第十七章 勾股定理（思维导图+考点串讲+题型精练+章节测试） 2024—2025学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 一．勾股定理 文字语言 符号语言 变式 应用 图示 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ， ， ， 注意： ①要确定是直角三角形； ②要分清直角边和斜边． 二．勾股定理的证明 1．赵爽“勾股圆方图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为．又大正方形的面积，所以． 2．伽菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则，又，所以． 3．毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形面积，由图②得大正方形面积，比较两式易得． 三．勾股定理的应用 1．已知直角三角形的任意两边求第三边； 2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4．构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 四．互逆命题与互逆定理 1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 注意： ①写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论互换； ②每个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有其逆定理； ③正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题； ④互逆命题、互逆定理都是相对的，只有先确定了原命题，才有相应的逆命题． 五．勾股定理的逆定理 1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 2．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤： ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④得出结论． 3．勾股定理与其逆定理的区别与联系 定理 区别 联系 勾股定理 （1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个直角三角形三边的关系； （2）勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足（c为最长边）”为题设，进而得到“这个三角形为直角三角形”； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 六．勾股数 1．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 2．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15． 【题型精练】 题型一、利用勾股定理解三角形 1．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D． 2．如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 4．如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为 ． 5．如图，在中，，，点在上，连接，若，，求的长． 题型二、利用勾股定理求面积 6．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为 7．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 ． 8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为 ． 题型三、判断直角三角形 9．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 11．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 题型四、勾股定理的证明方法 12．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证（   ） A． B． C． D． 13．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 14．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)证明：； (2)若拼成的大正方形面积为169，小正方形的面积为49，求的值． 15．用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形． (1)用两种方法计算该梯形的面积，说明． (2)是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由． 题型五、勾股树（数） 16．下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④，，（n是大于1的整数），其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 18．综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”） 探究活动 （1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程； 【证明】 初步运用 （2）利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________； ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________． 题型六、利用勾股定理求最短路径 19．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 20．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 21．如图，一只蚂蚁从长、宽、高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 22．如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是 ，确定最短路径的依据是 ． 题型七、利用勾股定理解决折叠问题 23．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，矩形中，，，将沿折叠，使点A恰好落在对角线上的F处，则 ． 26．如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点M，交于点N． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 题型八、利用勾股定理逆定理求解 27．一块木板如图所示，已知，，，，，求此木板的面积 ． 28．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    29．已知：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 30．在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 题型九、勾股定理在实际生活中的应用 31．如图，有两棵树，一棵高13m，另一棵高7m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 m． 32．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 33．“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级的小吒和小丙学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为18米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小丙的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小丙想使风筝沿方向下降6米，则他应该往回收线多少米？ 34．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 题型十、勾股定理的逆定理在实际生活中的应用 35．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（    ） A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里 36．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为25m．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为12m，的长为15m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 37．怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，，，且．求四边形展区的面积． 38．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 39．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点D处开凿隧道修通一条公路到点C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上的另一停靠站B的距离为20km，停靠站A，B之间的距离为25km，且． （1）判断是什么三角形？并说明理由； （2）求修通的公路的长． 【章节测试】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．2，3，4 C．6，8，10 D．7，5，6 2．已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 3．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为 4和 25，则的面积为（     ） A．20 B．26 C．29 D．32 4．如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．若实数m、n满足且m、n恰好是Rt△ABC的两条直角边长，则第三条边长为（    ） A．10 B． C．10或 D．以上均不对 6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为5 D．点A到的距离是1.5 7．《九章算术》是中国古代的数学著作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ） A．26寸 B．寸 C．52寸 D．101寸 8．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）    A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 10．在图1所示的的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为，且，则大正方形的边长为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长为 ． 12．已知的三条边长，，满足，则的面积为 ． 13．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 14．若，三边长分别是，，，则是 三角形． 15．如图，在中，D是边上一点， ，，则的长为 ． 16．中，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是筹腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 18．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 19．如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 20．如图是一块地的平面图，，，，，． (1)求A、C两点间的距离； (2)求这块地的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 22．如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． (1)作于D，设，用含x的代数式表示，则___________； (2)请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； (3)利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 23．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中表示图中第个三角形的面积），，；，；，；…… (1)用含有（是正整数）的式子表示：________，________； (2)若一个三角形的面积是，则说明这是第________个三角形． (3)的值为________． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 25．课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$