第20章勾股定理（章节测试）2025-2026学年人教版数学八年级下册

第20章勾股定理（章节测试）2025-2026学年人教版数学八年级下册（2024） 一、单选题 1．在 中， ， 边长 ，，则 边 长 c 为 （　　） A．196 B．144 C．18 D．12 2．如图，在中，已知．，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．为等边三角形，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．中，的对边分别为a，b，c．满足下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 6．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（ ） A． B． C． D． 7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 8．在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶 米、 米，则 秒后两车相距（　　）米. A． B． C． D． 9．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则BC的长为　 　． 11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　． 12．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC是格点三角形，点D为AC的中点，则线段BD的长为 　 　. 13．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为　 　． 14．如图，已知等边 的边长是6，点D在AC上，且 延长BC到E，使 ，连接 点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为　 　. 15．如图，中，，为上一点，，连接． （1）当时，的值为　 　； （2）的最小值为　 　． 三、解答题 16．如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由. 17．如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明． 18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 19．已知，如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线都经过点． （1）求与的值； （2）此双曲线又经过点，点是轴的负半轴上的一点，且点到轴的距离是2 ，联结、、， ①求的面积； ②点在轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标. 20．如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮．经测量，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m． （1）求这块四边形空地的面积； （2）若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？ 21．如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出点A、B、C的坐标． （2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s） ①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标． ②当t为何值时，与一腰垂直？ 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 【解析】【解答】解：过点B作于点C，如图所示： ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 故选：D． 【分析】过点B作于点C，根据等边三角形性质可得，，再根据勾股定理可得BC，再根据点的坐标即可求出答案. 4．【答案】B 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3， ∴AC= ，CF=3 ， ∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°， 由勾股定理得，AF= = =2 ， ∵H是AF的中点， ∴CH= AF= ×2 = ． 故选：B． 【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】B 【解析】【解答】解：画出简单示意图，如图所示，假设10秒后自行车和摩托车分别到达点A、点B， ∵ 自行车的速度是2.5米/秒 ∴ 10秒后自行车走了2.5×10=25米，即OA=25， ∵ 摩托车的速度是6米/秒 ∴ 10秒后摩托车走了6×10=60米，即OB=60， ∵ 两条道路垂直 OA=25 ，OB=60， ∴ AB= ， 即10秒后，两车相距65米. 故答案为：B. 【分析】根据题意画出图形，10秒后，两车的距离是直角三角形的斜边，用勾股定理可求解。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：是等边三角形，是的垂直平分线 不是中点，N点不在∠ACB的角平分上， ∴CN不平分∠ACB， ，故①不符合题意； 是等边三角形， ，， ，F是的中点， ， ， ， ， ， ，故⑤符合题意； 设，则， ，， 在中，，， ， ，故②符合题意； 如图，过N作于H，连接， 在等边中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ，故④不符合题意； 在和中， ， ， ， ， ， ，故③符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据△ABC是等边三角形及MN垂直平分BG，可知点M不是BG的中点，可推出CN不平分∠ACB，即得，故①错误；由△ABC是等边三角形、CE＝BC及F是AC的中点，可推出CF=CE，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠E=30°，利用三角形内角和可求出∠BGE=90°，故⑤正确；设，则，根据直角三角形性质求出，，，，从而求出，即得，故②正确；过N作于H，连接，由等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质可推出，在中，可知，即得，故④错误；证明，可得，从而求出，由于，可求出，故③正确. 10．【答案】2 11．【答案】2.5 12．【答案】 【解析】【解答】解：，，， ， ∴∠ABC＝90°， ∵点D为AC的中点， ∴BD为AC边上的中线， ∴BD＝AC， 故答案为：. 【分析】利用勾股定理的逆定理求出∠ABC＝90°，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得到BD＝AC，即可得解. 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接，延长到点，使得，连接， ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【分析】连接，延长到点，使得，连接，再求出当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，再利用勾股定理求出，即可得到的最小值为． 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接CF，CG， 是等边三角形， ，点F，G分别是AB，DE的中点， 平分 ，CG平分 ， ， ， ， 又 ， ， 中， ， ， 中， ， 中， ， 故答案为： 【分析】连接CF，CG，依据等腰三角形的性质，即可得到CF平分 ，CG平分 ，进而得出 ，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理即可得到FG的长. 15．【答案】； 16．【答案】解：该车符合安全标准， ∵AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm， ∴AB2+BC2=602+452=5625， ∵AC2=752=5625， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴AB⊥BC， ∴该车符合安全标准． 【解析】【分析】由勾股定理逆定理得AB⊥BC，即知符合安全标准. 17． 【答案】不会穿过 【解析】1.判断△ABC形状 15² + 20² = 225 + 400= 625=25² AB²+AC²=BC² 所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，BC为斜边。 2.点A到直线BC的距离 d 在直角三角形中，斜边上的高： 3.比较d与圆半径R=10 d=12>10 即圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离。 结论：公路不会穿过自然保护区。 18．【答案】（1）的长度为 （2）该车符合安全标准 【解析】(1) 求 BD 在△BCD 中，∠BCD =90°，BC=30，CD= 40, (2）判断AB⊥BC 在△ABD中，AB=50，BD=50，AD=AB+BD=100?等等，不对，A、B、D三点? 题目说AB⊥BC，这里B、C、D是一个直角三角形，A、B、D三点是否共线？从结构看，AB和 BD可能为婴儿车两段杆，A、B、D可能是一条折线，要判断AB⊥BC，就看△ABC： 已知AB=50，BC=30，AC未知。 由△BCD得BD=50，那么AB=BD=50，三角形ABD等腰。 在△ABD中，AB=50，BD=50，AD=？题中无直接给AD，但A、B、D是婴儿车结构的一 条路径，不过AD与CD无关。 若想判断 AB⊥BC，可用AC²是否为AB²+BC²。 在△ABC中，AB=50，BC=30，由余弦定理： 先由△BCD知B、C、D中∠C=90°，点A、B、C共面，AC长度可由A、C在△ABC求? 缺AC直接值。 但△ACD中，C、D已知，A、D关系未知？更直接： 由△ABC：AB²= 2500，BC²= 900，要 AB⊥ BC 则 AC²= 2500+ 900=3400。 可在△ACD中，CD=40，AD未知，AC未知，所以无直接验证。但题给A、B、C在一条平 面，C、D、B直角，AD不是直接求，也许隐含A、B、D共线？ 不过图是婴儿车简化结构，很可能A、B、D同一直线，则AD=100，这时△ACD中CD=40， AD=100，AC由勾股定理： 此时在AABC中， AC² =8400， AB²+ BC² = 2500+ 900= 3400 两者不等，所以AB⊥BC不成立。 19【答案】（1）k=8，m=4；（2）①8；② 【解析】 20【答案】（1）234m2；（2）46800元 【解析】 面积： (2）总费用 234x 200= 46800元 21．【答案】（1），，；（2）①，，；，； ②7或25 【解析】 所以：t=1, 4, 7 对应的 P(−3,0)P(−3,0)，P(0,0)P(0,0)，P(3,0)P(3,0)。 −4t+16=9⟹−4t=−7⟹t=1.75 所以：t=6.25 或 t=1.755 学科网（北京）股份有限公司 $