精品解析：湖南娄底市涟源市第三中学等校2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题

湖南省涟源市部分学校2026年上学期高二入学考试 数学试题 （时长：90分钟，共150分） 一、单选题（每小题5分） 1. 已知直线的斜率为，则其倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 2. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是　　 A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】A 【解析】 【分析】要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断与的大小，即只要判断的正负即可 【详解】﹣=＞0，∴. ＞0．数列是递增数列． 故选A． 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用初等函数导数公式，以及导数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以. 4. 已知，，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得. 5. 方程表示的曲线是　　 A. 一个圆 B. 两个半圆 C. 两个圆 D. 半圆 【答案】D 【解析】 分析】方程等价于，即可得出结论． 【详解】方程等价于， 表示的曲线是半个圆． 故选D． 【点睛】本题考查曲线与方程，考查圆的知识，属于基础题． 6. 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为，结合焦点的位置可得，可得其标准方程为：，由双曲线的几何性质可得，解可得的值，代入双曲线的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，要求双曲线与有相同的渐近线，可以设其方程为：， 又由其焦点为，则其焦点在轴上且，必有， 故其标准方程为：， 则有， 解可得； 故要求双曲线的标准方程为：； 故选： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是掌握渐近线相同的双曲线方程的设法，属于中档题． 7. 若抛物线上有两点，且AB垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设出两点坐标，结合即可解出直线的方程，进而可解得抛物线的焦点到直线AB的距离. 【详解】因为AB垂直于轴，则可设， 则，解得， 故直线的方程为， 由题意得，则抛物线焦点， 则到的距离为. 8. 设直线分别是函数图像上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线，的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得点的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用函数的性质求得的面积的取值范围 【详解】设，由图象，不妨设 当时，，当时，， 所以的斜率，的斜率， 因为与垂直，所以，得， 直线为，为， 令，可求得， 所以， 联立两直线方程可得交点的横坐标为， 所以， 因为函数在上为减函数，且， 所以， 所以， 所以面积的取值范围是， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是设，再由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再求出两直线的交点的横坐标，从而可表示出三角形面积，进而可求得结果，考查计算能力，属于较难题 二、多选（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（ ） A. 4 B. 14 C. 24 D. 26 【答案】BC 【解析】 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得，故BC符合题意． 10. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 11. （多选）已知等比数列的公比为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列通项  各选项转化为关于的表达式，再借助基本不等式和完全平方公式判断恒成立性，从而确定正确选项. 【详解】对于A，，， 当时，当且仅当时等号成立， 当时，当且仅当时等号成立， 因为不恒成立，故A错误； 对于B，，，因为，所以， ，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 与矛盾，故D错误. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 13. 已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 14. 设，函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，列出方程，得到对于任意恒成立，得到，进而求得的值. 【详解】由函数是上偶函数，可得， 所以，整理得， 所以对于任意恒成立，可得，即， 又因为，所以. 四、解答题（共77分） 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【小问1详解】 因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，的中点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小； （3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置. 【小问1详解】 直三棱柱中，侧棱面，面，. 假设，， ，，， ，故. 又，，平面， 平面，平面，. 【小问2详解】 如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：, 则， 设平面的一个法向量为， 则：，令，得，故. 设平面一个法向量为， 则：，取，得，故. 所以， 由图易知二面角为锐二面角，故， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 设线段上，令，，得， 则. 设线面角为，由（1）知平面的法向量为. ， 所以， 解得，符合要求， 所以存在满足条件的点，为线段的中点. 17. 已知过点的圆的圆心在直线上，且与轴相切． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意列出知的方程组求解即可； （2）当直线斜率的情况分类讨论，设出直线方程，结合弦长及点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为， 由题意知， 解得或（舍去），，， 所以该圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离为1， 此时弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 若弦长为，则圆心到直线距离为1， 即，解得， 将代入直线方程化成一般式为， 综上所述，直线方程为或. 18. 已知曲线的方程为，直线． （1）写出的短轴长和离心率； （2）当时，求被截得的弦长； （3）已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 【答案】（1）短轴长，离心率 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的标准方程求得，可求椭圆的短轴长和离心率； （2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式即可求出答案； （3）因为，所以，联立方程利用韦达定理即可求出答案. 【小问1详解】 由，可得，所以， 所以椭圆的短轴长为，离心率为； 【小问2详解】 当时，直线 联立方程： ，整理可得：， 根据韦达定理：， 根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为： ； 【小问3详解】 设，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， 根据韦达定理：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得. 19. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，，即切点为， 又，所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，，且当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省涟源市部分学校2026年上学期高二入学考试 数学试题 （时长：90分钟，共150分） 一、单选题（每小题5分） 1. 已知直线的斜率为，则其倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是　　 A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 方程表示的曲线是　　 A 一个圆 B. 两个半圆 C. 两个圆 D. 半圆 6. 焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线上有两点，且AB垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线分别是函数图像上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与轴相交于点，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（ ） A. 4 B. 14 C. 24 D. 26 10. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 11. （多选）已知等比数列的公比为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 13. 已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 14. 设，函数是上偶函数，则______． 四、解答题（共77分） 15. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求的通项公式． 16. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 17. 已知过点的圆的圆心在直线上，且与轴相切． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程． 18. 已知曲线的方程为，直线． （1）写出的短轴长和离心率； （2）当时，求被截得的弦长； （3）已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 19. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $