上海市南洋模范中学、曹杨二中联考2025-2026学年高三下学期3月阶段练习数学试卷

2025学年第二学期高三高三阶段练习数学学科试卷 (本次考试时间120分钟满分150分) 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5 分) 1.已知复数:=2-i(i为虚数单位),则日= 2.设全集U=R.若集合A={1,2,3},B={x0<x<4,x∈R),则A∩B= 3.设x∈R,不等式-2xs3的解集为一 4,设aeR.若在(+)的二项展开式中,2项的系数为20,则a= 5.设aeR,已知一元二次方程x-3x+a=0的两根为x1、.若(2-x2-)=2a, 则a= 6.在 ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、C,若a=ccosB,则4+也的 最大值为 7.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数.若当x<0时,f(x)=2-1,则函数 y=f(x)的值域为 8.设k∈R.若存在无穷等比数列a,,使得g=ka,则k的取值范围是 9.已知掷一颗均匀骰子所得的样本空间为2=1,2,3,4,5,6,事件A与事件B都是Q 的子集.若A={1,2,4},且A与B独立,则满足要求的B共有个. 10.已知双曲线「:号-二=1的右焦点为F,平行于x轴的直线/交r于P、Q两点, 36 长轴位于x轴上的椭圆经过F、P、?三点,其右焦点为R.若 PQR的周长为10, 则其面积为 11.在某智慧港口监测系统中,地面(视为平面)上有控制站O和监测点位A、B.已 知A在O的正东方向1公里处,B在O的正北方向1公里处,一架监测无人机D悬停 在港口上空,其在地面上的投影点恰好位于AB的中点处.若∠ODA=284 ,则无 第1页,共9页 人机距地面的高度为 公里.(结果精确到0.01公里) 12.若平面向量a、方、c满足=2,=2料,(a-小(6-c)=0,则b-列的最 小值为 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第1516题每 题5分) 13.设a为非零实数,则“a<1”是“>1”的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.下列函数中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是严格减函数的是(). A.少= B.y=e-1-e* D.y= 1 C.y=lg 15.下图是某城市在2025年各月的最低气温(单位: )和最高气温(单位: ) 的散点图、定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温。若最低气温和最高气 温的线性相关系数为,,最低气温和温差的 30 线性相关系数为5,则下列说法正确的是 25 (). 20 A.2>0,且l>l 15 B.5>0,且<l 10 5 C.2<0,且>l 0 D.5<0,且<h 15-10-50510152025 16.已知数列{a.)满足a,=1,a.1-an∈{13,5)(n21).设数列{a}的前n项和为 S. 若S.=2026,则正整数k的可能取值的个数是(). A.9 B.17 C.18 D.35 第2页,共9页 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 在某次草地音乐节上,为了解音乐节的体验情况,从观众中随机选取了100人 进行问卷调查 (1)根据观众的性别以及是否购买乐队官方周边,得到如下数据: 男性 女性 总计 购买周边 21 49 70 不购买周边 15 15 30 总计 36 64 100 根据以上信息,是否有95%的把握认为观众购买乐队官方周边与观众的性别有 关2 参考公式:x nad -be)" (a+bc+d0(a+cb+d’ 其中n=a+b+c+d;参考数据: P(x2≥3.841)≈0.05. (2)根据调查数据,该音乐节观众的排队安检时问X(单位:分钟)服从正 态分布(8,2)。从观众中随机抽取1人,若其排队安检时间超过10分钟,求其排队 安检时问超过2分钟的概率.(结果精确到0.01) 参考数据:(1)≈0.8413,D(2)≈0.9772,D(3)=0.9987,其中y=(x)为标 准正态分布函数。 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,在圆柱OO,中,AB是底面圆O的一条直径,AA,和BB,是两条母线,C 是底面圆O上异于A、B的一点,D是线段BC的中点. (1)求证:直线A,C∥平面ABD; 01 (2)若CA=1,CB=2,BB=2,求二面角 B-AD-B的大小. B 第3页,共9页 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 设a>0,已知f(x)=x-(a-lx-alnx, (1)若f(2)=2-n2,求曲线y=(x)在x=1处的切线方程; )若当x∈0,∞)时,不等式/)之-恒成立,求a的取值睡 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 设a为非零实数.在平面直角坐标系xO中,已知地物线「:y2=4x,经过点 A(a,0)的直线1与r交于P、Q两点. (1)求「的焦点坐标与准线方程; (2)若历=厄,且1P西,求a的值: (3)设a=1,是否存在定圆C,使得对任意的直线/,以PQ为直径的圆均与C 相切?若存在,求圆C的方程;若不存在,说明理由。 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 已知函数y=()的定义域为D.若存在常数1>0,使得对任意给定的x,、 x∈D,当(x)=(x)时,总有(:+)=(x+),则称函数y=(x)具有性质 P(). (1)设D=N,函数y=(x)具有性质P(I).若(O)=∫(2)=f(3)=1,求函数 y=(x)的表达式; (2)设D=R,f(x)=sinx.若函数y=f(x)具有性质PI),求1的所有可能 值; (3)设D=R,已知y=8(x)是定义在R上的严格增函数.若 {y川y=fx),x∈R}c{)l少y=g(x),x∈R),且{x|f(x)≠g(x),x∈R)是非空有限集, 试问:是否存在常数1>0,使得函数y=(x)具有性质P()?说明理由。 第4页,共9页 参考答案与评分标准 一、填空题 1.52.8 3.[-1,2)4.45.-26.√5 7.(-1,) (Gu0+网9.201o.25 11.1.91 12 2w6 二、选择题 13.B 14.D 15.D 16.B 三、解答题 17.(1)提出原假设:观众是否购买乐队官方周边与观众的性别无关. …2分 根据慝目中数据可知,x=100x21x15-49x1六3.646. …4分 70 30 36 64 由于x≈3.646<3.841, 因此没有9S%的把握认为观众购买乐队官方周边与观众的性别有关. …6分 @)设y=告,则70. …8分 于是P(X>10)=P(Y>1)=1-()=0.1587, P(X>12)=P(Y>2)=1-(2)≈0.0228. …10分 用A表示事件“该名观众的排队安检时间超过10分钟”,B表示事件“该名观众的 排队安检时间超过12分钟”, 则所求概率为P(B1A)=P1nB=P(D=0.0228 0.14. …14分 P(A)P(A)0.1587 18.(1)连接AB,连接AB交AB于点M,连接DM. 01 B 由于AA、BB是圆柱的两条母线,故AA∥BB且 AA=BB 因此四边形ABBA是平行四边形, 0 B 知M为线段AB的中点. …2分 在 ABC中,M、D分别为线段A,B、CB的中点,故AC∥MD. …4 第5页,共9页 分 由于A,C∥MD,MDc平面AB,D,AC￠平面ABD, 因此直线A,C∥ABD. 。.6 分 (2)设CC是圆柱的一条母线,由题目条件知 01 CA、CB、CC两两互相垂直, B 以C为原点,CB、CA、CC为x、y、:轴正 方向建立空间直角坐标系, 0 则A(0,1,0)、B(2,0,0)、B(2,0,2)、D(1,0,0), DA=(-1,1,0),DB=(1,0,2). .8 分 设m=(x,y,)是平面BAD的一个法向量,则 DA=-x+y=0, 7DB=x+2:=0, 取x=2,得n=(2,2,-). …10分 显见元=(0,0,)是平面BAD的一个法向量,故cs(,)= …12 分 由于8-AD-B是锐二面角,因此其大小为arccos? …14 分 19.(1)由题意得f(2)=4-2a-aln2=2-ln2,解得a=1. …2分 于是/=-lnx,有x)=x- …4分 由于f)=,了)=0,知曲线y=)在x=1处的切线方程为y=号. …6分 (2)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞) (x)=x-(a-1)-e=x-ax+) ,x∈(0,∞). …7分 X 由于a>0,故在区间(0,a)上∫(x)<0,函数y=f(x)严格减; 第6页,共9页 在区间(a,+o)上f'(x)>0,函数y=f(x)严格增, 因此函数)=)的最小值为fa=-方亡+a-alna. …9分 问题转化为:求解关于a的不等式-0+a-an0≥- .10分 记ga)=-a+a-alha. 当ae(0,时, 8a=-0-na小-小0,不等式(恒成立. …12分 当a∈(1,+o)时, g(a)=-a-lna<0,函数y=g(a)严格减, 注意go=-+e-elne=-,不等式()的解为aee小. 2 综上所述,a的取值范围是(0, . …14分 20.(1)由题意可知,「的焦点坐标为(1,0), …2分 准线方程为x=-1. …4分 (2)设Px1,)、Q(x2,) 由题意知(a-,-)=7(-a,2),即2x+x=3a,为=-2州 …6分 由于P、0均在r上,敢5=是=2=疗=4, 4 4 代入2x+3=3a,解得x=只. …8分 2 由题意知0师.P4=x(a-X上片=-2a=0. 4 由于a≠0,解得a=8, …10分 (3)设直线:x=my+1,与抛物线方程联立,得y2-4my-4=0. 设P(x,)小、Q(x,),线段P的中点M(o), 则。=+y=2m,X,=m%+1=2m2+1. 2 …12分 注意当a=1时,A(L,0)恰为 的焦点,故以PQ为直径的圆的半径 R=3PQl=0P+l40=3+x)+1=m0L+2=2m+2. …14分 2 若将在满足题目要求的圆C,由对称性知其圆心在x轴上, 故可设圆C的方程为(x-x)广+y=r (r>0). 由于因C与以PQ为直径的图相切,知M川=R+r或CM=R-r, 平方并整理得4(。+rm+(。+r+13-x+r)=0或 46-rm2+(。-r+13-x。-r)=0. …16分 由题意知,对任意∈R,上面两个等式中至少有一个成立, 收ng3nn=0合-ng0-n0 由于r>0,解得=%=, …18分 (注:若直接给出圆C的方程并验证相切,或者利用点M的轨迹得到圆C的方程, 都需要说明唯一性,否则扣2分) 21.(1)由于函数y=f(x)具有性质P(I), 由f(0)=f(2)得f0+1)=f(2+1)即()=(3),进而有∫(I)=f(3)=1.…2分 进一步,由f(O)=fI)=1,反复利用性质PI), 可得函数y=f(x)的表达式为f(x)=1,x∈N. …4分 (2)由于函数y=sinx具有性质P), 故对任意x、x,∈R,当sin=sinx时,有sin(x+)=sin(x+). …6分 取x=0,x=元,得sint=sin(x+),即sint=0. 结合1>0,得1=k (k∈N,k21). …8分 下面证明当1=(k∈N,k2I)时,函数y=sinx具有性质P(): 对任意x、为∈R,若sinx=sinx, 则sin(x+k)=(~l)sinx=(-l)sinx2=sin(x+k),满足要求. …10分 (3)对于函数y=f(x),x∈D以及集合I三D,记()={y川y=f(x),xeI}. 设集合{x|f(x)≠g(x)x∈R}=红,x2,x},并记之为S. 第8页,共9页 首先证明:存在u、v∈R,u≠v,使得(u)=f(v). 用反证法:假设对任意u、v∈R,u≠v,均有f()≠f(v). 则对任意i∈L,2,…,n},均有f(x,)gf(S),由f(R)cg(R)知f(x)∈g(R). 进一步,由于g(⑤)=fS),故f(x)∈g(S). 由于g(S)中有且仅有n个元素, 若(x),(x),(x)两两互异,则f(S)=g(S), 进而有f(R)=g(R),与题目条件矛盾. 因此假设不成立,即存在u、v∈R,uxv,使得f(=(). …14分 下面证明:不存在常数1>0,使得函数y=(x)具有性质P(). 用反证法:假设存在常数1>0,使得函数y=(x)具有性质P(). 由上面的结论知,存在u、v∈R,u≠v,使得f()=f(y). 由于y=g(x)是严格增函数,故g()≠g(), 因此、v中至少有一个属于集合S. 由于函数y=f(x)具有性质P(), 因此对任意的正整数n,均有f(u+l)=f(v+nl), 同理知u+l、v+l中至少有一个属于集合S. 由于1>0,记S的最大元素为M,u、v中的最小值为m, 取正整数n>M-m,则u+m、y+m均大于S中的最大元素,矛盾。 因此假设不成立,即不存在常数1>0,使得函数y=f(x)具有性质P() …18 分 第9页,共9页