第六章 平面向量及其应用（能力提升卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·上海青浦·月考）已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A,共线，不可作为基底， 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底， 对于C，不共线，可以作为基底， 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底， 故选：C． 2．（2025·广西·二模）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的关系式求解向量的模，即可得到结果 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 故选：A. 3．（24-25高三·四川宜宾·期中）在中，，，分别是角，，的对边，且，， 那么周长的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对等式化简求得，然后根据正弦定理表示出周长，最后根据三角函数求值域即可求得周长的最大值. 【详解】, ，解得或1(舍去)， 而，所以，所以, 由正弦定理得：, 则周长为 ，又， 当时，周长取到最大值为. 故选：C. 4．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，分别是角的对边，若，则的值为（  ） A．1008 B．1009 C．2017 D．2018 【答案】C 【分析】由条件及正弦定理得，再由余弦定理得 ，然后再利用同角三角函数的基本关系化简所求的式子，即可得结果． 【详解】由及正弦定理得：． 由余弦定理得，则． ∴ ． 故选：C 5．（25-26高一下·重庆·月考）设向量，，其中为实数，若，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由，得，整理得，由得，又，则，∴，解得，而，故，即选A. 考点：1、向量相等的坐标表示，2、三角函数的有界性；3、三角恒等变换. 思路点睛：首先利用向量相等的定义得到关于的方程组，把用表示出来，然后利用三角恒等变换把化为一个角的一种三角函数的形式，利用三角函数的有界性得到的范围，把用表示出来得到关于的不等式组，求得的范围，而，进一步去求的范围就可以了. 6．（24-25高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦可得，再将三角形面积公式表示为的函数，并利用基本不等式求出最大值. 【详解】在中，， 整理得，即，显然为锐角，即， 由正弦定理得，又， 则面积 ， 当且仅当，所以，即时取等号， 所以面积的最大值为. 故选：D. 7．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可计算向量，夹角，设，结合夹角和可求的坐标，设，根据已知条件可得出向量所对的点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解，，即可求解. 【详解】设向量，夹角为， 由可得，即 所以解得：， 因为，所以， 设，则， 设，则，， ， 即， 所以向量所对的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， 所以，， 所以， 故选：B. 8．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（    ）． A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】可证明点是△的垂心，又点是△的外心，可知△是正三角形，则，进而建立直角坐标系，可求得，进而可求出最大值. 【详解】，即，所以， 同理可得，，所以点是△的垂心. 又，所以点是△的外心， 故△是正三角形，且， 建立如图所示的直角坐标系，， 所以，则，，， 设，由，可设，， 因为，所以为的中点，所以， 则，， 所以， 所以当时，取得最大值12， 即的最大值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知向量，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】BC 【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得或，从而确定选项A错误，选项B正确；根据或，利用向量模的坐标公式求模，可确定选项C正确，选项D错误. 【详解】因为，，所以. 因为，所以，解得或. 故选项A错误，选项B正确； 当时，， ； 当时，，. 故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一下·江苏苏州·期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若平面内有四个点、、、，则必有 【答案】AD 【分析】利用平面向量共线的基本定理可判断A选项的正误；分析可知且与不共线，结合平面向量的坐标运算可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项的正误；利用平面向量的线性运算可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，A对； 对于B选项，， 若与的夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，则，解得， 所以，实数的取值范围是，B错； 对于C选项，且，则，则，C错； 对于D选项，，故，D对. 故选：AD. 11．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若，则的面积等于4 C．若，则的最小值为5 D．若，且与的夹角，则 【答案】ACD 【分析】根据点的坐标，求向量的模的最值，三角形的面积判断AB，利用对称性求得的最小值判断C，由向量的夹角得数量积为正，求得参数的范围，判断D． 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； ，， 轴，，，B错； ，关于轴的对称点， ， ， 当且仅当共线时等号成立．C正确； ，则， ，， 与的夹角，即， 所以，， 令，则， ， 易知函数在上是增函数， 所以， 所以，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题关键是有两个，第一个是求定直线上的点到两定点距离之和的最小值的方法是求出一个定点关于定直线的对称点，然后转化为两点之间线段最短求解；第二个是向量的夹角在等价于数量积大于0，转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·河北石家庄·开学考试）已知在中，，，，，，则的值为_________.    【答案】 【详解】在中，，建立直角坐标系, ,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 13．（25-26高一下·陕西·月考）已知是的外心，且，存在非零实数使且，则_________. 【答案】/0.8 【分析】根据题意化简得到，取的中点，得到三点共线，根据点是的外心，结合直角中，即可求解． 【详解】如图所示，由，且，可得， 利用向量的运算法则，可得， 取的中点，则，所以，得三点共线， 又由点是的外心，可得， 在直角中，可得． 故答案为：. 14．（2026高三·江苏·专题练习）已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为_______ 【答案】1 【分析】首先根据已知条件和投影公式将向量在向量方向上的投影表示出来，然后利用函数单调性即可求解. 【详解】， ∴， 即， 故， 则向量在向量方向上的投影为， 令，则， ∴， 不妨令，易知函数在区间上单调递减， ∴， 即向量在向量方向上的投影的最大值为1. 故答案为：1 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·河北石家庄·一模）已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)，等边三角形 【分析】（1）利用正弦定理导出； （2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状. 【详解】（1）中，由正弦定理得 （2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 16．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 17．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 18．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 19．（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一下·上海青浦·月考）已知向量，则下列能使（，）成立的一组向量,是（   ） A．, B．, C．, D．, 2．（2025·广西·二模）已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 3．（24-25高三·四川宜宾·期中）在中，，，分别是角，，的对边，且，， 那么周长的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，分别是角的对边，若，则的值为（  ） A．1008 B．1009 C．2017 D．2018 5．（25-26高一下·重庆·月考）设向量，，其中为实数，若，则的取值范围为 A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（    ）． A．12 B．6 C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知向量，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（24-25高一下·江苏苏州·期中）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知、均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若平面内有四个点、、、，则必有 11．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若，则的面积等于4 C．若，则的最小值为5 D．若，且与的夹角，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·河北石家庄·开学考试）已知在中，，，，，，则的值为_________.    13．（25-26高一下·陕西·月考）已知是的外心，且，存在非零实数使且，则_________. 14．（2026高三·江苏·专题练习）已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为_______ 四．解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2026·河北石家庄·一模）已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 16．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 17．（25-26高一下·湖北荆州·月考）已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 18．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 19．（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $