3.3 等可能事件的概率 讲义 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第三章 概率初步 等可能事件的概率 1. 等可能事件的定义 在一次试验中，如果每个可能的结果发生的可能性都相同，那么称这些结果出现的可能性相等，这样的事件称为等可能事件。 等可能事件 设一个试验有n个可能的结果，每个结果出现的可能性相等，事件A包含其中m个结果，那么事件A发生的概率为： P(A) = 事件A包含的可能结果数 ÷ 所有可能的结果数 = m/n 2. 概率的古典定义（古典概型） 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型： 1. 试验中所有可能的结果是有限个 2. 每个结果出现的可能性相等 在古典概型中，事件A发生的概率计算公式为：P(A) = m/n，其中n是试验中所有可能的结果数，m是事件A包含的结果数。 3. 概率的性质 概率的基本性质 1. 非负性：对于任何事件A，都有P(A) ≥ 0 2. 规范性：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 3. 有限可加性：如果事件A₁, A₂, ..., Aₖ两两互斥，则P(A₁∪A₂∪...∪Aₖ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₖ) 4. 等可能事件概率的计算步骤 1. 明确试验的所有可能结果（确定n） 2. 判断每个结果出现的可能性是否相等 3. 确定所求事件包含的可能结果（确定m） 4. 代入公式P(A) = m/n计算概率 二、重难点讲解 重难点1：判断事件是否等可能 判断事件是否等可能是计算概率的前提，必须正确判断。 判断要点 核心标准：每个可能的结果出现的可能性是否相等。 常见等可能事件示例： · 掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相等 · 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等 · 从一副洗匀的扑克牌中随机抽一张，每张牌被抽到的可能性相等 常见非等可能事件示例： · 天气预报说明天下雨的概率是80%，"下雨"和"不下雨"不是等可能的 · 从有3个红球、1个白球的袋子中摸球，摸到红球和白球的可能性不等 重难点2：确定所有可能结果和有利结果 准确确定试验的所有可能结果和事件包含的有利结果是计算概率的关键。 常用方法 1. 列举法：将所有可能结果一一列举出来 2. 列表法：当试验涉及两个因素时，用表格列出所有可能结果 3. 树状图法：当试验涉及多个步骤时，用树状图表示所有可能结果 注意事项：列举时要确保不重复、不遗漏，且每个结果出现的可能性相等。 重难点3：复杂事件的概率计算 对于复杂事件，往往需要将事件分解为若干个互斥的简单事件，再利用概率的可加性计算。 复杂事件的处理方法 方法1：直接计算：直接找出事件包含的所有可能结果 方法2：间接计算：先计算对立事件的概率，再利用P(A) = 1 - P(Ā)计算 方法3：分解计算：将复杂事件分解为几个互斥的简单事件，分别计算概率后相加 示例：掷一枚骰子，求点数大于2的概率。 直接计算：点数大于2的结果有3,4,5,6，共4个，概率为4/6=2/3 间接计算：点数不大于2的结果有1,2，共2个，概率为1-2/6=2/3 重难点4：有放回与无放回的概率计算 在摸球、抽卡等试验中，有放回和无放回会导致试验结果的不同。 区别与联系 比较项 有放回 无放回 特点 每次抽取后放回，每次抽取条件相同 每次抽取后不放回，每次抽取条件不同 等可能性 每次抽取时，每个球被抽到的可能性相等 每次抽取时，每个球被抽到的可能性相等 结果总数 如果抽取k次，每次有n种可能，则结果总数为nᵏ 如果从n个中抽取k个，则结果总数为排列数或组合数 三、易错点讲解 易错点1：等可能性判断错误 常见错误：认为所有随机事件都是等可能事件。 错误示例：从3个红球、1个白球的袋子中摸一个球，认为摸到红球和白球的可能性相等。 错因分析：红球有3个，白球只有1个，虽然每个球被摸到的可能性相等，但摸到红球的可能性是白球的3倍。事件"摸到红球"和"摸到白球"不是等可能的。 正确判断：判断事件是否等可能，要看每个事件包含的可能结果数是否相等。 易错点2：基本事件总数计算错误 常见错误：列举可能结果时重复或遗漏，导致n计算错误。 错误示例：掷两枚硬币，认为可能结果有"两个正面"、"两个反面"、"一正一反"三种，每种可能性相等。 错因分析：实际上，两枚硬币应该区分（如硬币A和硬币B），可能结果有4种：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)。"一正一反"包含(正,反)和(反,正)两种结果，概率是1/2，而不是1/3。 正确做法：列举可能结果时要确保每个结果是基本事件（不能再分），且不重复、不遗漏。 易错点3：有利事件数计算错误 常见错误：在计算复杂事件的有利结果数时，计数错误。 错误示例：从1,2,3,4,5中随机取两个数，求两数之和为5的概率。错误认为有利结果是(1,4)和(2,3)，概率为2/5。 错因分析：从5个数中取2个，共有10种取法（组合数C(5,2)=10）。有利取法确实是(1,4)和(2,3)两种，概率应为2/10=1/5。 计数技巧：复杂计数时可以使用列表法、树状图法，或利用排列组合知识（但初中阶段主要用列举法）。 易错点4：有放回与无放回混淆 常见错误：将有放回问题当作无放回处理，或将无放回问题当作有放回处理。 错误示例：从3个红球、2个白球中依次摸两个球（无放回），求两次都摸到红球的概率。错误计算为(3/5)×(3/5)=9/25。 错因分析：无放回时，第一次摸球后袋中球数减少，第二次摸到红球的概率变为2/4=1/2。正确概率应为(3/5)×(2/4)=3/10。 正确区分：注意题目中是否说明"有放回"或"无放回"，无说明时一般默认无放回。 易错点5：忽略顺序与不考虑顺序的混淆 常见错误：在计算概率时，错误地将有序结果和无序结果混用。 示例分析：从1,2,3,4中随机取两个数，求两数之和为5的概率。 方法1（有序考虑）：第一次有4种取法，第二次有3种取法，共4×3=12种有序取法。有利取法：第一次取1第二次取4，第一次取4第二次取1，第一次取2第二次取3，第一次取3第二次取2，共4种。概率=4/12=1/3。 方法2（无序考虑）：从4个数中取2个，共C(4,2)=6种无序取法。有利取法：(1,4)和(2,3)，共2种。概率=2/6=1/3。 重要原则：无论采用有序还是无序的方法，必须前后一致。即基本事件总数和有利事件数必须采用相同的考虑方式。 易错点6：概率公式应用条件不满足 常见错误：在不满足等可能条件的情况下使用P(A)=m/n公式。 错误示例：某射手射击命中率为0.9，求射击一次命中的概率，计算为1/2=0.5。 错因分析：射击命中与不命中不是等可能事件，不能使用古典概型的概率公式。命中概率0.9是大量试验的频率稳定值，不是等可能计算的结果。 公式适用条件：P(A)=m/n公式只适用于古典概型，即满足：①结果有限；②每个结果等可能。不满足条件时，需要用频率估计概率或其他方法。 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 等可能性判断错误 认为所有随机事件都等可能 判断每个结果出现的可能性是否相等 基本事件总数计算错误 列举时重复或遗漏 系统列举，确保不重不漏 有利事件数计算错误 复杂事件计数错误 使用列表法、树状图法辅助计数 有放回与无放回混淆 未注意题目条件 仔细审题，明确是否有放回 顺序问题混淆 有序无序混用 前后一致，要么都考虑顺序，要么都不考虑 公式应用条件不满足 在非等可能情况下用古典概型公式 先判断是否满足古典概型条件 一、 选择题 1 .(单选)一只蚂蚁在一块地砖上爬来爬去（如图所示），停在哪一区的机会最大（   ）． A.红色区 B.黄色区 C.白色区 D.黑色区 【答案】 A 在几何概率中，事件发生的概率大小与区域的面积大小有关，面积越大，蚂蚁停在该区域的机会就越大．观察图形可知，红色区的面积最大，所以蚂蚁停在红色区的机会最大． 2 .(单选)做一道单项选择题，在个选项中随机选一个选项，答对的概率是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 这是一道单项选择题，总共有个选项，且只有个选项是正确的． 随机选一个选项时，每个选项被选中的可能性是相等的， 所以答对的概率就是正确选项的数量除以总选项数，即． 3 .(单选)如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（      ） A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】 B 4 .(单选)一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在涂色区域的概率是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 5 .(单选)自由转动转盘（四个转盘均被等分），指针停在白色区域的概率为 的转盘是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 选项：转盘被等分为份，白色区域有份，指针停在白色区域的概率为． 选项：转盘被等分为份，白色区域有份，指针停在白色区域的概率为． 选项：转盘被等分为份，白色区域有份，指针停在白色区域的概率为． 选项：转盘被等分为份，白色区域有份，指针停在白色区域的概率为． 6 .(单选)不透明袋子中装有白球个、红球个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，取出白球的概率是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 从袋子中随机取出个球，有（种）等可能的结果， 其中取出白球的情况有种， ． 故选． 7 .(单选)转动如图所示的转盘甲和转盘乙，如果想让指针停在阴影区域，两个转盘成功的概率相比（        ） A.转盘甲更大 B.转盘乙更大 C.两个一样大 D.无法确定哪个更大 【答案】 C 8 .(单选)某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（      ） A. B. C. D. 【答案】 D 二、 填空题 1 .有张背面完全相同的卡片，正面分别标有，，，，，，把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为           . 【答案】 ∵共有个数，其中是负数的有个， ∴抽到卡片上的数是负数的概率为． 故答案为：． 2 .掷一个正方体骰子，观察向上一面的点数. (1) （点数为）           ； (2) （点数为奇数）           ； (3) （点数不小于）           ； (4) （点数为 ）           ； (5) （点数为 或 ）           . 【答案】 （1）因为点数为只有种情况， 所以（点数为）． （2）因为点数为奇数的有，，，共种情况， 所以（点数为奇数）． （3）因为点数不小于的有，，，，共种情况， 所以（点数不小于）． （4）因为骰子的点数最大为，没有点数为的情况， 所以（点数为）． （5）因为点数为或的有，，共种情况， 所以（点数为或）． 3 .欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是           ．（保留 π） 【答案】 4 .在一个不透明的纸盒中，放入白球、红球、绿球各个，每个球除颜色不同外其他均相同．三人先后摸出一个球后放回，若摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者嬴的概率           后摸者赢的概率.(填“”,“”或“”) 【答案】 ∵不透明的纸盒中放有白球、红球、绿球各个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为： ． 5 .2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为16 cm的正方形制作出如图①所示的七巧板，并拼出如图②所示的火箭模型．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，则它落在涂色部分的概率为             ． 【答案】 6 .在如图所示的可自由转动的转盘中，转出的可能性最大的颜色是           . 【答案】 黄色 在转盘中，某种颜色区域占比越大，转出该颜色的可能性就越大． 观察转盘可知，黄色区域的面积最大，所以转出黄色的可能性最大． 7 .一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球和个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的数量关系是           . 【答案】 因为任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， 所以摸到黄球的概率为， 所以袋中球的总数为， 所以，所以． 8 .明明家过年时包了个饺子，其中有个饺子包有幸运果 明明在饺子中任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是           . 【答案】 概率的计算公式是“所求情况数与总情况数之比”． 这里总共有个饺子（总情况数），包有幸运果的饺子有个（所求情况数）， 所以正好挑到包有幸运果饺子的概率是，约分后得到． 三、 解答题 1 .请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是 ，落在白色区域的概率是 ，落在黄色区域的概率是 . 【答案】 见解析 如图所示(转盘被均分为等份，白色区域占份，红色区域占份，黄色区域占份）.（答案不唯一） 2 .如图所示的是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其外围区域（图中阴影部分）记为 A区域，表示 A区域中有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域（图中阴影部分）记为 B区域； A区域与 B区域以及出现数字“1”和“3”的两格以外的部分记为 C区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击 A， B， C中的哪个区域？ 【答案】 小红应点击 C区域 3 .如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的“雷区”中，随机埋藏着颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏颗“地雷”. 小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块（包含数字的黑框区域记为）中埋藏着颗“地雷”. ( 1 )若小艾在区域内围着数字的个方块中任点一个，未踩中“地雷”的概率是多少？ ( 2 )现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为）. 轮到小林点击，若小林打算在区域和区域中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由. 【答案】 (1) (2)选择区域，理由见解析． (1)∵区域内个方块中埋藏着颗“地雷”， ∴有个方块没有“地雷”. ∴未踩中“地雷”的概率是 . (2)选择区域，理由如下： 由(1)知区域未踩中“地雷”的概率是 ， ∵区域的个方块中埋藏着颗“地雷”， ∴有个方块没有“地雷”. ∴区域未踩中“地雷”的概率是 . ∵ \frac{2}{3}" ori-data="\frac{3}{4}>\frac{2}{3}">， ∴从安全的角度考虑，他应该选择区域. 4 .完成下列题目． ( 1 )如图所示，一个转盘被等分成 个扇形．请为该转盘设计一个涂色方案，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是 ； ( 2 )请再举出两个随机事件，它们发生的概率也是 . 【答案】 (1)见解析 (2)见解析 (1)如图所示．（答案不唯一） (2)有个除颜色外都相同的小球，个红球，任意摸一个球，摸到红球的概率是 ； 桌上有张黑色扑克牌和张红色扑克牌，小明蒙上眼睛随机选择一张扑克牌，选中红色扑克牌的概率是 ． 5 . 综合与实践： 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长米、宽米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如表： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外、长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮助他们写出计算过程． 【答案】 草地的大体面积为平方米． 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比例如下： 一组：； 二组：； 三组：； 四组：. ∴估计石子落在草地内的概率约为， ∴草地的大体面积为（平方米）． 6 .某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一个不透明的箱子里装了个小球，这些小球分别标有元、元、元、元的金额，其中标有元的小球有个，标有元的小球有个，标有元小球的个数是标有元小球的个数的倍少这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有元、元、元的小球，则可以得到等价值的奖品一个. ( 1 )小明获得奖品的概率是           ，获得元奖品的概率是           . ( 2 )为吸引顾客，儿童用品店现将元奖品的获奖概率提高到 ，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有元的小球改为标有元的小球？ 【答案】 (1) (2)个 (1)设标有元的小球有个， 则标有元的小球有 个. 依题意，得 ， 解得 . ∴ . ∴标有元的小球有个，标有元的小球有个. ∴小明获得奖品的概率为 ， 获得元奖品的概率为 . 故答案分别为 ， . (2)设需要个标有元的小球改为标有元的小球. 依题意，得 ，解得 . ∴需要把个标有元的小球改为标有元的小球. 7 .超市要举行转盘抽奖活动，转盘如图所示，消费满元摇奖一次，其中各个带阴影的小扇形圆心角均为 ，各个空白扇形的圆心角相等．某顾客消费满元，他抽奖中奖的概率为多少？他获得自行车的概率为多少？ 【答案】 , ∵ 各个带阴影的小扇形圆心角为 ， ∴ 阴影部分所占的面积为 ，即抽奖中奖的概率是 . 又∵ 他中自行车的概率只占中奖概率的 ， ∴ 获自行车的概率是 . 8 .一个袋中装有 个红球和 个白球， 每个球除颜色外都相同 从中任意摸出一个球， 摸到红球和摸到白球的概率相等吗？ 如果不相等， 请通过改变袋中红球或白球的数量， 使摸到红球和摸到白球的概率相等. 【答案】 不相等， 可以拿出两个白球． 依题意，得摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率为 ， 故摸到红球和摸到白球的概率不相等； 可以拿出两个白球，使红球与白球的数量相同，此时摸到红球和摸到白球的概率相等.（答案不唯一） 9 .如图， 将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域， 其中 、 两个区域为圆环， 区域为小圆. ( 1 )求出 、、 三个区域的面积； ( 2 )若随机往装置内扔一粒黄豆， 求黄豆落在 区域的概率. 【答案】 (1)，， (2) (1) (2)黄豆落在区域的概率为. 10 .在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________．(2)下列说法正确的是____________．A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关        B．在区域③不可能找到宝藏C．在区域①一定能找到宝藏                               D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】 (1)3 (2)D 11 .如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得元、元、元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成份）. ( 1 )小明购物元，他获得奖金的概率是多少？ ( 2 )小德购物元，那么获得奖金的概率是多少？ ( 3 )现商场想调整获得元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要再将多少个无色区域涂上绿色？ 【答案】 (1) (2) (3)需要再将个无色区域涂上绿色 (1)∵ ∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会. ∴小明获得奖金的概率为. (2)小德购物元，能获得一次转动转盘的机会， ∴小德获得奖金的概率是 (3)设需要再将个无色区域涂上绿色， 依题意，得 解得 ∴需要再将个无色区域涂上绿色. 12 .图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率．(2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率．(3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】 (1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步 等可能事件的概率 1. 等可能事件的定义 在一次试验中，如果每个可能的结果发生的可能性都相同，那么称这些结果出现的可能性相等，这样的事件称为等可能事件。 等可能事件 设一个试验有n个可能的结果，每个结果出现的可能性相等，事件A包含其中m个结果，那么事件A发生的概率为： P(A) = 事件A包含的可能结果数 ÷ 所有可能的结果数 = m/n 2. 概率的古典定义（古典概型） 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型： 1. 试验中所有可能的结果是有限个 2. 每个结果出现的可能性相等 在古典概型中，事件A发生的概率计算公式为：P(A) = m/n，其中n是试验中所有可能的结果数，m是事件A包含的结果数。 3. 概率的性质 概率的基本性质 1. 非负性：对于任何事件A，都有P(A) ≥ 0 2. 规范性：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 3. 有限可加性：如果事件A₁, A₂, ..., Aₖ两两互斥，则P(A₁∪A₂∪...∪Aₖ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₖ) 4. 等可能事件概率的计算步骤 1. 明确试验的所有可能结果（确定n） 2. 判断每个结果出现的可能性是否相等 3. 确定所求事件包含的可能结果（确定m） 4. 代入公式P(A) = m/n计算概率 二、重难点讲解 重难点1：判断事件是否等可能 判断事件是否等可能是计算概率的前提，必须正确判断。 判断要点 核心标准：每个可能的结果出现的可能性是否相等。 常见等可能事件示例： · 掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相等 · 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等 · 从一副洗匀的扑克牌中随机抽一张，每张牌被抽到的可能性相等 常见非等可能事件示例： · 天气预报说明天下雨的概率是80%，"下雨"和"不下雨"不是等可能的 · 从有3个红球、1个白球的袋子中摸球，摸到红球和白球的可能性不等 重难点2：确定所有可能结果和有利结果 准确确定试验的所有可能结果和事件包含的有利结果是计算概率的关键。 常用方法 1. 列举法：将所有可能结果一一列举出来 2. 列表法：当试验涉及两个因素时，用表格列出所有可能结果 3. 树状图法：当试验涉及多个步骤时，用树状图表示所有可能结果 注意事项：列举时要确保不重复、不遗漏，且每个结果出现的可能性相等。 重难点3：复杂事件的概率计算 对于复杂事件，往往需要将事件分解为若干个互斥的简单事件，再利用概率的可加性计算。 复杂事件的处理方法 方法1：直接计算：直接找出事件包含的所有可能结果 方法2：间接计算：先计算对立事件的概率，再利用P(A) = 1 - P(Ā)计算 方法3：分解计算：将复杂事件分解为几个互斥的简单事件，分别计算概率后相加 示例：掷一枚骰子，求点数大于2的概率。 直接计算：点数大于2的结果有3,4,5,6，共4个，概率为4/6=2/3 间接计算：点数不大于2的结果有1,2，共2个，概率为1-2/6=2/3 重难点4：有放回与无放回的概率计算 在摸球、抽卡等试验中，有放回和无放回会导致试验结果的不同。 区别与联系 比较项 有放回 无放回 特点 每次抽取后放回，每次抽取条件相同 每次抽取后不放回，每次抽取条件不同 等可能性 每次抽取时，每个球被抽到的可能性相等 每次抽取时，每个球被抽到的可能性相等 结果总数 如果抽取k次，每次有n种可能，则结果总数为nᵏ 如果从n个中抽取k个，则结果总数为排列数或组合数 三、易错点讲解 易错点1：等可能性判断错误 常见错误：认为所有随机事件都是等可能事件。 错误示例：从3个红球、1个白球的袋子中摸一个球，认为摸到红球和白球的可能性相等。 错因分析：红球有3个，白球只有1个，虽然每个球被摸到的可能性相等，但摸到红球的可能性是白球的3倍。事件"摸到红球"和"摸到白球"不是等可能的。 正确判断：判断事件是否等可能，要看每个事件包含的可能结果数是否相等。 易错点2：基本事件总数计算错误 常见错误：列举可能结果时重复或遗漏，导致n计算错误。 错误示例：掷两枚硬币，认为可能结果有"两个正面"、"两个反面"、"一正一反"三种，每种可能性相等。 错因分析：实际上，两枚硬币应该区分（如硬币A和硬币B），可能结果有4种：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)。"一正一反"包含(正,反)和(反,正)两种结果，概率是1/2，而不是1/3。 正确做法：列举可能结果时要确保每个结果是基本事件（不能再分），且不重复、不遗漏。 易错点3：有利事件数计算错误 常见错误：在计算复杂事件的有利结果数时，计数错误。 错误示例：从1,2,3,4,5中随机取两个数，求两数之和为5的概率。错误认为有利结果是(1,4)和(2,3)，概率为2/5。 错因分析：从5个数中取2个，共有10种取法（组合数C(5,2)=10）。有利取法确实是(1,4)和(2,3)两种，概率应为2/10=1/5。 计数技巧：复杂计数时可以使用列表法、树状图法，或利用排列组合知识（但初中阶段主要用列举法）。 易错点4：有放回与无放回混淆 常见错误：将有放回问题当作无放回处理，或将无放回问题当作有放回处理。 错误示例：从3个红球、2个白球中依次摸两个球（无放回），求两次都摸到红球的概率。错误计算为(3/5)×(3/5)=9/25。 错因分析：无放回时，第一次摸球后袋中球数减少，第二次摸到红球的概率变为2/4=1/2。正确概率应为(3/5)×(2/4)=3/10。 正确区分：注意题目中是否说明"有放回"或"无放回"，无说明时一般默认无放回。 易错点5：忽略顺序与不考虑顺序的混淆 常见错误：在计算概率时，错误地将有序结果和无序结果混用。 示例分析：从1,2,3,4中随机取两个数，求两数之和为5的概率。 方法1（有序考虑）：第一次有4种取法，第二次有3种取法，共4×3=12种有序取法。有利取法：第一次取1第二次取4，第一次取4第二次取1，第一次取2第二次取3，第一次取3第二次取2，共4种。概率=4/12=1/3。 方法2（无序考虑）：从4个数中取2个，共C(4,2)=6种无序取法。有利取法：(1,4)和(2,3)，共2种。概率=2/6=1/3。 重要原则：无论采用有序还是无序的方法，必须前后一致。即基本事件总数和有利事件数必须采用相同的考虑方式。 易错点6：概率公式应用条件不满足 常见错误：在不满足等可能条件的情况下使用P(A)=m/n公式。 错误示例：某射手射击命中率为0.9，求射击一次命中的概率，计算为1/2=0.5。 错因分析：射击命中与不命中不是等可能事件，不能使用古典概型的概率公式。命中概率0.9是大量试验的频率稳定值，不是等可能计算的结果。 公式适用条件：P(A)=m/n公式只适用于古典概型，即满足：①结果有限；②每个结果等可能。不满足条件时，需要用频率估计概率或其他方法。 易错点总结与应对策略 易错点 错误原因 正确做法 等可能性判断错误 认为所有随机事件都等可能 判断每个结果出现的可能性是否相等 基本事件总数计算错误 列举时重复或遗漏 系统列举，确保不重不漏 有利事件数计算错误 复杂事件计数错误 使用列表法、树状图法辅助计数 有放回与无放回混淆 未注意题目条件 仔细审题，明确是否有放回 顺序问题混淆 有序无序混用 前后一致，要么都考虑顺序，要么都不考虑 公式应用条件不满足 在非等可能情况下用古典概型公式 先判断是否满足古典概型条件 一、 选择题 1 .(单选)一只蚂蚁在一块地砖上爬来爬去（如图所示），停在哪一区的机会最大（   ）． A.红色区 B.黄色区 C.白色区 D.黑色区 2 .(单选)做一道单项选择题，在个选项中随机选一个选项，答对的概率是（   ）． A. B. C. D. 3 .(单选)如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（      ） A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B.掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C.一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 4 .(单选)一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在涂色区域的概率是（        ） A. B. C. D. 5 .(单选)自由转动转盘（四个转盘均被等分），指针停在白色区域的概率为 的转盘是（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)不透明袋子中装有白球个、红球个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，取出白球的概率是（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)转动如图所示的转盘甲和转盘乙，如果想让指针停在阴影区域，两个转盘成功的概率相比（        ） A.转盘甲更大 B.转盘乙更大 C.两个一样大 D.无法确定哪个更大 8 .(单选)某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（      ） A. B. C. D. 二、 填空题 1 .有张背面完全相同的卡片，正面分别标有，，，，，，把这张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为           . 2 .掷一个正方体骰子，观察向上一面的点数. (1) （点数为）           ； (2) （点数为奇数）           ； (3) （点数不小于）           ； (4) （点数为 ）           ； (5) （点数为 或 ）           . 3 .欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是           ．（保留 π） 4 .在一个不透明的纸盒中，放入白球、红球、绿球各个，每个球除颜色不同外其他均相同．三人先后摸出一个球后放回，若摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者嬴的概率           后摸者赢的概率.(填“”,“”或“”) 5 .2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为16 cm的正方形制作出如图①所示的七巧板，并拼出如图②所示的火箭模型．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，则它落在涂色部分的概率为             ． 6 .在如图所示的可自由转动的转盘中，转出的可能性最大的颜色是           . 7 .一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球和个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的数量关系是           . 8 .明明家过年时包了个饺子，其中有个饺子包有幸运果 明明在饺子中任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是           . 三、 解答题 1 .请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是 ，落在白色区域的概率是 ，落在黄色区域的概率是 . 2 .如图所示的是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其外围区域（图中阴影部分）记为 A区域，表示 A区域中有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域（图中阴影部分）记为 B区域； A区域与 B区域以及出现数字“1”和“3”的两格以外的部分记为 C区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击 A， B， C中的哪个区域？ 3 .如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的“雷区”中，随机埋藏着颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏颗“地雷”. 小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块（包含数字的黑框区域记为）中埋藏着颗“地雷”. ( 1 )若小艾在区域内围着数字的个方块中任点一个，未踩中“地雷”的概率是多少？ ( 2 )现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为）. 轮到小林点击，若小林打算在区域和区域中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由. 4 .完成下列题目． ( 1 )如图所示，一个转盘被等分成 个扇形．请为该转盘设计一个涂色方案，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是 ； ( 2 )请再举出两个随机事件，它们发生的概率也是 . 5 . 综合与实践： 实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长米、宽米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如表： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外、长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮助他们写出计算过程． 6 .某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一个不透明的箱子里装了个小球，这些小球分别标有元、元、元、元的金额，其中标有元的小球有个，标有元的小球有个，标有元小球的个数是标有元小球的个数的倍少这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有元、元、元的小球，则可以得到等价值的奖品一个. ( 1 )小明获得奖品的概率是           ，获得元奖品的概率是           . ( 2 )为吸引顾客，儿童用品店现将元奖品的获奖概率提高到 ，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有元的小球改为标有元的小球？ 7 .超市要举行转盘抽奖活动，转盘如图所示，消费满元摇奖一次，其中各个带阴影的小扇形圆心角均为 ，各个空白扇形的圆心角相等．某顾客消费满元，他抽奖中奖的概率为多少？他获得自行车的概率为多少？ 8 .一个袋中装有 个红球和 个白球， 每个球除颜色外都相同 从中任意摸出一个球， 摸到红球和摸到白球的概率相等吗？ 如果不相等， 请通过改变袋中红球或白球的数量， 使摸到红球和摸到白球的概率相等. 9 .如图， 将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域， 其中 、 两个区域为圆环， 区域为小圆. ( 1 )求出 、、 三个区域的面积； ( 2 )若随机往装置内扔一粒黄豆， 求黄豆落在 区域的概率. 10 .在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________．(2)下列说法正确的是____________．A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关        B．在区域③不可能找到宝藏C．在区域①一定能找到宝藏                               D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 11 .如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得元、元、元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成份）. ( 1 )小明购物元，他获得奖金的概率是多少？ ( 2 )小德购物元，那么获得奖金的概率是多少？ ( 3 )现商场想调整获得元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要再将多少个无色区域涂上绿色？ 12 .图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率．(2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率．(3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $