专题7.2 离散型随机变量及其分布列（6类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题7.2 离散型随机变量及其分布列 【知识梳理】 1 【考点1：随机变量的判断】 2 【考点2：写出简单离散型随机变量分布列】 3 【考点3： 利用随机变量分布列的性质解题】 5 【考点4：由随机变量的分布列求概率】 6 【考点5：两点分布】 7 【考点6：随机变量函数的分布列】 8 【知识梳理】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，，n； ②p1+p2++pn=1. 3．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 【考点1：随机变量的判断】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 2．（25-26高二·全国·课堂例题）在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？ 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ （2）在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为，则可取哪些数字？ 4．（25-26高二下·全国·课前预习）在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，表示向上的点数，的取值有哪些？取每个值的概率分别是多少？ 5． （25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 【考点2：写出简单离散型随机变量分布列】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为（    ） A． 0 1 B． 0 1 C． 0 1 D． 0 1 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 3．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【考点3： 利用随机变量分布列的性质解题】 1．（25-26高二下·海南海口·月考）若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 4 6 8 A． B． C．7 D． 2．（2026高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 4．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 5．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数______． 【考点4：由随机变量的分布列求概率】 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 3．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【考点5：两点分布】 1．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________. 3．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【考点6：随机变量函数的分布列】 1．（2025·河南·二模）盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 2．（2025·安徽·高考真题）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使取得最大值的整数. 3．（2026高三·全国·专题练习）有两个密封的盒子，盒中有2个白球，3个黑球，盒中有个3白球，2个黑球，现分别从每个盒子中随机抽取1个球，如果两球是同色球，则放回到原盒中，若是不同色球，则交换后分别放回到相应盒中，记第次操作后盒中白球数为． (1)求的分布列及； (2)求； (3)若操作次后盒中全是黑球或全是白球，分别求的最小值及相应的概率． 4．（2026·全国·模拟预测）已知把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下． (1)当时，设两个人座位之间空了把椅子（以相隔位子少的情况计数），求的分布列及数学期望； (2)若另有把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为，求整数的所有可能取值． 5．（2026高一·全国·专题练习）用一个公平的六面骰子（点数为1到6）进行游戏．定义随机变量D为掷出的点数． (1)求D的概率分布列和累积分布函数． (2)定义随机变量S为前两次掷骰子的点数之和．求S的概率分布列． (3)定义随机变量，表示前两次掷骰子点数中的较小值．求M的概率分布列． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 离散型随机变量及其分布列 【知识梳理】 1 【考点1：随机变量的判断】 2 【考点2：写出简单离散型随机变量分布列】 3 【考点3： 利用随机变量分布列的性质解题】 7 【考点4：由随机变量的分布列求概率】 9 【考点5：两点分布】 11 【考点6：随机变量函数的分布列】 13 【知识梳理】 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于 函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)= pi，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，，n； ②p1+p2++pn=1. 3．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　 【考点1：随机变量的判断】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 2．（25-26高二·全国·课堂例题）在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？ 【答案】X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. 【解析】略 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ （2）在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为，则可取哪些数字？ 【答案】（1）可以；（2） 【分析】（1）可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上； （2）根据题意，写出的所有值. 【详解】（1）可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. （2）. 4．（25-26高二下·全国·课前预习）在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，表示向上的点数，的取值有哪些？取每个值的概率分别是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】的取值有1,2,3,4,5,6 取每个值的概率列成表的形式如下 1 2 3 4 5 6 5．（25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 【答案】 【分析】根据题意用列举法表示即可. 【详解】由题意可知，离散型随机变量的可能取值为. 【考点2：写出简单离散型随机变量分布列】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为（    ） A． 0 1 B． 0 1 C． 0 1 D． 0 1 【答案】A 【分析】利用古典概型计算随机变量取值的概率即可判断. 【详解】从7个球中任意摸出2个球，共有（种）取法， 摸出的2个球都是白球，共有（种）取法， 故， . 故选：A. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】的所有可能值为1，2，3，4，5，进而利用古典概型概率公式求得的分布列. 【详解】依据题意，的所有可能值为1，2，3，4，5. 集合的所有非空子集有， 又，，，，. 故的分布列为 1 2 3 4 5 3．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【详解】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 4．（25-26高三下·浙江杭州·月考）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)由条件事件的概率进行求解； (2) 依题意，可取，计算出对应的概率，即可列出分布列． 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先根据组合数计算，再根据对立事件概率求解； （2）先求出取值为0，1，2，3对应的概率，再得出分布列即可. 【详解】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 【考点3： 利用随机变量分布列的性质解题】 1．（25-26高二下·海南海口·月考）若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 4 6 8 A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质求，再由期望公式计算即可. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故选：A 2．（2026高二·全国·专题练习）设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解． 【详解】由题意，得，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.36 则常数________． 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 即，解得或， 又因为，解得， 所以常数. 故答案为：0.2. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 5．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数______． 【答案】1 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】，即， 解得. 故答案为：1 【考点4：由随机变量的分布列求概率】 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 【考点5：两点分布】 1．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则__________． 【答案】0.44 【分析】根据两点分布的性质判断. 【详解】由题意可得． 故答案为： 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为___________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质即可求出. 【详解】由题意知，，解得或， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意， 故. 故答案为： 3．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 5．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 【考点6：随机变量函数的分布列】 1．（2025·河南·二模）盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定：取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球. (1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率； (2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得,即可利用超几何分布的概率公式求解； （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列. 【详解】（1）共有种不同的取法，事件表示取出3个小球中至少有2个红球，包含两种； （2）随机变量的可能取值为， ， ， ， ， . 则随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 2．（2025·安徽·高考真题）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使取得最大值的整数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于A和B是相互独立，，没有收到信息的概率正好是，所以最后的结果就能求出； （2）要从和两个角度考虑. 【详解】（1）设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则与 相互独立， 而 所以， 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为. （2）当时，只能取，有 当，整数满足，其中是和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为. 当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为 此时 当， 化简解得 假如成立， 则当能被整除时， ，故在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证： 因为，所以， ，故，显然. 因此. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是用高斯取整函数证明. 3．（2026高三·全国·专题练习）有两个密封的盒子，盒中有2个白球，3个黑球，盒中有个3白球，2个黑球，现分别从每个盒子中随机抽取1个球，如果两球是同色球，则放回到原盒中，若是不同色球，则交换后分别放回到相应盒中，记第次操作后盒中白球数为． (1)求的分布列及； (2)求； (3)若操作次后盒中全是黑球或全是白球，分别求的最小值及相应的概率． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2) (3)的最小值为3， 【分析】（1）确定 有 、、 这几个取值.通过独立事件概率乘法算每个取值概率，如 是两独立事件概率相乘.把各取值和对应概率列成分布列，再按定义用取值乘概率相加得期望. （2）第1次操作后有三种情况，依据条件概率和全概率公式，分别考虑取不同值时，第2次操作不同抽球情况对的影响，将对应概率相加. （3）分析两种特殊情况并算相关概率： 情况①：看A盒全黑、B盒全白的情况，确定操作次数最小值，根据取值及第2次操作抽球概率算 . 情况②：看A盒全白、B盒全黑的情况，确定操作次数最小值，依次根据取值算 ，再根据 算 . 【详解】（1）当时，的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 ． （2）第1次操作后，有三种情况：①盒中1白4黑，盒中4白1黑；②盒中2白3黑，盒中3白2黑；③盒中3白2黑，盒中2白3黑． 在情况①下，第2次操作盒中抽1黑球，盒中抽1白球，并交换； 在情况②下，第2次操作抽取同色球，不交换； 在情况③下，第2次操作盒中抽1白球，盒中抽1黑球，并交换． 所以 ． （3）两种情况：①盒中全是黑球，盒中全是白球． 第1次操作并交换后，盒中1白4黑，盒中4白1黑，再做一次操作并交换，可实现盒中全是黑球，盒中全是白球， 即的最小值为2，这种情况下，， 那么． ②盒中全是白球，盒中全是黑球． 第1次操作并交换后，可实现盒中3白2黑，盒中2白3黑， 第2次操作并交换后，可实现盒中4白1黑，盒中1白4黑， 第3次操作并交换后，可实现盒中全是白球，盒中全是黑球， 所以的最小值为3，此时，，， 那么， ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下． (1)当时，设两个人座位之间空了把椅子（以相隔位子少的情况计数），求的分布列及数学期望； (2)若另有把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)或或 【分析】（1）根据题意得到随机变量可以取，并计算出相应的概率，列出分布列，利于期望公式计算即可； （2）利于概率求得两人选择相邻座位的概率，建立方程后依据条件可求得整数解即可. 【详解】（1）由题意，得随机变量可以取， 其中， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故． （2）记“两人选择把相同的椅子围成的圆环”为事件， “两人选择把相同的椅子围成的圆环”为事件， “两人选择相邻座位”为事件． 因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个， 所以， ． 因为，所以． 化简，得． 因为，所以，且． 所以，即， 此时或或 所以的所有可能取值为或或 5．（2026高一·全国·专题练习）用一个公平的六面骰子（点数为1到6）进行游戏．定义随机变量D为掷出的点数． (1)求D的概率分布列和累积分布函数． (2)定义随机变量S为前两次掷骰子的点数之和．求S的概率分布列． (3)定义随机变量，表示前两次掷骰子点数中的较小值．求M的概率分布列． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 【分析】（1）首先明确随机变量D的所有可能取值及其概率，可得其分布列，根据离散型随机变量的累积分布函数定义可求得； （2）列举法写出S的所有可能情况，从而可得相应概率； （3）我们计算，即最小值恰好为m的概率，可以通过来计算，或者直接计数． 【详解】（1）由于是公平骰子，D的每个取值概率均为， 所以分布列如下： d 1 2 3 4 5 6 累积分布函数如下： （2）随机变量，其中和是两次独立的掷骰子结果．S的可能取值为．我们通过列出所有种等可能的结果来计算概率． ：只有一种情况，所以；； ；；，；；；；； ； . 所以S的概率分布列如下： S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）随机变量，其可能取值为． 直接计数法： ：即前两次掷骰子点数中的较小值为1，意味着至少有一个骰子是1，总情况减去两个骰子都大于1的情况：，所以；：即前两次掷骰子点数中的较小值为2，意味着两个骰子点数都大于等于2，且至少有一个是2，，所以； 同理，； ；；， 所以M的概率分布列为： M 1 2 3 4 5 6 P 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $