精品解析：湖南长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一下学期开学数学试题

2025-2026-2长沙麓山国际实验学校高一下学期入学考试 数学 时量120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合，进而求出交集中元素个数. 【详解】依题意，，， 所以，共4个元素. 故选：C 2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用投影向量公式及数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3. 已知O，A，B，C是不同的四个点，且，则“”是“A，B，C共线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的共线定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若得， 则由得 ，即， 则，即，即A，B，C共线，即充分性成立 反之若A，B，C共线，则存在一个实数x，满足， 即，则，令， 则，即必要性成立， 则“”是“A，B，C共线”的充要条件， 故选C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线定理进行转化证明是解决本题的关键． 4. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式解集是． 故选：D. 5. 若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为m，n是关于的方程的两个正实数根， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 所以，所以的最小值为． 故选：D． 6. 设直线与函数图象的相邻3个公共点自左向右依次为A、B、C，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦函数的图象的周期、对称性，利用诱导公式计算即得. 【详解】函数和在同一直角坐标系的图象如下图所示： 函数的最小正周期为， 令，对称轴为， 由题意，结合图形可知：，又，所以， 因此点横坐标为， 所以， 当为奇数时，，舍去， 当为偶数时，，符合题意， 故选：B 7. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出关于的函数并在同一坐标系内作出图象，数形结合比较大小即得. 【详解】令，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，；当时，；当时，，选项ABC可能，D不可能. 故选：D 8. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，解出关于的一元二次方程的解，画出函数的图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】设，则原方程可化为， 解得或. 作出函数的图象，如下图所示，观察图象可知， 当时，方程无解；当时，方程有个解； 当时，方程有个解；当时，方程有个解； 当时，方程有个解. 由题可知方程有且仅有5个不同的解， 又因为，则此时方程有个解， 因此有个解， 结合前面分析可知，须满足或， 即或，即. 故选：C. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出，即可判断A，根据关于对称求出，即可判断B，根据函数解析式，代入检验C、D. 【详解】对于A：因为，所以，又， 所以或，又点在单调递增区间上，所以，故A错误； 对于B：又关于对称，且为单调递减区间上的对称中心， 所以，解得， 又，即，即，解得， 所以，则，所以，即的最小正周期为，故B正确； 对于C：因， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的有（     ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项,运用特殊赋值法，先后令和，结合函数方程化简得出与的结论;B选项,通过令代入函数方程，结合奇函数性质推导出为奇函数，并利用平移关系确定复合函数的对称中心坐标;C选项,令代入函数方程，结合奇函数性质与已知得到，从而判断选项的正误;D选项,由函数方程推导出三项递推关系，进而证明函数周期为3，计算出即可. 【详解】选项A：令，得 再令得 因为，所以，故A正确， 选项B：令，由得： ， 所以是奇函数， 函数的对称中心满足即，此时， 因此对称中心为，故B正确， 选项C：令，得 ， 由且为奇函数得，即， 因此， 因为，所以，故C错误， 令，得，① 令，且利用奇函数， 得，② +②得：， 由选项C得， 代入得 即 由 令： ， ， 因此，周期， 已知， 由递推得 由递推得 ， ，，所以D选项正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得或， 即函数的定义域为， 设则，而在上单调递减， 对于函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为． 13. 在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，，，则该扇面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，圆心角，根据弧长、圆心角和半径的关系，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设，圆心角， 则，解得， 所以该扇面的面积. 故答案为： 14. 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或． 因为 当时，或． 当时，且， 由已知关于x的方程有3个实数解， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有个元素，矛盾， 若是方程的解，则，矛盾， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合 （1）若，求和 （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）根据交集结果得，分和讨论即可. 小问1详解】 因为，，所以， 所以，所以 ①若，则， ， 因为或，所以或 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得， ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求图象的对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）时，有零点，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由倍角公式及辅助角公式可得，再由正弦函数的性质，即可求解； （2）由正弦函数的性质，即可求解； （3）利用正弦函数的性质得时，的值域，结合条件，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，得到， 所以图象的对称中心为. 【小问2详解】 由，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，，，在上的图象如图所示， 因为有零点，令，得到，所以与有交点， 由图可知,. 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数a的值； （2）当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义即可求解； （2）（ⅰ）转化为证明即可； （ⅱ）利用将问题转化为在区间上有两个不相等的实数根，利用二次方程根的分布求解即可. 【小问1详解】 为偶函数，，， 即对任意的实数恒成立，. 【小问2详解】 （ⅰ）时，，定义域为， 而， ∴的图象关于点对称. （ⅱ）因为是增函数，也是增函数， 所以函数是单调增函数. 由（ⅰ）知，函数的图象关于点对称，所以由得： 即， 所以在区间上有两个不相等的实数根， ∴，解得. 所以实数m的取值范围是. 18. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式； （2）根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出答案； （3）根据函数单调性和恒成立，存在性问题得到不等式，求出参数的取值范围 【小问1详解】 由题意知，则， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，联立， 解得，． 【小问2详解】 函数为增函数，函数为减函数， 所以函数为增函数， 因为为奇函数，， 故在上恒成立， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 设， 因为，，使成立， 则， 因为函数为增函数， 则当时，， 函数在上的最小值记为， 则， 令，函数为增函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 则， 由得，即，解得， 因为，则， 由得， 即，解得 因为，所以， 则； 当时，函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以， 又，， 则当时，恒成立． 综上，实数的取值范围为． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）具有性质不具有性质，理由见解析； （2）2027个； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义直接分析判断即可. （2）利用函数具有性质的定义，赋值计算即得的值，进而求出，再借助二倍角的正弦公式求出的零点，结合给定区间求出零点个数. （3）由（2）结合三角函数图象变换求出，探讨在区间上的性质，再利用零点的意义转化为直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数具有性质不具有性质，说明如下： ，， 对任意，都有，所以具有性质； ，， 所以不具有性质. 【小问2详解】 由函数具有性质，得，即， 而，则，， 若，不妨设，由， 得，只要充分大时，将大于1， 而的值域为，则上述等式不可能成立，因此必有成立，即， 又，即，则，解得， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 令，即， ①当时，，即， 得或，得或； ②当时，，即，而，无解， 因此的解为，在内，，共2027个零点. 【小问3详解】 函数，由，得，函数在上递增， 函数值从增大到8，在上递减，函数值从8减小到，函数的图象如图： 令，即， 解得或，由在上有3个零点，得在上 方程有2个不同的实根，有1个实根 或有1个实根，有2个不同的实根， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2长沙麓山国际实验学校高一下学期入学考试 数学 时量120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知向量，则向量在向量上投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 已知O，A，B，C是不同的四个点，且，则“”是“A，B，C共线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线与函数图象的相邻3个公共点自左向右依次为A、B、C，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的有（     ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D 若，则 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的单调递增区间为______． 13. 在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，，，则该扇面的面积为________. 14. 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知函数． （1）求图象的对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）时，有零点，求的范围． 17. 已知函数. （1）若为偶函数，求实数a的值； （2）当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 18. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $