2025-2026学年青岛版八年级数学下册3月学情质量监测试题

初二下学期3月学情质量监测 数学 1、 选择题（本大题共12小题，共36分） 1．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 2.在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 3．矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 4．把二次根式化简成最简二次根式，结果为（　　） A． B． C． D． 5 如图，中，对角线，相交于点，下列条件：（1）；（2）；（3），其中能判定是菱形的条件有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7.如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（　　） A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式 9.在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A B. C. D. 10．若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 11．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤ 2、 填空题（本大题共5小题，共15分） 13．如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 14． 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如， 计算： ． 15．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．   16.已知，为实数，若满足，则的值为　__________　 17.在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是______个． 三.解答题（本大题共7小题，共69分） 18化简（本题12分） （1） （2）（3+）（） （3） 19. （本题8分）如图，为矩形的对角线，于点E，于点F． 求证：(1)；(2)四边形是平行四边形． 20.（本题8分）实数在数轴上的位置如图所示，化简 21.（本题9分）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 22（本题10分）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 23（本题10分） 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空：______；______； （2）化简：． 24. （本题12分）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 初二下学期3月学情质量监测 数学答案 3、 选择题（本大题共12小题，共36分） 1．如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直， ∴ 所以A正确，B、C、D错误． 2.在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【详解】解：由题意，，解得： 3．矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 【答案】B 【详解】解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题意； B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不符合题意； D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； 4．把二次根式化简成最简二次根式，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 5 如图，中，对角线，相交于点，下列条件：（1）；（2）；（3），其中能判定是菱形的条件有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC， ∴∠1=∠BCO， （1）若∠1+∠DBC=90°时，则∠BCO+∠DBC=90°， ∴∠BOC=90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形； （2）若OA=OB，则AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形； （3）若∠1=∠2，则∠2=∠BCO， ∴AB=CB， ∴四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形； 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误； B、2+无法计算，故此选项错误； C、2﹣，无法计算，故此选项错误； D、﹣＝，正确． 7.如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴． 8．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（　　） A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式 【答案】:D 【解答】解：由于a+b≠0，ab≠±1， ∴a与b不是互为相反数，倒数、负倒数， 9.在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 10．若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 11．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【详解】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC， ∴PF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2， ∴PD＝DF ∴PD=． 故①错误； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， 又∵PE=CE ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8， 故②正确； ③如图1 延长FP交AB于G，延长AP交EF于H， ∵正方形ABCD ∴CD∥AB 又∵PF⊥于CD ∴∠AGP=90°； 由②的判断过程知四边形PECF是矩形， ∴∠EPF=90° ∴∠AGP=∠EPF； 由的判断过程知PF=DF， 又∵AG=DF ∴AG=PF 容易得到四边形BGPE是正方形， ∴PG=PE ∴△AGP≌△FPE ∴∠BAP=∠PFE 又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余 ∴∠FPH与∠PFE互余 ∴∠PHF=90°即AP⊥EF 故③正确； ④由③的判断过程知，△AGP≌△FPE ∴AP=EF 故④正确； ⑤如图2 当P运动到AP和BD垂直的位置时，AP最小； 又由④知P沿BD运动的过程中，AP恒等于EF， ∴当P到时，EF最小，且最小值是A 由图易知 ∴EF的最小值为．故⑤错误． 综上讨论知只有②③④正确． 4、 填空题（本大题共5小题，共15分） 13．如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 【详解】∵BD＝6cm，根据题意，当时， ∴ ， ∴ ， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 15． 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如， 计算： ． 【答案】 【详解】解：， 15．如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．   【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由翻折性质可知：，， ， 是等边三角形， ， ，，则 ,， ， 16.已知，为实数，若满足，则的值为　__________　 【答案】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 17.在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是______个． 【答案】 【详解】∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 同理：， ∴， ∴全等三角形有对， ∴①不正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴②正确； ∵， ∴四边形的面积为：， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共个． 三.解答题（本大题共7小题，共69分） 18化简（本题12分） （2） （2）（3+）（） （3） 解答】解：（1）原式 （2原式＝3﹣6+7﹣2＝+1． （3）原式． 19. （本题8分）如图，为矩形的对角线，于点E，于点F． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴． （2）∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 20.（本题8分）实数在数轴上的位置如图所示，化简 解：由数轴得， ∴ ， 21.（本题9分）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE， ∴BC=CE； （2）由（1）知：四边形ACED是平行四边形， ∴DF=CF=AB，EF=AF， ∵AD=2CF， ∴AB=AD， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ∵AD∥EC， ∴ ∴四边形ABCD是正方形． 22（本题10分）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 【详解】（1） （2） 23（本题10分） 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：∵，∴．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空：______；______； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 ． 24. （本题12分）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $