精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

湖北曾都一中2025至2026学年高二下学期三月月考数学试题 考试时间：3月25日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C 2. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值. 【详解】因为，则，解得或. 故选：C. 3. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案. 【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质 可得，. 设， 则， 得. 故选：B 4. 把3个不相同的书签，放入7个不同的书架中，则不同的放法有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将3个不相同的书签放入7个不同的书架中，每个书签有7种放法，根据分步乘法计数原理可知有种不同的放法. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 6. 已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的高为，整理可得圆锥的体积，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，即可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 可得， 则圆锥的体积，则， 当时，；当时，； 则在上单调递增，在内单调递减， 可知当，即时，圆锥的体积取到最大值. 故选：B. 7. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及线面垂直的性质得到，即可得解. 【详解】由， 因为平面，平面，所以，即， 所以， 又底面是边长为的菱形，，为底面内的一个动点， 所以在以为直径的圆上. 故选：B 8. 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然后利用此结论可求得答案. 【详解】由，得 ， 由 可得：， 因为 所以的图象关于点对称， 所以， 因为， 所以， 所以，，， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数四则运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D正确． 故选：CD． 10. 已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 点的轨迹为双曲线的一支 B. 设，则使的点有个 C. 设为原点，则直线的斜率 D. 曲线以为中点的弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；化简曲线的方程，利用两点间的距离公式求出点的坐标，可判断B选项；利用直线与双曲线的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，记点、， 则， 由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的右支，A对； 对于B选项，设曲线的方程为， 则，可得，又因为，故， 所以曲线的方程为， ， 解得，故，故满足的点只有一个，且，B错； 对于C选项，若直线的斜率不存在，且该直线为轴，此时直线与曲线无公共点， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 关于的方程有正根，所以，解得，C对； 对于D选项，设以为中点的弦的端点为、， 若直线的斜率不存在，则、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由， 这两个等式作差得， 由题意可得，， 所以， 此时直线的方程为，即， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，，即、都为正数，符合题意. 综上所述，曲线以为中点的弦所在直线的方程为，D对. 故选：ACD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若函数有两个不同的零点，则 B. 若函数恒成立，则 C. 若函数和共有两个不同的零点，则 D. 若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；对于B，由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最小值，可判断B选项；对于C，由参变量分离法可知，直线与函数、的图象共有两个交点，数形结合可判断C选项；对于D，先利用同构法得到，再利用的单调性结合图像得到，，进而证得，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 令，则直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为，函数的极小值为，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 即函数有两个不同的零点，A对； 对于B选项，由可得，令，其中， ，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 故，所以，，B对； 对于C选项，令，可得， 因为函数、共有两个不同的零点， 则直线与函数、的图象共有两个交点， 由图可知，当时，直线与函数、的图象共有两个交点， 因此，若函数和共有两个不同的零点，则，C错； 对于D选项，若函数和共有三个不同的零点， 则直线经过与的交点，如图所示， 因为，所以， 因为，所以， 又，且在上单调递减，故， 同理：，即， 又由得，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由多边形为正六边形可得双曲线渐近线方程，据此可得双曲线离心率；然后由正六边形几何性质可得椭圆离心率，据此可得答案. 【详解】设正六边形边长为，则. 由，可得双曲线的一条渐近线方程为：，则， 从而双曲线离心率为； 椭圆离心率为. 则离心率之和为：. 14. 已知函数.当时，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导得，令，根据的取值分类讨论函数的单调性，即可验证结论，即可求得的参数范围. 【详解】，. 则，令， 则. ① 当时，，则，即在上单调递增，从而， 则在上单调递增，故， 故满足题意； ② 当时，由，即在上单调递减， 则当时，在上单调递减， 从而当时，，即不满足题意； ③ 当时，，从而在上单调递减，则， 故在上单调递减，则此时，从而不满足题意. 综上可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法计算可得； 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知函数在点处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组，解出即可； （2）先将问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，再构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【小问1详解】 由题意得， 故， 【小问2详解】 过点向曲线作切线，设切点为， 则，， 则切线方程为， 将代入上式，整理得. 过点可作曲线的三条切线， 方程有三个不同实数根. 记，， 令，得或1，则，，的变化情况如下表： 0 1 + 0 - 0 + 极大 极小 当，有极大值；，有极小值， 由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点.此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是. 17. 如图，在三棱柱中，底面侧面，，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析； （2）30°. 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质结合已知证明四边形为菱形，再由线面垂直的判定定理证明平面，最后可得结果； （2）由等体积法和三角形的面积公式可求出，进而得到，然后以C为原点建立如图所示坐标系，求出平面的法向量为，最后代入空间二面角的向量公式求出即可. 【小问1详解】 ∵平面平面，平面， 平面平面，， ∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴， ∵，∴四边形为菱形， ∴， ∵，，平面， ∴平面. 又平面 ∴. 【小问2详解】 设为点到平面的距离， ， 由（1）知∴∴， ∴∴， ∵为锐角∴， 取中点，则， 以C为原点，以、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.如图所示： 则，， ， ，设平面的法向量为， 则取，则， 由（1）知，为平面的法向量， ， 所以，平面与平面的夹角为. 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； （3）记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知条件即可得方程组求解参数，，从而可得椭圆方程； （2）设点为椭圆上任意一点，先求出的最大值是，所以的最大值是． （3）利用设直线方程，结合韦达定理即可求出点坐标，利用二元一次方程组可求出点坐标，再利用向量的坐标共线运算可求解参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． 【小问2详解】 设点为椭圆上任意一点， 则 ， 当时，的最大值是，即的最大值是， 所以的最大值是． 【小问3详解】 由题意，设直线l的方程为，设点G坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点A与l垂直的直线方程为， 由，设交点H坐标为，可得，， 因为，所以， 法一：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 法二：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【小问1详解】 由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高二下学期三月月考数学试题 考试时间：3月25日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 若两条直线与相互垂直，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 把3个不相同的书签，放入7个不同的书架中，则不同的放法有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 种 D. 种 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 7. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 8. 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 点的轨迹为双曲线的一支 B. 设，则使的点有个 C. 设为原点，则直线的斜率 D. 曲线以为中点的弦所在直线的方程为 11. 已知函数，，则（ ） A. 若函数有两个不同的零点，则 B. 若函数恒成立，则 C. 若函数和共有两个不同的零点，则 D. 若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三点共线，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 14. 已知函数.当时，，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数在点处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，底面侧面，，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角. 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； （3）记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $