10.题型训练卷(三)全等三角形-【真题圈】2024-2025学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）河南专版

答案与解析 所以∠GBD+∠GCD=70°-40°=30° 因为BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， 所以∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°. 在△ABC中，∠A=180°-70°-30°=80°.故答案为80° 8.12【解析】如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G, 因为BD⊥AB,所以∠ABC=90°-∠DBC=∠BDG. 又因为∠ACB=90°=∠G,AB=BD, B 所以△ABC≌△BDG(AAS), 所以DG=BC=6,BG=AC 在△CFE和△GDE中， ∠FCE=∠G=90°， ∠CEF=∠GED, 第8题答图 EF=ED, 所以△CFE≌△GDE(AAS),所以CE=GE-)BC-3, 所以CG=CE+GE=3+3=6, 所以AC=BG=BC+CG=6+6=12.故答案为12. 9.30°或52.5°【解析】因为AB⊥OM,MON=60°， 所以∠ABC=90°-60°=30°. 当△ABC为“灵动三角形”时， ①若∠ACB=3∠ABC时，则∠ACB=3×30°=90°， 所以∠0AC=90°-∠0=90°-60°=30°； ②若∠ACB=3∠CAB时，则4∠CAB+30°=180°， 所以∠CAB=37.5°，所以∠OAC=90°-∠CAB=52.5° 故答案为30°或52.5°. 10.【解】(1)如图(1)所示，△EAB即所求.（答案不唯一） A (1) Q (2) 第10题答图 (2)如图(2)所示，△DAB即所求.（答案不唯一） 11.【解】(1)在△OAC和△OBD中，OA=OB,∠AOC=∠BOD, OC=OD,所以△OAC≌△OBD(SAS),所以AC=BD (2)如图，延长DE,AF交于点B, A∈ 因为DE∥AC,所以∠C=∠D. 在△OAC和△OBD中，∠C=∠D, 07 OC=OD,∠AOC=LBOD, E 所以△OAC≌△OBD(ASA), 第11题答图 所以AC=BD 因为∠DEF=120°，∠0FE=90°， 所以∠BFE=90°，∠BEF=60°，∠B=30° 因为EF=9m,所以BE=2EF=18m. 又因为DE=5m,所以BD=BE+DE=23m, 所以AC=23m 答：池塘宽度AC为23m. 10.题型训练卷（三）全等三角形 1.C【解析】因为△ABC≌△DEF,所以EF=BC=5cm. 因为BF=7cm,BC=5cm,所以CF=7-5=2(cm), 所以EC=EF-CF=3cm.故选C. 2.A【解析】A.因为BC∥EF,所以∠ABC=∠DEF 因为AC=DF,所以当添加∠A=∠D时，可根据“AAS”判定 △ABC≌△DEF,故此选项符合题意」 B.当添加AE=DB时，不能判定△ABC≌△DEF,故此选项不 符合题意， C.当添加LA=∠DEF时，不能判定△ABC≌△DEF,故此选项 不符合题意 D.当添加BC=EF时，不能判定△ABC≌△DEF,故此选项不 符合题意.故选A 3.①②③【解析】①在△ABD和△CBD中，AD=CD,AB= CB,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(SSS),所以结论①正确 ②由①可知△ABD≌△CBD(SSS),所以∠ABO=∠CBO. 在△ABO和△CBO中，AB=CB,∠ABO=∠CBO,BO=BO, 所以△ABO≌△CBO(SAS),所以∠AOB=∠COB. 因为∠AOB+∠COB=180°，所以∠AOB=∠COB=90°， 所以AC⊥BD,所以结论②正确· ③由②可知AC⊥BD, 所以Suam=24AC·0D,5c=4C·0B, 又因为S四边形BCn=S△MCcD+S△MBC, 所以Sao=34C·0D+号4C:0B=34C(0D40B) =号4C·BD,所以结论3正确. 综上所述，结论①②③正确.故答案为①②③ 4.【解】在△BOD和△COE中， 因为∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BOD≌△COE(AAS),所以OB=OC 在△ABO和△ACO中，AB=AC,∠B=∠C,OB=OC, 所以△ABO≌△ACO(SAS),所以∠BAO=∠CAO. 5.2【解析】因为BE⊥CE,AD⊥CE,所以∠E=∠ADC=90°， 所以∠EBC+∠BCE=90°. 因为∠BCE+∠ACD=90°，所以∠EBC=∠DCA. 在△CEB和△ADC中，∠E=∠ADC,∠EBC=∠DCA,BC= CA,所以△CEB≌△ADC(AAS), 所以BE=CD=1,CE=AD=3, 所以DE=CE-CD=3-1=2. 故答案为2. 6.92°【解析】在△BMP和△CPN中，BM=CP,∠B=∠C,BP =CN,所以△BMP≌△CPN(SAS),所以∠BMP=∠CPN. 因为∠MPN=44°，所以∠BPM∠CPN=136°， 所以∠BMP+∠BPM=136° 所以∠B=44°，所以∠C=∠B=44°， 所以∠A=180°-44°-44°=92°.故答案为92° 7.【解】(1)结合题图，因为小华同学用10块高度都为5cm的小 长方体黑白积木垒了两堵与地面垂直的木墙AD,BE, 所以AD=15cm,BE=35cm 因为AD⊥DC,BE⊥CE,AC⊥BC, 所以∠ACD+∠DAC=90°，LACD+∠BCE=90°， 所以∠DAC=∠ECB. 在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC= ∠ECB,AC=CB,所以△ACD≌△CBE(AAS), 所以CE=AD=15cm,DC=BE=35cm, 所以DE=DC+CE=35+15=50(cm). (2)△BCE的面积为3 8 分析：如图所示，过点C作CF⊥EC交AD于点F,过点B作 BG⊥GF于点G,因为EC∥AD,所以CF⊥AF 又因为BC⊥AC,所以∠ACF+∠FAC=90°，∠ACF+∠BCG= 90°，所以∠FAC=∠GCB. 在△ACF和△CBG中，∠AFC=∠G=90°，∠FAC=∠GCB, AC=CB,所以△ACF≌△CBG(AAS),所以CG=AF 因为∠D=90°，CF⊥AD,所以ED∥FC, 易知四边形EDFC为长方形， 所以DF=EC=3,4F=AD-DF=83-号 如图所示，过点B作BH⊥EC交EC的延长线于点H, 因为∠G=90°，∠GCH=90°，∠BHC =90°，所以BG∥EC,GC∥BH, 所以盟=GC=AF-号 易得BH为△BCE底边EC上的高， E 所以SAE=号EC·BH Dh F =3×名×多g. 第7题答图 所以无论DE以及AC的长度怎么变化，△BCE的面积始终不变， △BCE的面积为3 8 8.C【解析】因为∠2=∠3，所以∠2+∠ACD=∠3+∠ACD, 即∠ACB=∠ECD. 又因为AC=CE,所以∠E=∠CAE. 因为∠1+∠BAC=∠DAC=180°-∠EAC=∠3+∠E,∠1= ∠3，所以∠BAC=∠E. 在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD,AC=EC,∠BAC= ∠E,所以△ABC≌△EDC(ASA),所以DE=AB.故选C. 9.【解J【初步把握】△ACE BD=CE 分析：因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE. 【深入研究】BD与CE的数量关系是BD=CE,位置关系是 BD⊥CE. 理由如下：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. 因为△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°， 所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ACE=∠ABC=45°， 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，所以BD⊥CE. 【拓展延伸】线段OP的最小值为4，此时ON的长度为4 分析：因为△MWP是等腰直角三角形， 所以∠MNP=∠NPM=45° ：0 过点M作O'M⊥OM,且O'M=OM=4, 连接ON,如图， 因为∠O'MO=∠PMN, 所以∠PMO=∠NMO'. 在△OPM与△O'NM中，PM=NM, ∠PMO=∠MNO',OM=O'M, 第9题答图 所以△OPM≌△O'NM(SAS), 所以OP=O'N,当OP有最小值时，即O'N最小， 真题圈数学七年级下13R 此时点P为图中点P',OPL1,OP最小， 由于△OMO为等腰直角三角形，易知∠0OM=45°， 此时∠00P=45°，∠0P'0=90°， 所以0P'=OM=4,ON=OP'=4, 所以ON=4,OP的最小值为4. 10.B【解析】如图，延长CE到点K,使EK=EC,连接AK 又因为∠AEK=∠DEC,AE=DE,所以△AKE≌△DCE(SAS), 所以AK=CD=5,∠KAE=∠D A 因为∠D=∠B,所以∠KAE=∠B. 因为BE⊥AD, 所以∠B+∠BAE=90°， B 所以∠KAE+∠BAE=90°， 所以△ABK的面积=方AB·AK 第10题答图 =方×8x5=20 因为△AKE≌△DCE,所以△AKE的面积=△DCE的面积， 所以四边形ABCD的面积=△ABK的面积=20.故选B. 11.【解(1)因为AD是△ABC的中线， 所以CD=BD. 在△ACD和△EBD中，AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, 所以△ACD≌△EBD(SAS) (2)1<x<4 分析：如图(1)，延长EP至点Q,使PQ=PE,连接FQ, 因为EP是△DEF的中线，所以FP=DP 在△PFQ和△PDE中，FP=DP,∠FPQ=∠DPE,PQ=PE, 所以△PFQ≌△PDE(SAS),所以FQ=DE=3. 在△EFQ中，EF-FQ<QE<EF+FQ,则5-3<2x<5+3, 即2<2x<8,可知1<x<4. (3)如图(2)，延长FD至点G,使得DG=DF,连接BG,EG, 因为AD是△ABC的中线，所以DC=DB. 在△DFC和△DGB中，DF=DG,∠CDF=∠BDG,DC= DB,所以△DFC≌△DGB(SAS),所以CF=BG 因为DE⊥DF,所以∠FDE=∠GDE=90° 在△EDF和△EDG中，DF=DG,∠FDE=∠GDE,DE= DE,所以△EDF≌△EDG(SAS),所以EF=EG. 在△BEG中，由三角形的三边关系得BG+BE>EG. 又因为EF=EG,CF=BG,所以BE+CF>EF Q55------ D (1) (2) 第11题答图 12.【解】(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF (2)仍成立.理由：如图(1)，延长FD到点G,使DG=BE,连 接AG,因为∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， 所以∠B=∠ADG. AB=AD, 在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG BE=DG, 所以△ABE≌△ADG(SAS), O所以∠BAE=∠DAG,AE=AG. 0 所以EF=BE+FD=DG+FD=GF 答案与解析 AE=AG, 在△AEF和△AGF中，{AF=AF, EF=GF, 所以△AEF≌△AGF(SSS), 所以∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF G G A (1) (2) 第12题答图 (3)∠EAF=180°-2∠DMB. 分析：如图(2，在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE, 连接AG,因为∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 所以LADC=∠ABE. AB=AD. 在△ABE和△ADG中，{∠ABE=∠ADG BE=DG. 所以△ABE≌△ADG(SAS),所以AG=AE,∠DAG=∠BAE, 所以EF=BE+FD=DG+FD=GE AE=AG, 在△AEF和△AGF中，{AF=AF, EF=GF, 所以△AEF≌△AGF(SSS),所以∠FAE=∠FAG 因为∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， 所以2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， 所以2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2LFAE+∠DAB=360°，所以∠EAF=180°-∠DAB. 13.C【解析】因为BP=3t,BC=8,所以CP=8-3t 分情况讨论：①当BD=CP时， 因为AB=10,D是AB的中点，所以5=8-3t,解得t=1. 因为△BDP≌△CPQ, 所以BP=CQ,即8-5=a×1,解得a=3. ②当BP=CP时，31=8-3，解得1=号 因为△BDP≌△CQP, 所以BD=CQ,即5=考×a,解得a=号.故选C 14.1或马【解析】设点P运动1s时，以P,E,C为顶点的三角 形和以Q,F,C为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图(1)，P在AC上，Q在BC上， 则PC=12-2t,QC=15-5t. 因为PE⊥1，QF⊥1，所以∠PEC=∠QFC=90° 又因为∠ACB=90°，所以∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠FCQ =90°，所以∠EPC=∠FCQ. 因为△PCE≌△CQF,所以PC=CQ, 即12-2t=15-5t,所以t=1. B 1 (2 A Q(A) P(Q) hM h E(F)C F (3) (4) 第14题答图 ②如图(2)，P在BC上，Q在AC上， 则PC=2t-12,QC=5-15. 因为由①知，PC=CQ,所以21-12=5t-15,所以t=1. 此时2t-12<0,所以此种情况不存在 ③当P,Q都在AC上时，如图(3)， PC=12-21=5-15,解得1=29 ④当Q到A点停止，P在BC上时，如图(4)， 若AC=PC,则2t-12=12,解得t=12. 而Q从B运动到4所需的时间1=2出5-号≠12， 5 故此种情况不存在 ⑤因为点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒5 个单位长度，P和Q都在BC上的情况不存在 综上，当点P运动1s或号s时，以P,E,C为顶点的三角形和 以Q,F,C为顶点的三角形全等.故答案为1或 7 15.【解】(1)因为∠ACB=90°，所以∠A+∠ABC=90° 因为FD⊥AB,所以∠BCD+∠ABC=90°，所以∠A=∠BCD (2)当点E运动5s或2s时，CF=AB. 理由如下：如图， ①当点E运动到直线BC的上方时， 若此时CF=AB, 在Rt△ABC中，AC=7cm, 因为LECF=∠BCD,∠A=∠BCD, 所以∠ECF=∠A. A B 因为FE⊥BC, 所以∠FEC=∠ACB=90° AE 在△ACB和△CEF中，∠ACB=∠CEF F- =90°，∠A=∠ECF,AB=CF, 第15题答图 所以△ACB≌△CEF(AAS), 所以CE=AC=7cm,所以EB=CE+BC=7+3=10(cm), 所以10÷2=5(s),所以当点E运动5s时，CF=AB. ②当点E运动到直线BC的下方时，若此时CF=AB, 因为EF⊥BC,∠ACB=90°，所以∠CEF=∠ACB. 在△ACB和△CE'F中，∠ACB=∠CE'F,∠A=∠E'CF',AB =CF,所以△ACB2△CEF（AAS), 所以CE=AC=7cm,所以EB=CE-BC=7-3=4(cm), 所以4÷2=2(s),所以当点E运动2s时，CF=AB. 综上所述，当点E运动5s或2s时，CF=AB. 11.第五章学情调研 题号12345678910 答案DCCBD BB C DD 1.D 2.C【解析】因为等腰三角形的顶角为40°， 所以底角的度数为180°，40°=70°，故选C. 3.C 4.B【解析】因为△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，所以AC真题圈数学 同步调研卷 七年级下13R 10.题型训练卷（三） 湘粑 全等三角形 丹 蝴 母H 题型一 基本模型 同期 类型1平移、翻折模型 1.如图，△ABC≌△DEF,已知BC=5cm,BF=7cm,则EC 的长为( A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 帕 第1题图 第2题图 2.（期末·2022-2023郑州郑东新区)如图，在△ABC和△DEF中， 点A,E,B,D在同一直线上，BC∥EF,AC=DF,只添加 个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( A.∠A=∠D B.AE=DB C.∠A=∠DEF D.BC=EF 3.新定义问题两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”，如图，四 靴 边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD,AB D =CB,在探究筝形的性质时，得到如下结论： A 总 ①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形 ABCD的面积=专AC·BD,其中正确的结论 有 第3题图 4.（期中·2022-2023三门峡陕州区)如图所示，已知AB=AC, 崇 ∠B=∠C,BD=CE,BE交CD于点O,连接AO.试说明： ∠BAO=∠CAO. 些加 阳图 第4题图 类型2一线三等角模型 5.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是 B E M B A 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C,M,N,P分别是边AB,AC,BC 上的点，且BM=CP,CN=BP,若∠MPN=44°，则∠A的 度数为 7.（期末·2022-2023郑州中原区)在一次主题为“神奇的等腰 直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究： (1)如图(1)，小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高 度都为5cm的小长方体黑白积木垒了两堵与地面垂直的木 墙AD,BE(点A,D,E,B在同一平面内)，两堵木墙之间刚好 可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点 C在DE上，点A与点B分别与木墙的顶端重合，小华说无需 测量便可直接求出两堵木墙之间的距离DE,请你帮小华写出 求解过程 (2)如图(2)，小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四 边形ACED,其中EC∥AD,∠D=90°，BC=子，AD=8,接 着小聪以点C为直角顶点，画出AC=BC的等腰直角三角 形ABC,连接BE,探索中发现无论DE以及AC的长度怎么 变化，△BCE的面积始终不变，请直接写出△BCE的面积 (1 (2) 第7题图 33 类型3旋转模型 8.如图，点A在DE上，且AC=CE,∠1= ∠2=∠3，则DE的长等于() A.DC B.BC B 2 C.AB D.AE+AC 第8题图 9.（期中·2023-2024郑州枫杨外国语)【综合实践】若两个等 腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为 “手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看 作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【初步把握】如图(1)，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB= AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有△ABD2 线段BD和CE的数量关系是 【深入研究】如图(2)，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB =AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，B,C,D在同一 条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位 置关系，并说明理由， 【拓展延伸】如图(3)，直线1，⊥1，垂足为点O,1,上有一点M 在点O右侧且OM=4,点N是1，上一个动点，连接MW,在 MN下方作等腰直角三角形NMP,MN=MP,∠NMP=90°， 连接OP.请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度」 拒绝盗印 (1 (2) (3) 第9题图 题型二 添加辅助线构造全等三角形 类型1倍长中线法 10.（期末·2023-2024周口川汇区)如图，在四 边形ABCD中，∠B=∠D,AB=8,CD=5, 延长BC交AD于点E,若CE⊥AD,AE= B ED,则四边形ABCD的面积等于( A.10 B.20 第10题图 C.30 D.40 11.（期中·2023-2024洛阳洛龙区)某数学兴趣小组在一次活 动中进行了探究试验活动，请你来加入 【探究与发现】 (1)如图(1)，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使ED= AD,连接BE.试说明：△ACD≌△EBD 【变式与应用】 (2)如图(2)，EP是△DEF的中线，若EF=5,DE=3.设 EP=x,则x的取值范围是 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长 中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转 化到同一个三角形中 【拓展与延伸】 精品 (3)如图(3)，AD是△ABC的中线，点E,F分别在AB,AC上， 且DE⊥DF试说明：BE+CF>EF (1 (2) (3) 第11题图 类型2截长补短法 12.（期末·2022-2023郑州管城回族区)回答问题： (1)【初步探索】如图(1)，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF =BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量 关系.小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G, 使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论是 (2)【灵活运用】如图(2)，若在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF= BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由 (3)【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC= 180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图(3)，仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF 与∠DAB的数量关系， B (1) (2) (3) 第12题图 34 题型三动点问题 13.如图，已知在△ABC中，AB=AC=10,BC=8,点D为AB 的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点 B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每 秒a个单位长度的速度运动.设运动时间为ts,若以点C,P, Q为顶点的三角形和以点B,D,P为顶点的三角形全等，且 ∠B和∠C是对应角，则a的值为( A.3 B.3或5 C.3或5 D.5 第13题图 第14题图 14.（期中·2023-2024郑州桐柏一中改编)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=12,BC=15,点P从A点出发沿 A→C→B路径运动；点Q从B点出发沿B→C→A路 径向终点运动，终点为A.点P和Q分别以每秒2个单位长 度和5个单位长度的运动速度同时开始运动，点Q到相应 的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过点P和点Q作 PE⊥I于点E、作QF⊥I于点F,当点P运动 s时， 以P,E,C为顶，点的三角形和以Q,F,C为顶点的三角形全等. 15.(期末·2022-2023郑州惠济区)如图，在△ABC中，∠ACB =90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E 从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC 的垂线交直线CD于点F (1)试说明：∠A=∠BCD. (2)当点E运动多长时间时，CF=AB?请说明理由 第15题图