精品解析：湖南省长沙市第二十六中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试卷

2024级高一下学期入学考试试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 3. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C D. 6. 已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为2 C. 函数关于点中心对称 D. 7. 已知，，是锐角，是钝角，则（ ） A. B. -1 C. D. 8. 已知函数，若当时，，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则____________． 13. 若当时，恒成立，则实数取值范围为______． 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）已知，求的值． （2）求的值． 16. 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． （1）设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； （2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 19. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一下学期入学考试试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：， 由值域可得，故. 故选：D 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 3. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减. 【详解】由对任意，都有成立可得， 在上单调递减， 所以 ，解得， 故选:C. 4. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将两函数的零点分别转化为函数与交点A的横坐标以及函数与交点B的横坐标，再由函数与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称得关于直线对称即可得解. 【详解】由题意可得零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为A， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与 的图象关于直线对称， 所以关于直线对称， 所以. 故选：B. 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 6. 已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为2 C. 函数关于点中心对称 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数恒等式来证明和推理函数的性质，即可得到判断. 【详解】由为奇函数，则， 又因为，所以有， 由此可得，所以有，故函数的周期为,故B错误； 由函数的周期为，所以有，故函数的图象关于直线对称，故A正确在； 由，可得函数关于点中心对称，故函数不关于点成中心对称，故C错误； 由，令，得， 而，故D错误； 故选：A. 7. 已知，，是锐角，是钝角，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要根据三角函数值缩小角的范围求值，从而求出及时，根据 ，利用，即可求得答案. 【详解】由题意知：，，又因为， 当时，，而， 所以，则， ，，又因为， 当时，，而， 所以，则， 所以， 故选：B. 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明； 对于B：利用同向不等式相乘可以证明； 对于C：利用不等式的可乘性可以判断； 对于D：取特殊值可以判断. 【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确； 对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确； 对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误； 对于D：取特殊值满足，但是，，所以 .故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先利用余弦的和差公式化得，由此易得的最大值为1； 对于B，代入角易得； 对于C，由得，先判断在的单调情况，从而判断的单调情况； 对于D，由余弦函数的图像性质得到的对称轴，由此可判断为的对称轴. 【详解】， 对于A，因为，所以，即，所以的最大值为1，故A正确； 对于B，因，，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上先减后增，故C错误； 对于D，因为的对称轴为， 所以由得，可知的对称轴为， 当时，的对称轴为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 13. 若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数在时的最小值恒大于等于；分别在、和三种情况下，根据二次函数单调性求得最小值，利用可求得结果. 【详解】若当时，恒成立， 则函数在时的最小值恒大于等于 二次函数图像的对称轴为直线： ①当时，函数在时取得最小值， ，解得： ②当时，函数在时取得最小值 ，解得： ③当时，函数在时取得最小值 ，解得： 综上所述：实数的取值范围为 故答案为 【点睛】本题考查一元二次不等式在区间内恒成立问题求解，关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，利用最值构造不等式求得结果；涉及到分类讨论思想的应用. 14. 若函数在上有个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得到，令，参变分离可得，令，，从而得到，分析，的单调性，从而得到在上有个解，结合正弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为， 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 令，则，所以，令，， 因为与在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为在上有个解， 则在上有个解， 则，则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是换元，转化为在上有个解，确定的取值范围，由单调性确定的范围. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）已知，求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）-1. 【解析】 【分析】 （1）先求得,由,分子分母同除,再将代入求解即可； （2）先化切弦,通分后利用差角公式化简,再利用诱导公式和倍角公式化简求值即可. 【详解】解:（1）因为, 所以, 所以 （2） 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正切,正弦的和（差）角公式的应用,考查利用分式齐次式求值. 16. 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． （1）设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； （2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【小问1详解】 依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 17. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用对数函数的单调性结合对数不等式列式即可求解； （2）先换元设，再把存在类问题化简得出有解，进而得出参数范围. 【小问1详解】 因为，， 所以不等式可化为， 又是增函数， 所以，解得，所以原不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意令，因为，所以， 所以不等式在上有解， 即在上有解， 分离参数得，所以在上有解， 所以，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以实数的取值范围为； 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【小问1详解】 由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 19. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求a的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】（1），. （2） （3）92 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【小问1详解】 . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. 【小问2详解】 ，即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. 【小问3详解】 令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$