2.2探索直线平行的条件讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 探索直线平行的条件一、知识点回顾 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 表示方法：直线AB平行于直线CD，记作"AB ∥ CD"。 基本事实（平行公理）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 平行线的判定方法 两条直线被第三条直线所截，形成同位角、内错角、同旁内角。通过研究这些角的关系，可以判定两条直线是否平行。 同位角、内错角、同旁内角的定义 如图，直线AB、CD被直线EF所截，形成八个角： · 同位角：位置相同的一对角，如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 · 内错角：在两条直线内部，在截线两侧的一对角，如∠3与∠5，∠4与∠6。 · 同旁内角：在两条直线内部，在截线同侧的一对角，如∠3与∠6，∠4与∠5。 平行线的判定定理 判定方法1（同位角相等，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。 判定方法2（内错角相等，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。 判定方法3（同旁内角互补，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1（两直线平行，同位角相等）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等。 性质2（两直线平行，内错角相等）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。 性质3（两直线平行，同旁内角互补）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。 二、重难点讲解 重难点1：三种判定方法的灵活选择 在具体问题中，如何根据已知条件选择合适的判定方法证明两直线平行，是本章的重点和难点。 方法选择策略 已知条件特点 优先考虑的方法 理由说明 有相等的同位角 判定方法1（同位角相等） 最直接，图形位置关系明显 有相等的内错角 判定方法2（内错角相等） 在复杂图形中常比同位角更易识别 有互补的同旁内角 判定方法3（同旁内角互补） 当角度和为180°时优先使用 关键思路： 1. 首先明确要证明哪两条直线平行 2. 找出这两条直线与第三条直线（截线）形成的角 3. 观察这些角的关系，选择最合适的判定方法 4. 如果直接条件不足，考虑通过等量代换或角度计算得到所需条件 重难点2：平行线的性质与判定的区别 平行线的性质与判定是两个互逆的命题，容易混淆，必须明确区分。 本质区别 平行线的判定 平行线的性质 因果关系 由角的数量关系→推出直线的位置关系 由直线的位置关系→推出角的数量关系 使用时机 要证明两直线平行时使用 已知两直线平行，要得到角的关系时使用 逻辑关系 因：角相等或互补 果：两直线平行 因：两直线平行 果：角相等或互补 证明思路对比 判定思路：已知∠1 = ∠2 → 根据"同位角相等，两直线平行" → 结论：直线a ∥ 直线b 性质思路：已知直线a ∥ 直线b → 根据"两直线平行，同位角相等" → 结论：∠1 = ∠2 重难点3：复杂图形中的角关系识别 在复杂几何图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角是解决问题的关键。 识别技巧 1. 明确"三线八角"：首先确定哪两条直线是被截线，哪一条是截线。 2. 模型识别法：同位角形成"F"型，内错角形成"Z"型，同旁内角形成"U"型。 3. 排除干扰：在复杂图形中，可能有多组平行线或多条截线，要逐一分析，避免混淆。 记忆口诀： 同位角，F型现，位置相同能看见； 内错角，Z型线，内部两侧夹中间； 同旁内角U型连，内部同侧是关键。 三、易错点讲解 易错点1：混淆判定定理与性质定理 常见错误：在证明过程中，将判定定理与性质定理混用，导致逻辑错误。 错误示例： 已知：∠1 = ∠2 证明：直线AB ∥ 直线CD 错误过程：因为∠1 = ∠2，根据"两直线平行，同位角相等"，所以AB ∥ CD。 错因分析： "两直线平行，同位角相等"是性质定理，已知平行得到角相等。 这里应该是"同位角相等，两直线平行"，这是判定定理。 正确记忆： "同位角相等" → 推出 → "两直线平行"（判定） "两直线平行" → 推出 → "同位角相等"（性质） 易错点2：忽视"三线"前提条件 常见错误：应用判定定理时，没有明确哪两条直线被哪条直线所截，导致用错角的关系。 核心要求：在使用平行线的判定定理时，必须明确： · 要判定哪两条直线平行（这两条是被截线） · 截线是哪一条直线 · 使用的角必须是这两条被截线与截线形成的角 规范步骤： 1. 明确结论：要证明"直线a ∥ 直线b" 2. 寻找截线：找到与a、b都相交的直线c 3. 寻找角：找出a、b与c形成的同位角/内错角/同旁内角 4. 应用定理：根据角的关系选择相应的判定定理 易错点3：忽略"同一平面内"的前提 概念错误：认为空间两条不相交的直线就是平行线。 正确定义：平行线必须同时满足两个条件： 1. 在同一平面内 2. 不相交 反例说明：在立体几何中，存在异面直线（既不相交也不平行），因为它们不在同一平面内。 特别注意：本章所有关于平行线的判定和性质，前提都是"在同一平面内"。虽然在初中阶段主要研究平面几何，但必须明确这个前提条件。 易错点4：对"同旁内角互补"理解错误 常见错误：认为同旁内角之和等于任何值时都能判定平行，或者认为只有同旁内角相等才能判定平行。 正确理解： 判定方法3：同旁内角互补 → 两直线平行 "互补"特指两个角的和等于180° 错误辨析： · 同旁内角之和=90°（互余）→ 不能判定平行 · 同旁内角之和=180°（互补）→ 可以判定平行 · 同旁内角相等（每个角=90°）→ 可以判定平行（特殊情况） 记忆要点：同旁内角互补（和为180°）是判定平行的充分条件，但不是必要条件。 本章易错点总结 1. 混淆平行线的判定与性质，因果关系颠倒 2. 应用定理时未明确"三线八角"，导致用错角的关系 3. 忽略"同一平面内"的前提条件 4. 对"同旁内角互补"理解不准确，忽视"互补"的特定含义 5. 在复杂图形中不能准确识别三类角的位置关系 6. 证明过程中逻辑跳跃，缺少必要的步骤说明 一、 选择题 1 .(单选)如图，不能说明的有（   ）． ① ② ③ ④ A.个 B.个 C.个 D.个 2 .(单选)下列说法中正确的个数为（        ）①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离；②同位角相等；③一条直线的中垂线有无数条；④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A.1 B.2 C.3 D.4 3 .(单选)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（        ）    A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 4 .(单选)如图， 下列条件中不能判断 的是 （   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)已知直线及直线外一点 C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（        ） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 6 .(单选)如图，下列条件中不能证明 的是（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)下列各图中， 和 不是同位角的是（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)如图，下列能判定的条件有（        ） ①；②；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题 1 .如图，要使，需添加一个条件，这个条件可以是           （只需写出一种情况） 2 .张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；对三位同学的答案判断正确的是           ． 3 .如图所示，若，则           //          ． 4 .如图，当＝           （写出一个角）时，能得到． 5 . 图形 名称 定义 举例 形状 内错角 位于直线的内部， 被截线错开的两个角 和           ； 和           ； “”字形 同旁内角 位于直线的内部， 在截线同旁的两个角 和           ； 和           ； “”字形 6 .如图，从以下给出的四个条件中选取一个： （）； （）； （）； （）． 恰能判断的概率是           ． 7 . 平行判定(1) 平行判定(2) 平行判定(3)      1     相等，两直线平行      2     相等，两直线平行 同旁内角      3     ，两直线平行 图例 几何语言 ∵      4     ， ∴      5      ∵      6     , ∴      7      ∵      8     , ∴      9      8 .如图， 的同旁内角是           ， 的内错角是           ， 的同位角是           . 三、 解答题 1 .找出下面点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形）中互相平行的线段. 2 .如图， ， ， ，与平行吗？请说明理由. 3 .如图， ，点，，，在同一条直线上. ( 1 )若 ， ，则           ； ( 2 )求证： . 4 .当图中各角分别满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？ ( 1 )． ( 2 )． ( 3 )． 5 .如图， B， C是直线 a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点 B画直线 a的平行线．能画几条？(2)过点 C画直线 a的平行线．它与过点 B且与直线 a平行的直线平行吗？ 6 .如图，一个由条线段构成的“鱼”形图案，其中 ， ， ，找出图中的平行线，并说明理由. 7 .如图，已知，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 8 .（1）如图，已知，求证：．（2）如图，平分，平分，，，求证：． 9 .如图，按要求画图． (1)过点 P画直线；(2)连接；过 B画的垂线，垂足为 C、 D；(3)过点 P画的垂线段，垂足为 E． 10 .问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点 E作，把分成与的和，然后分别证明，．李思同学：如图③，过点 B作，则，再证明． 问题解答：（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．证明：过点 E作∴______，∵，，∴（______），∴______（______），∴，即，（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；证明：过点 B作交的延长线于点 G……问题迁移：（3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 11 .如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点 A， G， H， D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由；(2)求证：． 12 .如图， ， ，直线与平行吗？为什么？直线与呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线 探索直线平行的条件一、知识点回顾 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 表示方法：直线AB平行于直线CD，记作"AB ∥ CD"。 基本事实（平行公理）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 平行线的判定方法 两条直线被第三条直线所截，形成同位角、内错角、同旁内角。通过研究这些角的关系，可以判定两条直线是否平行。 同位角、内错角、同旁内角的定义 如图，直线AB、CD被直线EF所截，形成八个角： · 同位角：位置相同的一对角，如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 · 内错角：在两条直线内部，在截线两侧的一对角，如∠3与∠5，∠4与∠6。 · 同旁内角：在两条直线内部，在截线同侧的一对角，如∠3与∠6，∠4与∠5。 平行线的判定定理 判定方法1（同位角相等，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。 判定方法2（内错角相等，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。 判定方法3（同旁内角互补，两直线平行）：如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1（两直线平行，同位角相等）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等。 性质2（两直线平行，内错角相等）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。 性质3（两直线平行，同旁内角互补）：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。 二、重难点讲解 重难点1：三种判定方法的灵活选择 在具体问题中，如何根据已知条件选择合适的判定方法证明两直线平行，是本章的重点和难点。 方法选择策略 已知条件特点 优先考虑的方法 理由说明 有相等的同位角 判定方法1（同位角相等） 最直接，图形位置关系明显 有相等的内错角 判定方法2（内错角相等） 在复杂图形中常比同位角更易识别 有互补的同旁内角 判定方法3（同旁内角互补） 当角度和为180°时优先使用 关键思路： 1. 首先明确要证明哪两条直线平行 2. 找出这两条直线与第三条直线（截线）形成的角 3. 观察这些角的关系，选择最合适的判定方法 4. 如果直接条件不足，考虑通过等量代换或角度计算得到所需条件 重难点2：平行线的性质与判定的区别 平行线的性质与判定是两个互逆的命题，容易混淆，必须明确区分。 本质区别 平行线的判定 平行线的性质 因果关系 由角的数量关系→推出直线的位置关系 由直线的位置关系→推出角的数量关系 使用时机 要证明两直线平行时使用 已知两直线平行，要得到角的关系时使用 逻辑关系 因：角相等或互补 果：两直线平行 因：两直线平行 果：角相等或互补 证明思路对比 判定思路：已知∠1 = ∠2 → 根据"同位角相等，两直线平行" → 结论：直线a ∥ 直线b 性质思路：已知直线a ∥ 直线b → 根据"两直线平行，同位角相等" → 结论：∠1 = ∠2 重难点3：复杂图形中的角关系识别 在复杂几何图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角是解决问题的关键。 识别技巧 1. 明确"三线八角"：首先确定哪两条直线是被截线，哪一条是截线。 2. 模型识别法：同位角形成"F"型，内错角形成"Z"型，同旁内角形成"U"型。 3. 排除干扰：在复杂图形中，可能有多组平行线或多条截线，要逐一分析，避免混淆。 记忆口诀： 同位角，F型现，位置相同能看见； 内错角，Z型线，内部两侧夹中间； 同旁内角U型连，内部同侧是关键。 三、易错点讲解 易错点1：混淆判定定理与性质定理 常见错误：在证明过程中，将判定定理与性质定理混用，导致逻辑错误。 错误示例： 已知：∠1 = ∠2 证明：直线AB ∥ 直线CD 错误过程：因为∠1 = ∠2，根据"两直线平行，同位角相等"，所以AB ∥ CD。 错因分析： "两直线平行，同位角相等"是性质定理，已知平行得到角相等。 这里应该是"同位角相等，两直线平行"，这是判定定理。 正确记忆： "同位角相等" → 推出 → "两直线平行"（判定） "两直线平行" → 推出 → "同位角相等"（性质） 易错点2：忽视"三线"前提条件 常见错误：应用判定定理时，没有明确哪两条直线被哪条直线所截，导致用错角的关系。 核心要求：在使用平行线的判定定理时，必须明确： · 要判定哪两条直线平行（这两条是被截线） · 截线是哪一条直线 · 使用的角必须是这两条被截线与截线形成的角 规范步骤： 1. 明确结论：要证明"直线a ∥ 直线b" 2. 寻找截线：找到与a、b都相交的直线c 3. 寻找角：找出a、b与c形成的同位角/内错角/同旁内角 4. 应用定理：根据角的关系选择相应的判定定理 易错点3：忽略"同一平面内"的前提 概念错误：认为空间两条不相交的直线就是平行线。 正确定义：平行线必须同时满足两个条件： 1. 在同一平面内 2. 不相交 反例说明：在立体几何中，存在异面直线（既不相交也不平行），因为它们不在同一平面内。 特别注意：本章所有关于平行线的判定和性质，前提都是"在同一平面内"。虽然在初中阶段主要研究平面几何，但必须明确这个前提条件。 易错点4：对"同旁内角互补"理解错误 常见错误：认为同旁内角之和等于任何值时都能判定平行，或者认为只有同旁内角相等才能判定平行。 正确理解： 判定方法3：同旁内角互补 → 两直线平行 "互补"特指两个角的和等于180° 错误辨析： · 同旁内角之和=90°（互余）→ 不能判定平行 · 同旁内角之和=180°（互补）→ 可以判定平行 · 同旁内角相等（每个角=90°）→ 可以判定平行（特殊情况） 记忆要点：同旁内角互补（和为180°）是判定平行的充分条件，但不是必要条件。 本章易错点总结 1. 混淆平行线的判定与性质，因果关系颠倒 2. 应用定理时未明确"三线八角"，导致用错角的关系 3. 忽略"同一平面内"的前提条件 4. 对"同旁内角互补"理解不准确，忽视"互补"的特定含义 5. 在复杂图形中不能准确识别三类角的位置关系 6. 证明过程中逻辑跳跃，缺少必要的步骤说明 一、 选择题 1 .(单选)如图，不能说明的有（   ）． ① ② ③ ④ A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C ①∵， ∴，不能证明． ②∵， ∴． ③∵， ∴，不能证明． ④不能证明． 故①、③、④不能证明． 故选：． 2 .(单选)下列说法中正确的个数为（        ）①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离；②同位角相等；③一条直线的中垂线有无数条；④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A 3 .(单选)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（        ）    A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 【答案】 B 4 .(单选)如图， 下列条件中不能判断 的是 （   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 选项：和是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可以判断． 选项：和是同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可以判断． 选项：和是同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可以判断． 选项：和是对顶角，对顶角相等，但对顶角相等不能判定两直线平行，所以不能判断． 5 .(单选)已知直线及直线外一点 C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（        ） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 【答案】 A 6 .(单选)如图，下列条件中不能证明 的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 选项：根据“内错角相等，两直线平行”， 因为，所以. 选项：根据“同旁内角互补，两直线平行”， 因为，所以． 选项：因为， 又，所以， 再根据“内错角相等，两直线平行”，可得． 选项：与是同旁内角， 但它们的和为时，不能判定， 因为这组同旁内角不是由、被第三条直线所截得到的． 7 .(单选)下列各图中， 和 不是同位角的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 同位角是指两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角． 选项中，和是两条直线被第三条直线所截形成的同位角． 选项中，和是两条直线被第三条直线所截形成的同位角． 选项中，和是两条直线被第三条直线所截形成的同位角． 选项中，和的边所在直线不是两条直线被第三条直线所截的情况，不是同位角． 8 .(单选)如图，下列能判定的条件有（        ） ①；②；③；④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 二、 填空题 1 .如图，要使，需添加一个条件，这个条件可以是           （只需写出一种情况） 【答案】 等 2 .张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；对三位同学的答案判断正确的是           ． 【答案】 乙、丙 3 .如图所示，若，则           //          ． 【答案】 4 .如图，当＝           （写出一个角）时，能得到． 【答案】 5 . 图形 名称 定义 举例 形状 内错角 位于直线的内部， 被截线错开的两个角 和           ； 和           ； “”字形 同旁内角 位于直线的内部， 在截线同旁的两个角 和           ； 和           ； “”字形 【答案】 内错角是在两条被截直线之间，截线两侧的角； 同旁内角是在两条被截直线之间，截线同侧的角． 根据定义和图形，可得出上述答案． 6 .如图，从以下给出的四个条件中选取一个： （）； （）； （）； （）． 恰能判断的概率是           ． 【答案】 （）∵， ∴， 根据内错角相等，两直线平行即可证得； （） ∵， ∴， 根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证； （）∵， ∴， 根据同位角相等，两直线平行即可证得； （）∵， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行即可证得，不能证． ∴恰能判断的概率是：． 7 . 平行判定(1) 平行判定(2) 平行判定(3)      1     相等，两直线平行      2     相等，两直线平行 同旁内角      3     ，两直线平行 图例 几何语言 ∵      4     ， ∴      5      ∵      6     , ∴      7      ∵      8     , ∴      9      【答案】 同位角内错角互补 同位角相等，两直线平行． 图例中和是同位角， 所以几何语言为“，”． 内错角相等，两直线平行． 图例中和是内错角， 所以几何语言为“，”． 同旁内角互补，两直线平行． 图例中和是同旁内角， 所以几何语言为“，”． 8 .如图， 的同旁内角是           ， 的内错角是           ， 的同位角是           . 【答案】 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角． 所以的同旁内角是． 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间． 所以的内错角是． 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角． 所以的同位角是． 三、 解答题 1 .找出下面点阵（点阵中相邻的四个点构成正方形）中互相平行的线段. 【答案】 ，． 在点阵中，判断线段是否平行可通过观察线段的倾斜程度和方向． 互相平行的线段有：，． 2 .如图， ， ， ，与平行吗？请说明理由. 【答案】 平行，理由见解析 . 理由如下： ∵ ， ∴ . 又∵ , ， ∴ . ∴ . 3 .如图， ，点，，，在同一条直线上. ( 1 )若 ， ，则           ； ( 2 )求证： . 【答案】 (1) (2)证明见解析 (1)∵ ， ∴ ， 又 ， ， ∴  . (2)证明：∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ . ∴ . 4 .当图中各角分别满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？ ( 1 )． ( 2 )． ( 3 )． 【答案】 (1)． (2)． (3)． (1)因为， 所以（同位角相等，两直线平行）． (2)因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． (3)因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 5 .如图， B， C是直线 a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点 B画直线 a的平行线．能画几条？(2)过点 C画直线 a的平行线．它与过点 B且与直线 a平行的直线平行吗？ 【答案】 (1)能画1条 (2)见解析；平行 6 .如图，一个由条线段构成的“鱼”形图案，其中 ， ， ，找出图中的平行线，并说明理由. 【答案】 ， . 理由见解析． ， . 理由如下： ∵ ， （已知）， ∴ （等量代换）. ∴ （同位角相等，两直线平行）. ∵ ， （已知）， ∴ （等式性质）. ∴ （同旁内角互补，两直线平行）. 7 .如图，已知，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】 (1)见解析 (2) 8 .（1）如图，已知，求证：．（2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 9 .如图，按要求画图． (1)过点 P画直线；(2)连接；过 B画的垂线，垂足为 C、 D；(3)过点 P画的垂线段，垂足为 E． 【答案】 (1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 10 .问题探究：如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点 E作，把分成与的和，然后分别证明，．李思同学：如图③，过点 B作，则，再证明． 问题解答：（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．证明：过点 E作∴______，∵，，∴（______），∴______（______），∴，即，（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；证明：过点 B作交的延长线于点 G……问题迁移：（3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 11 .如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点 A， G， H， D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由；(2)求证：． 【答案】 (1)平行，理由见解析 (2)见解析 12 .如图， ， ，直线与平行吗？为什么？直线与呢？ 【答案】 ， . 理由见解析. ， .理由如下： ∵ ， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）. ∵ ， ∴ （同位角相等，两直线平行）. 学科网（北京）股份有限公司 $