专题强化03：导数中研究函数的应用【六大题型训练】-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化03：导数中研究函数的应用 【题型归纳】 · 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 · 题型二：由单调性求参数范围问题 · 题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题 · 题型四：由函数的极点（极值）求参数问题 · 题型五：已知函数的最值求参数问题 · 题型六：函数单调性、最值、极值综合问题 【题型探究】 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 【例1】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 【变式1】．（25-26高二下·北京·月考）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】(1) (2)函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【详解】（1）因为，则，由已知条件得，解得， 所以， （2）由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数在和处取极值． (1)求，； (2)，，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出，利用取极值得到的两根为和，列方程组求解即可. （2）先判断函数的单调性，求出在上的最值，再根据求解即可. 【详解】（1）. 因为在和处取极值， 所以，即，解得. 所以 当时，， 在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值. 因此，. （2）由（1）知函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值， 又，，所以时，，， 所以当，时，． 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 题型二：由单调性求参数范围问题 【例2】．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 【变式1】．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】函数,则， 因为在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． 题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题 【例3】．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数即可. （2）先求导函数，由导函数特征对参数范围进行分类讨论即可求解. （3）方法一：利用分离参数法得到即可分析计算求解；方法二：转化为，再结合的单调性建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【答案】(1)； (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）分别求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直条件列式求解. （2）由（1）中函数的导数，按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）函数，求导得， 函数，求导得，由函数与在处的切线垂直， 得，即，所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式3】．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 题型四：由函数的极点（极值）求参数问题 【例4】．（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求导得，对分类讨论得对应的单调性、极大值情况即可求解. 【详解】由题意， 已知在处有极大值， 所以是的变号零点， 显然， 若，则， ，， 所以此时在单调递增，在单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·江西·月考）已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值. 【详解】由题意得，则，得或． 当时，令， 得或，单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，令，得或， 单调递增，单调递减， 在处取得极大值，符合题意． 故答案为：. 【变式2】．（23-24高二下·甘肃甘南·期末）已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【答案】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 【变式3】．（24-25高二下·江苏·月考）若函数在上有极值，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据题意函数在区间上有极值等价于在该区间上有解，通过分析方程解的存在条件，即可确定参数的取值范围. 【详解】因为，， 函数在上有极值，则在有解，即. 时，，则，则. 时，，，不能说明函数在上有极值，所以； 时，，，不能说明函数在上有极值，所以. 故答案为：. 题型五：已知函数的最值求参数问题 【例5】．（24-25高二下·江苏常州·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】函数，求导得， 令，解得， ，解得或， 在和上单调递减，在上单调递增， 在上存在最大值的条件为，解得． 【变式1】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________. 【答案】/ 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【变式3】．（24-25高三下·广东深圳·月考）已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的__________． 【答案】或 【详解】， 若，则当，，故在区间上单调递增， 故，得，故； 若，则由得，由得， 则，， 得，设，则， 因，故，故在区间上单调递减， 故，故在上无解，不满足题意； 若，则得，由得， 则，， 得，因，故不满足题意； 若，则当，，故在区间上单调递减， 得，得，故， 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题关键是通过导数分析函数函数取得最大值和最小值时所对应的值，对进行分类后根据导数研究函数的单调性，进而根据最值求参数. 题型六：函数单调性、最值、极值综合问题 【例6】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数求出函数的单调区间及最大值； （2）把存在性问题转化为求函数最小值问题，分情况讨论，利用导数求出函数的单调性及最小值，进而求出m的取值范围． 【详解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 【变式1】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，单调递减，当时，单调递增．. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【详解】（1）由， 得， 所以切线方程为； （2）当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． （3）由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 【变式2】．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1). (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求出切线方程即可； （2）对参数的取值分类讨论，即可得出在R上的单调性； （3）将不等式等价转化为对任意的恒成立，求导得出当时在上恒成立，由恒成立可知满足题意，再对进行单调性分析得出矛盾即可求得结果. 【详解】（1）当时，函数，求导可得， 则有, 则在处的切线方程为，即. （2）易知， 当时，，故恒成立，在上单调递增； 当时，令，解得, 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可知时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式即为， 即对任意的恒成立， 设，易知， 令， 则，因为，所以, 因此，因此在上单调递增； 又， 当时，即时，，即在上恒成立， 因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意； 当时，，由可得； 此时， 易知当时，， 即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾， 综上可得的取值范围为. 【变式3】．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数． (1)若函数过点，求该点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，所以切线斜率为， 又，即切点为， 所以切线方程为：，即． （2）令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，且时，， 因为在区间上存在零点，则，解得， 所以的取值范围是． （3）由题意， 则， 若，则恒成立， 所以两根为，， 所以，， 则 由，设，则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以当时，，所以， 即实数的最大值为 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号，确定函数的单调区间，再由单调性分析得到函数的极值点. 【详解】 如上图，为导函数与轴的交点的横坐标. 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在处都取得极小值；在处都取得极大值. 故函数在开区间内的极小值点有3个． 故选：C. 2．（2026高二下·全国·专题练习）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于给出的是开区间，且是减函数，所以判断有且只有一个极大值点，所以在上有零点，由此列出不等式，求解可得实数的取值范围. 【详解】，在区间上单调递减，且. 若函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得. 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导可得，利用已知可得方程有两个相异正实数解，进而可得，且，，又的极值中有一个为0，不妨设，可得，，进而计算可求得a的取值范围. 【详解】由题意得， 则有两个极值点等价于关于x的方程有两个相异正实数解， 所以，可知，且，， 曲线与x轴相切，则的极值中有一个为0， 不妨设，易知， 所以，， 因为，，，所以， 解得，且，即，且， 令函数，，则， 令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以， 综上所述，a的取值范围为. 故选：D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 6．（25-26高二下·福建泉州·月考）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【分析】由求出，利用求函数的单调区间，可得出区间的包含关系，计算即可求出的取值范围. 【详解】， ， 令，解得： 或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间上单调， 或或 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解. 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由并同构变形,结合单调性转化为在恒成立，再构造函数并求出最小值即可. 【详解】依题意，， 由在上单调递增，得不等式 在上恒成立，令， 而在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此在上恒成立， 令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此， 所以实数a的最大值为. 故选：B 二、多选题 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（   ） A． B． C．单调递增 D．在处取得极小值 【答案】ACD 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； 因为在上单调递增，C选项正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，， B选项错误，D选项正确； 故选：ACD. 10．（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知函数，则下列四个结论正确的是（ ） A．的极大值点为2 B．若关于的方程恰有两实根，则 C．有4个实根 D．关于的不等式的整数解至少有两个 【答案】ACD 【分析】通过求导分析极值点，结合方程根的个数、复合函数零点即可验证ABC选项，对于D，在的情况下就存在两个整数解，所以关于的不等式的整数解至少有两个，故D正确. 【详解】对于A，由题意得，令，或， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极大值点，故A正确； 对于B，当时取极小值， 当时取极大值， 当时，，如图， 则当时，恰有两实根，故B错误； 对于C，令，解得， 设，则， 易得，且，， 当时，由的图象可得有两个解， 当时，因为，由的图象可得有两个解， 故有4个实根，故C正确； 对于D，当时，，存在整数解使满足题意， 存在整数解使满足题意， 故关于的不等式的整数解至少有两个，D正确. 11．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，直接代入计算即可判断A；求得函数的单调性和最小值，可判定BD；分析函数值正负即可判断C. 【详解】对A，由函数，可得，则，故A错误； 对BD，当时，，在上单调递减，故B正确； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值，所以D正确； 对C，当时，，则，故C正确； 故选：BCD. 12．（25-26高二下·广西南宁·开学考试）已知函数，下列命题正确的是（    ） A．函数的图像在点处的切线为； B．函数有个零点； C．函数在处取得极大值； D．函数的图像关于点对称． 【答案】ABD 【分析】求出的导函数，求出和，利用点斜式求得切线方程，即可判断A；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断C；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断B；令，可得为奇函数，结合平移，即可判断D． 【详解】对于选项A：因为，则，且， 所以函数的图像在点处的切线为，即为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 可知函数在内各有一个零点， 所以函数有个零点，故B正确； 对于选项C：由选项B知函数在处取得极小值，故C错误； 对于选项D：令，则的定义域为， 且，则函数为奇函数，其图像关于原点对称， 将函数的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数， 所以函数的图像关于点对称，故D正确． 13、（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】已知函数，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数； 由，得. 因为函数在上为增函数，由可得. 故不等式的解集为，ACD都对，B错. 14．（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 【答案】ABC 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值、零点与最值，即可判断. 【详解】函数，求导得 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：由，解得或，在和上单调递增， 令，解得或， 所以有且仅有两个极值点，故B正确； 选项C：由于的极大值，极小值 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 15．（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数在处取得极大值，则___________． 【答案】或 【分析】对函数求导，根据极值点求得或，再代入验证是否在处取得极大值，即可得. 【详解】由题设，且， 所以或， 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 当，则， 故或时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，满足； 综上，或. 16．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 17．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 18．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性解不等式. 【详解】由题意得，，所以， 在上单调递增. 又，所以为上单调递增的奇函数. 则可化为， 又在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 19．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 20．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 21．（24-25高二下·天津静海·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)的单调减区间为，单调增区间为； (3) 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为； （2）由已知，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （3）由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 22．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化03：导数中研究函数的应用 【题型归纳】 · 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 · 题型二：由单调性求参数范围问题 · 题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题 · 题型四：由函数的极点（极值）求参数问题 · 题型五：已知函数的最值求参数问题 · 题型六：函数单调性、最值、极值综合问题 【题型探究】 题型一：导数求单调性、最值、极值问题 【例1】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式1】．（25-26高二下·北京·月考）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数在和处取极值． (1)求，； (2)，，求的最大值． 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 题型二：由单调性求参数范围问题 【例2】．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________ 【变式1】．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【变式2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【变式3】．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题 【例3】．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式1】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，， (1)若函数与在处的切线垂直，求a的值． (2)讨论函数的单调性并写出单调区间． 【变式3】．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型四：由函数的极点（极值）求参数问题 【例4】．（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 【变式1】．（24-25高二下·江西·月考）已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 【变式2】．（23-24高二下·甘肃甘南·期末）已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【变式3】．（24-25高二下·江苏·月考）若函数在上有极值，则实数的取值范围是______ 题型五：已知函数的最值求参数问题 【例5】．（24-25高二下·江苏常州·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 【变式1】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【变式2】．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为__________. 【变式3】．（24-25高三下·广东深圳·月考）已知函数，．若时，函数有最大值为1，最小值为，试写出一组满足上述条件的__________． 题型六：函数单调性、最值、极值综合问题 【例6】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【变式1】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【变式2】．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【变式3】．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数． (1)若函数过点，求该点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2026高二下·全国·专题练习）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建泉州·月考）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 7．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（   ） A． B． C．单调递增 D．在处取得极小值 10．（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知函数，则下列四个结论正确的是（ ） A．的极大值点为2 B．若关于的方程恰有两实根，则 C．有4个实根 D．关于的不等式的整数解至少有两个 11．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 12．（25-26高二下·广西南宁·开学考试）已知函数，下列命题正确的是（    ） A．函数的图像在点处的切线为； B．函数有个零点； C．函数在处取得极大值； D．函数的图像关于点对称． 13、（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 14．（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 三、填空题 15．（24-25高二下·天津武清·月考）已知函数在处取得极大值，则___________． 16．（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 17．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 18．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________. 四、解答题 19．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 20．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 21．（24-25高二下·天津静海·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 22．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $