第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷【 基础卷】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 2．下列求函数的导数正确的是（   ） A． B．B． C． D． 3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则（ ） A． B． C．或 D．3 6．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数为的导函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的极小值为 D．方程有3个不等的实根 11．已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 13．已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 14．已知函数，若当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 16．已知函数. (1)若在处的切线倾斜角为，求的值； (2)当时，求的单调区间. 17．已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 18．已知. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在定义域上单调递增，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《一元函数的导数及其应用》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可. 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 2．下列求函数的导数正确的是（   ） A． B．,,,𝑥-2.−,-𝑥..-′.=2𝑥+,1-2,-𝑥.. C． D． 【答案】A 【分析】依据导数运算法则计算即可. 【详解】B．选项应该为B． C选项应该为，D选项应为. 故选：A 3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，可得在恒成立，参变分离，结合函数单调性分析求解即可． 【详解】因为， 由题意可得：在恒成立， 则在上恒成立， 又因为在内单调递减， 可得，可得， 所以a的范围为. 5．已知函数在处取得极小值，则（ ） A． B． C．或 D．3 【答案】B 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 6．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【分析】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 7．定义域为的函数的导数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式可得单调性，结合时，，可构造函数，由已知不等式确定时，单调递增；将各选项中的大小关系比较转化为同一函数不同函数值的比较，结合单调性即可得到大小关系. 【详解】当时，由得：，， 在上单调递减， 令，则，且； 当时，，，在上单调递增， 对于A，，即，，A错误； 对于B，，即，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，即，，D正确. 故选：D. 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可. 【详解】令， ∵当时，， ∴当时，， ∴在上单调递增； 又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， ∴为上的奇函数； ∴在上单调递增. 由，可得，故A正确； 由，可得，故B错误； 由，可得，故C正确； 由，可得，故D错误. 故选：AC. 10．已知函数为的导函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的极小值为 D．方程有3个不等的实根 【答案】BD 【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可. 【详解】因为，所以，，A说法错误； 令解得或，令解得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B说法正确； 的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值，C说法错误； 因为当时，，当时，， 所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D说法正确； 故选：BD 11．已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由已知结合常见不等式，，对进行不等式放缩，求解出的范围即可求解． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，即， 设， 则当时在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故当，故 因为， 所以，但显然等号无法同时取得， 所以，即， 又恒成立， 所以． 故选：ABC． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 13．已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 即的最小值为. 14．已知函数，若当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，参数分离，转化恒成立，构造函数，求导，判断单调性，求出最小值，得到取值范围. 【详解】当时，,则，即， 所以只需要， 构造函数， 则． 令，所以， 因为，所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【详解】（1）根据题意，，则， 解得， . （2）由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 16．已知函数. (1)若在处的切线倾斜角为，求的值； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)； (2)的单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）求出函数导数，根据导函数的正负情况可得函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 故由在处的切线倾斜角为得， 即，解得； （2）时，，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的单调增区间为，单调减区间为 17．已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）由存在极值，得有变号零点，通过分离参数，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围. 【详解】（1）若，则. 所以，所以. 又，所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）因为函数， 所以. 若存在极值，则有变号零点，即有解. 因为，所以，所以. 因此有解，且. 当时，在上恒成立， 所以函数是增函数，无极值； 当时，在上有解，记为. 令，则，所以在上单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，即函数有极值. 故a的取值范围是. 18．已知. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在定义域上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，切点为，利用点斜式直线方程求出切线方程即可； （2）转化为在上恒成立，参变分离，令，利用导数法求解的最小值，即可求得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 则，故，， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）由题意得， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 令，， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，的单调递减区间为， 所以函数的最小值为，所以. 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $