顶端滑落/底端滑动的实际距离。 【例题分析】 例1．（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑至C点．求梯子底端B外移距离的长度； 例2．（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 变式2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 考点二 勾股定理的应用：旗杆高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础常考题，全题型覆盖，考查旗杆（垂直地面）、拉绳、地面绳端距旗杆底构成的直角三角形计算，含绳端落地、绳端离地两种变式，侧重直角边与斜边的关系分析。 2.方法技能 ①旗杆为直角边，地面距离为直角边，拉绳为斜边； ②绳端落地：直接用求旗杆高；③绳端离地：设旗杆高为，则绳长为下垂长度，列勾股定理方程下垂长度求解。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．    例2．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 考点三 勾股定理的应用：大树折断前高度问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础必考题，考查大树折断后，折段部分为斜边、地面残距为直角边、剩余树身为直角边的计算，核心是折断后直角三角形的边长求和。 2.方法技能 ①设剩余树身为，地面残距为，折段部分为斜边，用求折段长； ②折断前总高度=剩余树身折段长，注意区分“树顶触地”的直角三角形构成。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 例2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 变式2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 考点四 勾股定理的应用：水杯中筷子问题 【知识点解析】 1.考向解读：基础易考题，考查圆柱形水杯（底面直径、高为直角边）与斜放筷子（斜边）的长度计算，含筷子露出长度、筷子完全浸没变式，侧重“直径+高”的直角三角形构造。 2.方法技能 ①水杯底面直径为，杯高为，筷子在杯内的最长长度为斜边； ②筷子露出长度=总筷长，或根据露出长度求杯内筷长再反推未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 例2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个底面为的长方体玻璃容器中装满水，先将部分水倒入一个底面为正方形，高为的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了， (1)铁桶的底面边长是多少？（结果保留根号） (2)把一根长100cm的铁棍放入铁桶内，铁棍最少还有多长露出水面． 变式2．（24-25八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 考点五 勾股定理的应用：航海问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档综合题，选择/解答为主，考查两艘船沿不同方向航行后，求两船距离或航行时间，核心是方位角下的直角三角形构造，常结合匀速航行的路程公式。 2.方法技能 ①根据方位角（如北偏东、南偏西）画示意图，确定直角三角形的两个直角边（两船的航行路程）； ②路程=速度×时间，设未知时间为，用表示直角边长； ③勾股定理列方程，求解距离或。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 例2．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 变式2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 考点六 勾股定理的应用：汽车是否超速问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档应用题，解答题为主，考查汽车过路口/弯道时，结合路程、时间判断是否超速，核心是用勾股定理求实际行驶路程，再计算速度与限速比较。 2.方法技能 ①构造直角三角形，用勾股定理求汽车实际行驶的斜边路程； ②速度=路程÷时间（注意单位统一，如千米/小时、米/秒）；③将计算速度与限速比较，判断是否超速。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    例2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式训练】 变式1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 变式2．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 考点七 勾股定理的应用：选址问题 【知识点解析】 1.考向解读：中档综合题，选择/解答为主，考查公路、河道旁的站点选址，使距离和/距离满足特定条件，核心是结合实际场景构造直角三角形，求最短距离或定点位置。 2.方法技能 ①根据题意画示意图，确定待选点与已知点的直角三角形关系； ②设未知距离为，用表示直角三角形的三边； ③勾股定理列方程，求解并确定选址位置，验证是否符合实际。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 例2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为10千米． (1)求城镇A，B之间的距离． (2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 变式2．（25-26八年级上·重庆·月考）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 考点八 勾股定理的应用：最短路径问题 【知识点解析】 1.考向解读：高频中档题，全题型覆盖，考查立体图形（圆柱、正方体、长方体）表面的最短路径，核心是将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形求斜边（最短路径）。 2.方法技能 ①沿棱展开立体图形的两个面，得到平面长方形； ②长方形的长、宽为直角边（由立体图形的棱长决定），最短路径为斜边； ③勾股定理求斜边长度，比较不同展开方式的路径长，取最小值。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【变式训练】 变式1．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 变式2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $