第一章 整式的乘除 回顾与思考 教学设计 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

《整式的乘除》 第12课时回顾与思考教学设计 课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《回顾与思考》主要内容是复习整式的乘除法法则，幂的运算、简单的整式乘除法练习；主要内容是灵活运用乘法公式，稍复杂的整式乘除法及综合应用.本节课按知识点分类设计了六个教学环节： (1)知识架构、（2）知识梳理 、（3）考点讲练 、（4）典例精析、（5）课堂练习 （6）作业布置 学习者分析 学生的知识技能基础：学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系. 学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。 教学目标 1．灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题. 2．在解决综合题目的过程中，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，提高应用代数意识及方法解决问题的能力， 进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。 3．在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 教学重点 会运用法则和公式进行整式的乘除运算。 教学难点 灵活应用本章知识解决问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：知识架构 教师活动1： 学生活动1： 课前预习画思维导图。 展示思维导图并小组合作完善思维导图。 活动意图说明： 通过回顾知识框架图，明确本节课的复习内容. 环节二：知识梳理 教师活动2： 1、 同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加 （其中mn为正整数） 练习：判断下列各式是否正确。 2、 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （其中m、n为正整数） （其中m、n、P为正整数） 练习： 3、积的乘方 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） （其中n为正整数） （其中n为正整数） 练习： 答案： 4、同底数的幂相除 法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。 （其中m、n为正整数） （a≠0） （a≠0,p为正整数） 练习： (1)．一款紫外线灯的波长为300nm（1nm＝10﹣9m），300nm用科学记数法可以表示为（　B　） A．3×10﹣6m B．3×10﹣7m C．3×10﹣8m D．3×10﹣9m (2)．下列运算正确的是（　D　） A．a6÷a3＝a2 B．2a﹣2＝ C．（﹣a2）﹣3＝a6 D．（﹣a2）3÷（﹣a3）2＝﹣1 (3)．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（　B　） A．3 B．6 C．7 D．8 5、单项式乘以单项式 法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。 6、 单项式乘以多项式 法则：单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 7、 多项式乘以多项式 法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 练习：(2) (x2y-2xy+y2)(-3xy) (1) 4a2c5 (-3a3bc2) 解：原式= -3x3y2+6x2y2-3xy3 解：原式= -12a5bc7 (4) (28a3-14a2+7a)÷7 (3) (3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2) 解：原式= 3a2-5a+2-a2-3a-2 = 2a2-8a 解：原式= 4a3-2a2+a (5) (a–b)7÷ (b–a)2 解：原式= (a–b)5 8、 平方差公式 法则：两数的各乘以这两数的差，等于这两数的平方差。 (a、b可以是一个数，也可以是一个代数式） 9、完全平方公式 法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。 (a、b可以是一个数，也可以是一个代数式） 练习：运用公式计算(2) 103×97 (1) (y+3z)(y-3z) 解：原式=(100+3)(100-3) =1002 – 9 =9991 解：原式= y2 – 9z2 (3) (-8x+3)2 解：原式= 64x2 – 48x+9 (4) 9982 解：原式= (1000–2)2 = 10002– 4000+4 = 996004 (6) (3a-4b)2·(-4b-3a)2 (5)(x-y+1)(x+y-1) 解：原式= (3a-4b)2·(3a +4b)2 = (9a2 – 16b2)2 = 81a4-288a2b2+256b4 解：原式=[x-(y-1)]·[x+(y-1)] = x2 – (y-1)2 = x2 – y2+2y-1 10、单项式除以单项式 法则：单项式除以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相除后，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 11、 多项式除以单项式 法则：多项式除以单项式，就是多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。 练习： 1、计算、x+y = -5，xy=3，求x2+y2及(x-y)2的值. 2、计算、[(2x-y)2+(2x+y)(2x-y)+4xy]÷(2x)，其中x=4. 解2：原式=[4x2-4xy+y2+4x2-y2+4xy] ÷(2x) = (8x2)÷(2x) =4x 解1：x2+y2 =(x+y)2-2xy =(-5)2-2×3 =19 (x-y)2 =(x+y)2-4xy =(-5)2-4×3 =13 因为x=4，所以原式=4×4=16. 学生活动2： 梳理知识点，并进行相应的练习。 活动意图说明： 将本章学过的所有法则及公式快速加以复习，同时让学生回答出法则及公式中的注意事项. 让学生进一步明确各种运算法则，类比纠正学生在认识上模糊的地方， 环节三：考点讲练 教师活动3： 考点一 幂的乘法运算 解：（1）原式=8a3b6 ×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10. （2）原式=（－8）×（－8）2016 ×（0.125）2016 =（－8）[（－8） ×0.125]2016 =（－8）×（－1）2016=－8. 例1 计算： （1）(2a)3(b3)2 ·4a3b4； （2）(－8)2017 ×(0.125)2016. 解：（1）原式=8a3b6 ×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10. （2）原式=（－8）×（－8）2016 ×（0.125）2016 =（－8）[（－8） ×0.125]2016 =（－8）×（－1）2016=－8. 方法总结 幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正. 针对训练1.下列计算不正确的是（ D ） A.2a3 ·a=2a4 B. (－a3)2=a6 C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a8 2. 计算：0.252017 ×（－4）2017－8100 ×0.5301. 解:原式=[0.25 ×（－4）]2017－（23）100 ×0.5300 ×0.5 =－1－（2 ×0.5）300 ×0.5 =－1－0.5 =－1.5. 3. 比较大小：420与1510. 解:∵420=（42）10=1610， ∴1610>1510, ∴420>1510. 考点二 整式的乘法 例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y，其中 x=1，y=3. 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108. 解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y =(2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108. 方法总结 整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则. 针对训练a2－2ab+a 1.一个长方形的长是a－2b+1，宽为a，则长方形的面积为 2.(x＋1)2－(x＋2)(x－2)； 3.(3x－2y＋1)(3x＋2y－1)． 解：原式 = [3x－(2y-1)][3x＋(2y－1)] =9x2-(2y-1)2 = 9x2-4y2 +4y-1 解：原式 =x2+2x+12-(x2-4) = 2x+5 考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2，其中x=3，y=1.5. 解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2) ÷2x =(2x2－2xy) －2x2 =－2xy. 当x=3,y=1.5时，原式=－9. 方法总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 针对训练1.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=0的解. 解：原方程可化为－5x+5=0，解得x=1. 2.已知x2+9y2+4x－6y+5=0，求xy的值. 解：∵x2+9y2+4x－6y+5=0, ∴(x2+4x+4)+(9y2－6y+1)=0， ∴(x+2)2+(3y－1)2=0. ∴x+2=0，3y－1=0，解得x=－2，y= ∴ 考点四 本章数学思想和解题方法 （1）转化思想 例4 计算：(1)－2a·3a2b3· (2)（－2x+5+x2）·（－6x3）. 解：（1）原式= （2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3) =12x4－30x3－6x5. 方法总结 将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式 转化 单项式×多项式转化单项式×单项式 转化有理数的乘法和同底数幂的乘法. 针对训练 1.计算：（4a－b）•（－2b）2． 解：原式=（4a－b）•4b2=16ab2－4b3． （2） 整体思想 例5 若2a+5b－3=0，则4a·32b= 8 . 方法总结 在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错. 针对训练 12500 1.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n= . 2 2.若x+y=2，则 = . （3）数形结合思想 例6 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 a2－b2=(a+b)(a－b) b a a a a b b b b b a-b 方法总结 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起． 针对训练 我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a+3ab+b，就可以用图①和图②等图形的面积表示.a a a b b ab ab ab a2 a2 b2 图① （1） 请写出图③所表示的代数恒等式； (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; （2） 请画一个几何图形，使它的面积能表示 （a+b)(a+3b)=a+4ab+3b.b2 a2 a2 ab ab ab a a a b b 图② 如图②所示 学生活动3： 对每个考点精讲后小组合作进行方法总结并进行针对性练习。 活动意图说明： 本环节题目难度有所提高，内容较为灵活，在教学时，要关注学生是否灵活运用公式解决问题，同时注意点拨。本环节，教学采用了小组讨论形式，教学时提醒学生注意归纳一些解题技巧,鼓励学生大胆质疑，提出自己的想法. 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.计算a·a2的结果是(　A　) A．a3        B．a2         C．3a         D．2a2 3. 计算(－2a2)3的结果是(　　) A.－6a2　　　 B.－8a5　　　 C.8a5　　 　D.－8a6 A   A 3. 计算(－2a2)3的结果是(　D　) A.－6a2　　　 B.－8a5　　　 C.8a5　　 　D.－8a6 4.计算(﹣2m)·(﹣m·m+3m)的结果是(　A 　) A．8m B．﹣8m  C．8m D．﹣4m+12m  5.要使多项式(x＋px＋2)(x-q)不含x的二次项，则p与q的关系是(  A    ) A.相等      B.互为相反数      C.互为倒数      D.乘积为-1 6.已知a-b=3，ab=2，则a+b的值为（　A　　） A.13 B.7 C.5 D.11 7.若 ax=3，ay=2，则 ax+2y=________. 8.若2×8n×16n=222，则n=__3_____. 9.已知(x﹣y)2﹣2x+2y+1=0，则x﹣y=__1______. 选做题： 10.如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将他们按照图和图的形式摆放， (1) 用含有、的代数式分别表示阴影面积： ． 若，，求的值； 解：把，代入上式： 的值是． 【综合拓展类作业】 11.乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． 请用两种不同的方法表示图大正方形的面积． 方法 ；方法：； (2) 观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：   ； 根据题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值； 已知，求的值． 解：，， ， 又， ， ． 设，， 则，， 由得， ， ， 即的值为． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1、若2ab和ab的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（ B ） A.1，2 B.2，1 C.1，1， D.1，3 2、下列运算正确的是：（ C ） A.x·x=x B.x-x=x C.（-x）·（-x）=-x D.x÷x=x 3、已知代数式3y-2y+6的值为8，则代数式1.5y-y+1的值为（ B ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置图，图中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图中阴影部分为，图中阴影部分的面积和为则关于，的大小关系表述正确的是 A. B. C. D. 无法确定 5.王老师有一个实际容量为的盘，内有三个文件夹，已知课件文件夹占用了的容量，照片文件夹内有张大小都是的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是的音乐，若该盘容量恰好用完，则此时文件夹内有音乐 B   A. 首 B. 首 C. 首 D. 首 选做题： 6. 已知，求的值； 解：， ， ， ， ，， ； 7.若，，求． ，， ． 【综合拓展类作业】 8.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(a+b)(a﹣b) a2﹣b2 (1)图1中阴影部分面积为_______，图2中阴影部分面积 ___________，对照两个图形的面积可以验证_________公式(填公式名称)请写出这个乘法公式_______________.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) 平方差 2)应用(1)中的公式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值； 解：(2)①∵ x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)， ∴ 15=3(x﹣2y)， ∴ x﹣2y=5； ②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1. 解：②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 =(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 =(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 =(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 =(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1 =(264﹣1)(264+1)+1 =2128﹣1+1 =2128. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $