专题04 一元一次不等式重难点题型汇编（十三大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题04 一元一次不等式重难点题型汇编 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................2 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................2 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................2 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................3 【题型6：解一元一次不等式组】................................................3 【题型7：分配问题】..........................................................4 【题型8：销售利润问题】......................................................5 【题型9：方案问题】..........................................................6 【题型10：阶梯问题】.........................................................8 【题型11：其他问题】.........................................................9 【题型12：定义问题】.........................................................12 【题型13：不等式与一次函数综合】............................................16 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 2．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 3．已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 4．若的解集为，则的取值范围是________． 5．若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 1．若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为______． 2．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是____ 3．若的解集中的最大整数解为5，则a的取值范围是______． 4．关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为______． 5．已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是________． 6．关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是____． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 1．若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是_____． 6．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围________． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 1．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 2．若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 3．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 4．已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 5．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 6．若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为____． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 1．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 3．若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 4．若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______． 【题型6：解一元一次不等式组】. 1.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2.解不等式组 3.解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 4.解不等式组 (1) (2) 【题型7：分配问题】 1．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 2．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 3．圣诞节班主任老师购买了一批贺卡准备送给学生，若每人三张，那么还余59张，若每人5张，那么最后一个学生分到贺卡，但不足四张，班主任购买的贺卡共多少张？ 4．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 5．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【题型8：销售利润问题】 1．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 2．学校需要添置教师办公桌椅、两型共套，已知套型桌椅和套型桌椅共需元，套型桌椅和套型桌椅共需元． (1)求，两型桌椅的单价； (2)若需要型桌椅不少于套，型桌椅不少于套，平均每套桌椅需要运费元．求出总费用最少的购置方案． 3．有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 4．随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 5．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【题型9：方案问题】 1．某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 2．为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 3．为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【题型10：阶梯问题】 1．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 2．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型11：其他问题】 1．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 2．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 3．用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 4．合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 5．根据如下素材，完成探索任务． 背景 双11期间快递公司分拣任务重，某快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，2台型机器人，共需50万元； 买台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递1.5万件； 型机器人每台每天可分拣快递1.2万件 素材 快递公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 【题型12：定义问题】 1．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点． 则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 3．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 4．如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 5．问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 6．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【题型13：不等式与一次函数综合】 1．新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 2．定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 3．对于实数 ，我们定义符号的意义为: 当时，； 当时，；如：；，根据该定义运算完成下列问题： (1)_______，当时，_______； (2)若 ，求的取值范围； (3)若关于 的函数为，求该函数的最大值． 4．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 5．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 6．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次不等式重难点题型汇编 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................3 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................6 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................8 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】.................11 【题型6：解一元一次不等式组】...............................................13 【题型7：分配问题】..........................................................15 【题型8：销售利润问题】.....................................................18 【题型9：方案问题】.........................................................24 【题型10：阶梯问题】.........................................................27 【题型11：其他问题】.........................................................32 【题型12：定义问题】.........................................................39 【题型13：不等式与一次函数综合】............................................48 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 2．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 3．已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质解题即可． 【详解】解：由 和 可知，不等式两边乘以 后不等号方向改变， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 4．若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 5．若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 1．若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为______． 【答案】/2＞m≥0 【分析】先解一元一次不等式可得x＞，再根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，可得m＜2，最后进行计算即可解答． 【详解】解：2x﹣m＞4， 2x＞m+4， x＞， ∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解， ∴≥2， ∴m≥0， ∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解， ∴6﹣m＞4， ∴m＜2， ∴0≤m＜2， 故答案为：0≤m＜2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是____ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意确定不等式的负整数解是解题的关键．先求解不等式得，，结合题意可知负整数解为，，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式只有两个负整数解， ∴不等式只有两个负整数解，负整数解为，， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 3．若的解集中的最大整数解为5，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了最大整数解的意义. 根据最大整数解的意义即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵的解集中的最大整数解为5， ∴， 故答案为． 4．关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解的情况求参，熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． 先解不等式，求得，再根据不等式的最大整数解是3，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的最大整数解是3， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 1．若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握解一元 一次不等式组，是解题的关键． 先求出不等式组中每个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围． 【详解】解：解第一个不等式， 得． 解第二个不等式， 移项得， 两边除以（不等号方向改变）， 得． ∴不等式组的解集为． ∵题目要求恰好有3个整数解， ∴整数解为4、5、6． 当时，解集为，整数解为4、5、6，符合条件． 当接近7但小于7时（如），解集为，整数解仍为4、5、6． 若，解集包含整数7，导致整数解超过3个，不符合条件． ∴的取值范围是． 应选项B． 2.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有6个整数解，分别为， ∴， 故选：D． 3．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍，首先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：由，得， ， 原不等式的解集为， 不等式组的整数解共有4个， 其整数解应为：1、2、3、4， m的取值范围是， 故选：D． 4．已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有3个，得出关于m的不等式是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的整数解有且只有3个， ∴不等式组的整数解为，，， ∴， 故选：B． 5．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．分别求出不等式组中不等式的解集．利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集有4个整数解，即可得出答案． 【详解】解：由，解得： ， 由该不等式有4个整数解，得 3，4，5，6是这四个整数解， ∴， 故答案为：． 6．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围________． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 1．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 2．若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 3．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 4．已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知不等式组的解集得出关于的不等式是解题关键．先求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 5．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，能求出关于的不等式是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，应该是“大大小小找不到”，所以判断． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组无解， ， 故答案为：． 6．若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，解题的关键是分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集确定参数的取值范围． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集，确定的取值范围． 【详解】解：解不等式 ． ． ． ． ． 解不等式 ． ． ． 因为第一个不等式的解集是，第二个不等式的解集是，所以． 解这个不等式 ． ，即． ． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 1．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 2．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值． 3．若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 【答案】3 【分析】求出y-x=k-2，根据0＜y-x＜2得到k的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ①-②得：y-x=k-2， ∵0＜y-x＜2， ∴0＜k-2＜2， ∴2＜k＜4， ∵k是整数， ∴k=3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组，解题的关键是求出y-x=k-2，由已知得出关于k的不等式． 4．若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】解关于x、y的二元一次方程组得，根据，的值都不大于，得到关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：解关于x、y的二元一次方程组得 ， ∵，的值都不大于， ∴， 解不等式组得． 故答案为： 【点睛】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根据题意得到关于a的不等式组是解题关键． 【题型6：解一元一次不等式组】. 1.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解． 求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集： 2.解不等式组 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确地求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 3.解不等式组，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴上表示如图所示： 因此，原不等式组的解集为． 4.解不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【题型7：分配问题】 1．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 2．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 3．圣诞节班主任老师购买了一批贺卡准备送给学生，若每人三张，那么还余59张，若每人5张，那么最后一个学生分到贺卡，但不足四张，班主任购买的贺卡共多少张？ 【答案】152张 【分析】设有x个学生，根据若每人5张，那么最后一个学生分到贺卡，但不足四张列不等式组求解． 【详解】解：设有x个学生，由题意得 ， 解得30<x<32， ∵x为正整数， ∴x=31， ∴3x+59=152， 答：班主任购买的贺卡共152张． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列得不等式组是解题的关键． 4．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 5．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【答案】该班有学生，本次一共种植棵树 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有名学生， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴， ∴， 答：该班有学生，本次一共种植棵树． 【题型8：销售利润问题】 1．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 2．学校需要添置教师办公桌椅、两型共套，已知套型桌椅和套型桌椅共需元，套型桌椅和套型桌椅共需元． (1)求，两型桌椅的单价； (2)若需要型桌椅不少于套，型桌椅不少于套，平均每套桌椅需要运费元．求出总费用最少的购置方案． 【答案】(1)型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元 (2)总费用最少的购置方案是购买型桌椅套，型桌椅套 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键． （1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，3套A型桌椅和2套B型桌椅共需3400元”，建立方程组即可得出结论； （2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；根据一次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）设型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元； （2）设购买型桌椅套，则购买型桌椅套， 根据题意得：， 解得：， 设总费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，总费用最少， 此时，， 答：总费用最少的购置方案是购买型桌椅套，型桌椅套． 3．有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 【答案】(1)，其中 (2)48，49，50 (3)当时，W最低，最低总运费为50600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）根据题意求出总费用即可求出关于的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式组，即可求出自变量x的范围． （2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可． （3）根据一次函数的性质可知，时，W取得最小值，求出W的最小值即可． 【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为吨． 甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为吨． 乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心吨， 所以B地运往乙中心的粮食为吨． 根据题意，得：， 根据题意，得：， 解得． W关于x的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得． x为整数， x的值为48，49，50． 符合条件的x值为48，49，50； （3）解：由（1）可知， ， W随x的增大而增大． ， 当时，W取得最小值． 此时(元) ， 当时，总运费W最低，最低总运费是50600元． 4．随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 (2)购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 5．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 有3种购买方案．方案1：购买甲种蔬菜43千克，乙种蔬菜57千克；方案2：购买甲种蔬菜44千克，乙种蔬菜56千克；方案3：购买甲种蔬菜45千克，乙种蔬菜55千克．方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的性质，解决本题的关键是根据题意由等量关系建立等式． （1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 化简①：除以5，得， 化简②：除以2，得， 两式相减，， 化简可得，，解得； 代入，解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1020元又不多于1028元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲43千克，乙57千克； 方案2：甲44千克，乙56千克； 方案3：甲45千克，乙55千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是490元． 【题型9：方案问题】 1．某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)种笔记本每本元，种笔记本每本8元； (2)购买种笔记本本、种笔记本本时费用最少，最少费用为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的最值实际应用问题，关键是根据题意建立方程组和函数关系式，并结合不等式确定变量的取值范围． （1）设两种笔记本的单价为未知数，根据两种购买方案的总费用，列出二元一次方程组，通过消元法求解方程组得到单价； （2）先设购买笔记本的数量，进而表示出笔记本的数量，根据题目中与的数量关系列出不等式组，确定笔记本数量的取值范围，再构建总费用关于笔记本数量的一次函数，利用一次函数的增减性求出费用的最小值． 【详解】（1）解：设种笔记本每本元，种笔记本每本元， 根据题意，得，解得， 答：A种笔记本每本元，种笔记本每本8元． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，总费用为元， 根据题意，得，解得，且为正整数， 总费用， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， 此时， 答：购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少费用是元． 2．为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 【答案】(1)， (2)有两种购买方案∶方案一，购买A型设备1台，B型设备9台；方案二，购买A型设备2台，B型设备8台 (3)最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出不等式组求解，并求得正整数解； （3）通过计算、比较，再作出决策． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 故，； （2）解：设购买A型x台，则B型台， 由题意得：， 解得：， 所以或， 所以有两种购买方案∶ 方案一，购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二，购买A型设备2台，B型设备8台； （3）解：方案一需要资金：万元， 方案二需要资金：万元， 方案一更省钱， 即最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台． 3．为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 【题型10：阶梯问题】 1．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 2．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型11：其他问题】 1．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 【分析】（1）根据接水时间×速度＝体积，得到接温水的时间． （2）设乙同学接温水所用的时间为，根据接水的总体积列方程，得到接温水和开水的时间． （3）根据每个方案分别列出温水和开水的接水体积，设两种方案最终的温度值和，根据热量守恒列方程，得到和的值，分，，三种情况解得的取值范围． 【详解】（1）解：∵他先接开水秒， ∴他接开水的体积为：， ∴他接温水的体积为：， ∴他再接温水的时间为：； （2）解：设乙同学接温水所用的时间为，则他接开水所用的时间为， 根据题意可列方程：，解得：， ∴， ∴乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：方案一：丙同学接的温水体积为，则他接的开水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， 方案二：丙同学接的开水体积为，则他接的温水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， ∴当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 又∵，解得：， ∴当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 2．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 3．用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 【答案】(1)20 (2)当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解题的关键． （1）设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒，根据制作两种纸盒使用的正方形纸板不超过80张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个，根据长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，即可用含的代数式表示出值，结合的取值范围即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒， ∴ ∴解得， ∴x的最小值为20 答：至少可以制作20个竖式无盖纸盒； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个， 依题意得： 又， ， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 当时，； 当时，； 当时，． 答：当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 4．合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 【答案】(1)； (2)； (3)①；②元 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，根据“票价=人数单价”正确列出代数式是解题的关键． 利用题干中的数量关系即可表示出去A景点的人数，用总数A、B组的人数即可得到C的人数； 利用票价=人数单价分别列出代数式，再将代入计算即可得出结论； 求出b的代数式，利用已知条件求得a值，再将a值代入中的代数式b，计算即可得出结论． 【详解】（1）根据题意，可知A组人数：， C组人数：， 故答案为：； （2）当时，A景点门票花费：元， C景点门票花费：元， 故答案为：；；①用含有a的代数式表示b是：， （3）②已知购买B景点门票时付了元，且有一些零钱找回， ， 解得， 是整数 或14， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 元． 5．根据如下素材，完成探索任务． 背景 双11期间快递公司分拣任务重，某快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，2台型机器人，共需50万元； 买台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递1.5万件； 型机器人每台每天可分拣快递1.2万件 素材 快递公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 【答案】任务1：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元；任务2：购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： 任务1：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买台型机器人，4台型机器人，共需120万元”列式求解即可； 任务2：设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出w关于a的一次函数，再利用“快递公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣”列出不等式，求出a的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； 任务：设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：=， 又∵， 解得：， ∵=，， ∴随的增大而增大， ∴当=4，取得最小值320（万元）， 购买型号智能机器人20（台）， 即购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 【题型12：定义问题】 1．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解．直接观察图象，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 故选：A 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点． 则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集． 根据一次函数过一、二、四象限，可得、，则，故①符合题意；由，可得y随x增大而减小，故②不符合题意；当，，即，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数过一、二、四象限， ∴、， ∴，故①符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是直线上不重合的两点， 当，则，则；当，则，则，故②不符合题意； 由函数图象可得：当时，， ∴，故③符合题意； 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意； 综上，①③④符合题意． 故选：B． 3．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 4．如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 【答案】(1)1， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确计算是解题关键． （1）将代入即可得出的值，再求出一次函数与轴交点为，最后数形结合求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． （3）先求得．设点在直线上，其坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点， 解得， 一次函数解析式为， 令得，解得， 一次函数与轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （3）解：存在， 直线，令得， ． 设点在直线上，其坐标为， 其面积等于6，则有：， 即或． 解得或， 所以坐标为或． 5．问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；② (3)图象见解析；①；②图象见解析；， 【分析】（1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）①把代入，即可求出m；②把代入，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． 【详解】（1）解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 （2）解：①把代入得：； 故答案为： ②当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： （3）画出该函数的图象如图， ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【点睛】考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 6．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，减小 (4)①或；②或 【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）①结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 【详解】（1）解：当时，﹒ 故答案为：3 （2）解：该函数图象的另一部分如图所示： ； （3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； （4）解：①由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ②∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 【题型13：不等式与一次函数综合】 1．新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据新定义得出关于的一元一次不等式组， 解不等式即可得出答案． 【详解】解： ． 根据题意得， 解得：． 2．定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 3．对于实数 ，我们定义符号的意义为: 当时，； 当时，；如：；，根据该定义运算完成下列问题： (1)_______，当时，_______； (2)若 ，求的取值范围； (3)若关于 的函数为，求该函数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）根据题目定义即可判断； （2）根据 ​，即可得到，解出的值即可； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由题意得，， 解得：； （3）解：当 ​时， 解得： ， 即当 时，， ， 随的增大而增大， 当时，最大， 当 时， 解得： ， 即当 时，， ， 随的减小而增大， ， ， ， ， 综上所述，函数 的最大值为 2 ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，解一元一次不等式，掌握新定义是解题的关键． 4．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 5．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解一元一次不等式，绝对值的意义． （1）根据新定义代入绝对值方程，然后根据绝对值的意义得出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据新定义得出关于x的一元一次不等式， 解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，所以或， 解得或． （2）解：根据题意，得， 所以， 解得， 即的取值范围为． 6．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据新定义，将x，y的值代入代数式即可； （2）分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得m的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求k的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， 可变形为， 解得； 当时，解得， 此时不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 此时可变形为， 解得， ， 原不等式组变形为， 原不等式组恰好有3个整数解， 原不等式组的解集为，3个整数解为：2，3，4， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $