专题11.2 正弦定理（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题11.2 正弦定理 教学目标 1借助向量运算探索三角形边与角的关系，掌握正弦定理及证明正弦定理的方法． 2能够运用正弦定理解决两类解三角形问题，并弄清解的情况不一样的原因． 3.运用正弦定理解决一些与测量及几何计算有关的实际问题． 4.通过向量的数量积将向量等式转化为数量等式，进而抽象出正弦定理，在此过程中，发展学生的数学抽象素养；在用正弦定理解决三角形问题的过程中，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 正弦定理的证明及应用． 2.难点 能够通过分析、转化，为应用正弦定理创造条件. 知识点01 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 【即学即练】 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．若在中，是的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 知识点02 正弦定理在解三角形中的应用 1.正弦定理在解三角形中的应用： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 （4）三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 2.三角形解的个数： 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【即学即练】 1．已知中，，则（  ） A． B．或 C． D． 2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 知识点03 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，= 【即学即练】 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为（  ） A．1 B．2 C． D． 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（  ） A． B． C． D． 题型01 正弦定理解三角形 【典例1】已知的内角的对边分别为，且，则（  ） A． B． C． D． 正弦定理在解三角形中的应用： 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【变式1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（  ） A． B． C． D．或 【变式2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（  ） A．2 B． C．3 D． 【变式3】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式4】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式5】已知中，，则__________ 题型02 正弦定理边角互化关系的应用 【典例1】在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（  ） A． B． C． D． 正弦定理的应用： ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 【变式1】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】在中，内角，，所对的边分别是，，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则___________ 【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，则角=___________ 题型03 利用正弦定理判定三角形解的个数 【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（  ） A． B． C． D． 对三角形解的个数的研究: 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【变式1】在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在解三角形中，已知、、，给出下列说法： ①若，且，则此三角形不存在； ②若，则此三角形最多有一解； ③当，，则三角形不一定存在； ④若，且，则此三角形为直角三角形，且； ⑤当，且，则三角形有两解. 其中正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（  ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 【变式4】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是_____ 【变式5】在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 题型04 利用正、余弦定理判定三角形形状 【典例1】已知中，角的对边分别是，若，则是（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 利用正弦定理判断三角形形状： (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【变式1】在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2】在中，，则的形状为（  ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（  ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型05 三角形面积公式的应用 【典例1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则的面积为（  ） A． B．2 C．3 D．4 求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 已知三角形面积求边、角的方法： (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3】在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（__________ 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【变式5】已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，设的面积为S，满足，求b的值． 题型06 几何图形中的计算 【典例1】在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【变式1】在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 题型07 与三角形有关的最值（范围）问题 【典例1】在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【变式1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若． (1)求角A的值； (2)若，求面积S的最大值． 【变式4】已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若于，求的面积的最小值. 题型08 利用正弦定理解决实际问题 【典例1】如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（  ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【变式1】如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（  ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 题型09 利用正弦定理证明边角关系 【典例1】在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，．求证：； 【变式1】记的内角所对的边分别为，已知． 证明：； 【变式2】记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【变式3】在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 1．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（  ） A． B． C． D． 3．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 6．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是（  ） A．若，则 B．若,则一定是等腰三角形 C．若是锐角三角形，则 D．已知不是直角三角形，则 8．（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（  ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 9.（多选）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（  ） A．的取值范围是 B．若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D．若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为 10．在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______． 11．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（  ） 12．若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 . 13．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 14．如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 正弦定理 教学目标 1借助向量运算探索三角形边与角的关系，掌握正弦定理及证明正弦定理的方法． 2能够运用正弦定理解决两类解三角形问题，并弄清解的情况不一样的原因． 3.运用正弦定理解决一些与测量及几何计算有关的实际问题． 4.通过向量的数量积将向量等式转化为数量等式，进而抽象出正弦定理，在此过程中，发展学生的数学抽象素养；在用正弦定理解决三角形问题的过程中，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 正弦定理的证明及应用． 2.难点 能够通过分析、转化，为应用正弦定理创造条件. 知识点01 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 【即学即练】 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即得. 【解析】在中，由正弦定理， ∴，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 2．若在中，是的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解析】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得． 若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． 所以，“”是“”的充要条件． 故选：C． 知识点02 正弦定理在解三角形中的应用 1.正弦定理在解三角形中的应用： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 （4）三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 2.三角形解的个数： 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 【即学即练】 1．已知中，，则（  ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及大边对大角即可解出． 【解析】因为，所以，解得，而，所以，所以． 故选：C． 2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】通过比较和的大小关系确定三角形的个数. 【解析】 ，同时，所以△ABC的个数只有1个. 故选：B. 知识点03 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，= 【即学即练】 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为（  ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由已知和面积求出，再由余弦定理求出. 【解析】因为A＝ ，b＝1，， 所以， 所以， 由余弦定理得， 所以， 故选：D. 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【解析】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 题型01 正弦定理解三角形 【典例1】已知的内角的对边分别为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【解析】由正弦定理可得. 故选：A. 正弦定理在解三角形中的应用： 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【变式1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解析】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【解析】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 【变式3】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的内角和公式和正弦定理得到的表示式，再结合两角和的正弦展开式计算即可. 【解析】由题意可得， 根据正弦定理， ， 代入上式可得，化简整理可得. 故选：A 【变式4】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【解析】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 【变式5】已知中，，则__________ 【答案】 【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正弦定理推得为锐角，从而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得. 【解析】因为在中，，所以， 所以，由正弦定理可得，故，故为锐角， 所以， 所以. 故答案为：. 题型02 正弦定理边角互化关系的应用 【典例1】在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解析】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 正弦定理的应用： ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 【变式1】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【解析】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 【变式2】已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角之比求出三个角的大小，再利用正弦定理将转化为即可求解. 【解析】因为，且， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式3】在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，再根据正弦定理，可得，可得，由此即可求出角，进而求出结果. 【解析】在中， 所以， 所以， 由正弦定理可知，， 又， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A. 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则___________ 【答案】 【分析】由正弦定理角化边结合余弦定理可得. 【解析】根据正弦定理，由可得， 两边同乘可得，由余弦定理， 又，所以. 故答案为：. 【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，则角=___________ 【答案】 【分析】由正弦定理及三角恒等变换化简可得角C. 【解析】因为， 由正弦定理得， 因为, 即 所以， 因为，所以， 所以， 故或（舍去），得， 故答案为：. 题型03 利用正弦定理判定三角形解的个数 【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角的范围，要使得三角形有两解确定出的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【解析】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 对三角形解的个数的研究: 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【变式1】在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解析】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 【变式2】在解三角形中，已知、、，给出下列说法： ①若，且，则此三角形不存在； ②若，则此三角形最多有一解； ③当，，则三角形不一定存在； ④若，且，则此三角形为直角三角形，且； ⑤当，且，则三角形有两解. 其中正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由已知的、、，根据正弦定理表示出，根据大边对大角和大角对大边与三角形的内角和定理即可判断①②③④；对于⑤，取一个特例时，，由为锐角，得到也为锐角，由此可得结论． 【解析】解：根据正弦定理得：， 对于①若，且，根据大边对大角有，与内角和定理矛盾，则此三角形不存在，故①对； ②若，则为直角或钝角，则一定为锐角，即此三角形最多有一解，故②对； ③当，，根据大边对大角有，与三角形的内角和定理矛盾，则三角形一定不存在，故③错； ④若，且，则，则，故④对； ⑤当时，，此三角形为等腰三角形，只有一解，当，且时，三角形不一定有两解，故⑤错； 则其中正确说法的个数为3个． 故选：C． 【变式3】在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（  ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果. 【解析】由正弦定理得：， ，，则， ， ，，只能为锐角的一个值，只有一个解. 故选：C. 【变式4】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是_____ 【答案】 【分析】由正弦定理结合图形可求得范围. 【解析】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故答案为： 【变式5】在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 【答案】(1)或；(2)；(3). 【分析】（1）根据正弦定理，得到.分、、讨论，即可得出； （2）由已知可得，求解不等式即可得出结果； （3）由已知可得，求解不等式即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理可得，. （ⅰ）当，即时，. ①若，即，则不存在，无解，此时； ②若，即， ，有一解，此时； ③若，即，因为，此时可能是锐角或钝角，即此时有两解，此时，即. 综上所述，当时，有一解； （ⅱ）当，即时，，有一解； （ⅲ）当，即时，，此时只能是锐角，有一解. 综上所述，有一解时，边长a的取值范围是或. （2）由（1）知，有两解，应满足，由，即，解得. （3）由（1）知，无解，应满足，即，解得. 题型04 利用正、余弦定理判定三角形形状 【典例1】已知中，角的对边分别是，若，则是（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【解析】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 利用正弦定理判断三角形形状： (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【变式1】在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【解析】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D. 【变式2】在中，，则的形状为（  ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解析】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】将结合正弦定理可得到，与联立可得到，继而得到答案 【解析】解：由及正弦定理得，即①， 又，即②， 将②代入①可得即③，将③代入①得， 所以，从而为等边三角形， 故选：C 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（  ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【解析】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 题型05 三角形面积公式的应用 【典例1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则的面积为（  ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理计算，最后由三角形面积公式可得. 【解析】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，解得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 已知三角形面积求边、角的方法： (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解. 【解析】因为， 所以， 整理得， 因为，所以． 又，所以． 因为的面积为，， 所以，解得，， 所以，则． 故选:D. 【变式2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【解析】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【变式3】在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（__________ 【答案】 【分析】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求的值，即可求解的值，由正弦定理结合已知等式可得可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解. 【解析】由及正弦定理得， 所以，又， 所以， 又由正弦定理，即， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或（，舍）， 所以的面积. 故答案为： 【变式4】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【解析】（1）由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 【变式5】已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，设的面积为S，满足，求b的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小； （2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得． 【解析】（1）由，得， 根据正弦定理，得． 因为， 所以， 所以． 因为，所以，所以，则． （2）由，得． 又由正弦定理得， 所以，解得． 题型06 几何图形中的计算 【典例1】在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【变式1】在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【解析】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故选：C. 【变式2】如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，再利用正弦定理可求出. 【解析】设，则， 在中，由余弦定理可得，， 所以 ， 在中，由正弦定理得，， 则 . 故选：D 【变式3】已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）求出的范围，利用正弦定理即可证明结论； （2）写出与的关系，进而求出的正弦值和余弦值，求出的长，利用余弦定理即可求出的长. 【解析】（1）由题意证明如下， 在中，， ∴. ∵， ∴. 在中，由正弦定理得， ， 即，， ∴， ∴. （2）由题意及（1）得 设，， ，，，，， 则在中，由正弦定理得，，即， 可得，① 在中，由正弦定理得，， 可得， 可得，② 联立①②，可得， 可得，可得，. 在中，由正弦定理得，，可得. 在中，由余弦定理得，， 可得， 可得，解得或（舍）， ∴的长为. 题型07 与三角形有关的最值（范围）问题 【典例1】在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案. 【解析】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得 即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 故答案为： 【变式1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解析】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 【变式2】在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解析】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 【变式3】已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若． (1)求角A的值； (2)若，求面积S的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由已知可推得.由正弦定理可得，进而得出，即可得出； （2）由余弦定理可得，.结合基本不等式可得出，代入面积公式即可得出最小值. 【解析】（1）由已知可得，. 因为，所以， 所以，整理可得， 由正弦定理得， 即. 又，所以. 由于，所以． （2）由余弦定理，可得. 又，当且仅当时取得等号， 所以. 所以，面积， 所以，面积S的最大值为． 【变式4】已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若于，求的面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面积公式可以求得，再根据基本不等式即可求得边长的取值范围，即可得面积最小值. 【解析】（1）由可得 ，由正弦定理可得 由余弦定理可得， 又，所以. （2）如下图所示： 三角形面积， 又，所以， 由（1）中可得，当且仅当时，等号成立； 即，得. 所以面积， 故的面积的最小值为 题型08 利用正弦定理解决实际问题 【典例1】如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（  ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【答案】A 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【解析】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 【变式1】如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求. 【解析】在中，， 则， 由正弦定理得， 解得(m）， 又在点测得塔顶的仰角为，即， 在中，(m). 故选：D. 【变式2】如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（  ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【解析】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 【变式3】重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出， （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【解析】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 题型09 利用正弦定理证明边角关系 【典例1】在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简即可证； 【解析】（1）由，则， 则， 所以， 整理可得 则，由，∴或， 当时，可得，， 则，解得，则， ∵，且，∴． 由正弦定理可知，则，显然与矛盾， 所以不符合题意，舍去，所以． 【变式1】记的内角所对的边分别为，已知． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简即可证； 【解析】，， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . 【变式2】记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2)16. 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解析】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 【变式3】在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证； （2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证. 【解析】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 1．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【解析】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 2．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解析】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 3．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【解析】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 4．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解析】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 5．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【解析】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 6．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解析】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 7．（多选）在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是（  ） A．若，则 B．若,则一定是等腰三角形 C．若是锐角三角形，则 D．已知不是直角三角形，则 【答案】ACD 【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可． 【解析】解：因为，，且在上单调递减，故由，得，故，结合正弦定理得,故A正确； ,故，或， 即，或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 若三角形为锐角三角形，则，故， 同理可得,， 三式相加得，故C正确； 不是直角三角形，即 ，，都不是直角，因为=, 整理得，故D正确． 故选：ACD． 8．（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（  ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项. 【解析】对于A，因为，所以， 所以， 因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确； 对于B：由及正弦定理，可得， 即，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错； 对于C：由及正弦定理化边为角， 可知，即， 因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确； 故选：ACD. 9.（多选）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（  ） A．的取值范围是 B．若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D．若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，由正弦定理和余弦定理得到，从而求出，结合三角恒等变换得到，结合，求出答案；B选项，整理得到，两边平方后得到，由基本不等式求出，进而求出面积最值；C选项，变形得到，根据，得到答案；D选项，由角平分线以及面积公式得，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】A选项，因为, 所以，所以， 即， 由余弦定理得，即， 又，所以， ， 因为，所以，所以， 所以，故A正确； B选项，因为，所以， 所以，又， 所以， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为，故B错误； ， 因为，所以，所以， 所以，所以，故C正确； D选项，由题意得：，由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时， 而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误； 故选：AC 10．在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意确定，由正弦定理可求得，结合可解以及C的范围，列出不等式，求得a的范围. 【解析】由题意在中，若，则, 由正弦定理得， 可解，则需有，解得， 故边a的取值范围是， 故答案为： 11．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（  ） 【答案】 【分析】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解. 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故答案为： 12．若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用三角恒等变换求得，结合正弦定理边化角可得，进一步结合是锐角三角形、即可得解. 【解析】因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，所以，所以， 因为，所以. 因为外接圆的半径为，所以，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，即. 令， 根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以，即， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 13．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解析】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 14．如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $