11.2 正弦定理（4知识点+8题型+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.2正弦定理 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：导 串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 串知识·识框架 sin 4"sin Bsin C 正弦定理 熟悉正弦定理常见的变形 “大角对大边，小角对小边”的边角关系 已知两角和任意一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角 解三角形 利用正弦定理进行边角互换（对每项统一互换】 a=bcosC+ccos B:b=acosC+ccosA;c=bcosA+acos B 正弦定理 三角形面积公式 r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 SABCa+b+c)r a<bsinA,无解 a=bsinA,一解 A为锐角时，求B角解的个数 bsinA<a<b,两解 三角形解的个数 a≥b,一解 a>b,一解 A为直角或钝角时，求B角解的个数 a≤b,无解 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 析教材·学知识 ☑知识点1：正弦定理 1、正弦定理的表示 在△4BC中，若角A,B,C对应的边分别是a,bc,则有sin A-sin B"sin C a b 若△4BC外接圆半径为R,则有、a=b。=C sin 4 sin B-sin C-2R 2、正弦定理常见变形： 1sinA=a,sin Cc sin Bb sin Bb'sin a'sin cc asin B-bsinA,asin C-esinA,bsin C-esin B: ② a b a+b a+c b+c a+b+c sin A sin B sin C sin A+sin B sin 4+sin C sin B+sin C sin 4+sin B+sin C 3a:b:c=sinA:sin B:sin C; 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系 a>b台A>B台sinA>sinB曰cosA<cosB 注意： 正弦定理跟余弦定理一致，都对任意的三角形成立。 在三角形中，三角和A+B+C=π这个条件不要遗漏，它在三角恒等变换化简的时候经常会用上。 即学即练 (24-25高一下·全国随堂练习)在ABC中，等式asin A=bsin B总成立.( ☑知识点2：解三角形 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s的齐次式，可以考虑用 正弦定理。 4、三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+cCosA; c=bcosA+acosB 注意：在使用正弦定理进行角边互换的时候，一定要对每项进行统一互换。 即学即练 (24-25高一下·贵州遵义月考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,若a=√2，b=√5， A=45,则B=() A.30 B.60 C.120 D.60或120 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ☑知识点3：三角形的面积公式 SABC=absinC=bcsinA=acsinB S4ABC=装=(a+b+c)·r(是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) 即学即练 (25-26高三上云南昆明月考)在ABC中，sinA:sinB:sinC=3:4:5,且S。Bc=24,则ABC的最小 边长为() A.3 B.6 C.9 D.12 ☑知识点4：三角形解的个数 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时： b b a B ⊙ a<bsin A a=bsin A bsinA<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 若A为直角或者钝角时： B B a>b a≤b 一解 无解 即学即练 (25-26高三上河北保定月考)在48C中，若4C=6,C=牙，B=2,则4BC解的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 练题型·强知识 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型一正弦定理的概念及应用 题型二正弦定理用于解三角形 题型三正弦定理判断三角形解的个数 题型四正弦定理判断三角形形状 正弦定理 题型五正弦定理边角互化应用 题型六三角形面积公式的应用 题型七正弦定理用于求外接圆 题型八正弦定理解三角形综合 2 正弦定理的概念及应用 例1 (24-25高一下.全国课后作业)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α，b,c.下列等式 正确的是() A.a:b=A B B.a:b=sin A:sin B C.a:b=sin B:sin A D.asin A=bsin B 【变式1-1】(24-25高一下.全国课堂例题)在ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.（ 【变式1-2】(24-25高一下.全国课堂例题)若在ABC中，“A>B"是“sinA>sinB"的()条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 【变式13】已知A8C的内角A,B,C所对的边分别是a,b,G,若a=1,A=135°，则+C一的 sin B+sin C 值为(). A.② B. √2 2 C.√2 D.2√2 4 2 正弦定理用于解三角形 例2. (24-25高一下.贵州毕节.期中)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=9, b=6,A=60°，则sinB=() B.3 c.3 3 D.-3 3 4/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【变式2-1】(25-26高一上·福建福州自主招生)在ABC中，∠A和∠B均为锐角，且AC=6,BC=3V5.若 sin A=3 ,则sinB的值为() 3 B. c D.22 3 【变式2-2】（24-25高一下山东菏泽·月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 a=2h=24=平则8=（) A君 B C.或 6 6 3 【变式2-3】(24-25高一下广东湛江·月考)在ABC中，若A+B=2C,a=1,c=√5，则B=() A B.月 C.2n 5π 3 D. 6 3 正弦定理判断三角形解的个数 例3. (24-25高一下·甘肃天水·月考)在ABC中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是() A.a=3,b=4,c=5,有唯一解 B.a=2,b=3,∠A=30°，无解 C.a=5,b=3,∠B=120°，有两解 D.a=4,b=5,∠A=45°，有唯一解 【变式3-1】(25-26高三上·安微期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三 角形，其中有两解的是() A.b=6,A=60°，C=45 B.b=15,c=6,B=60 C.a=V3,b=2,A=45 D.a=8,b=4,A=80 【变式32】(2025商一下江苏南京：专题练习)在48C中，已知8C=2,B-号，若该三角形有两个解， 则AC的取值范围是， 【变式3-3】（多选）(24-25高一下·云南曲靖·开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为α，b, c,分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是() A.a=8,b=16,A=30° B.a=25,b=30,A=150° C.a=30,b=40,A=30° D.a=72,b=30,A=45° 正弦定理判断三角形形状 例4. 2425商一下内家古包头月考)在48C中，已知瑞8。则4BC的形洗是 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4-1】(24-25高一下广东东莞月考)在ABC中，2sin2=c-b(a,b,c分别为角A,B,C 2 的对边)，则ABC是() A.等边三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 【变式4-2】(24-25高一下.安微徽月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 c cos C=a cos A,则ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【变式4-3】(24-25高一下福建福州期中)在ABC中，内角A,B所对的边分别为a,b,若a tan B=btan A, 则ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 正弦定理边角互化应用 例5. (25-26高一上云南楚雄月考)设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若 bcosC+ccosB=2acosA,A= 【变式5-1】(25-26高三上河北衡水月考)已知ABC内角A,B,C的对边为a,b,C,且 sin(A-B)=2sinC,a=2√2，则bc的最大值为() A.2√2 B.2V3 C.4 D.4N2 【变式5-2】(2025四川成都模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2, c=(a+2b)c0sB.若b2-c2=2,则c.cosA= 【变式5-3】(25-26高三上·湖南长沙月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 b=23,2sin A=a cos B,B= 6 三角形面积公式的应用 例6. (25-26高三上云南楚雄月考)在ABC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= 3 若4=晋，求4， (2)若a2+c2=7,求ABC的面积. 【变式6-1】(25-26高三上·云南昆明·月考)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知 cosB b 5c3 ,且b=√5，则ABC的周长为() cosC 2a-c 4 A.3V3 B.3√5+V5 C.25 D.32 【变式6-2】(2025辽宁.模拟预测)在ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:5:7,且该三角形的面积为15√3， 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则ABC的最小边长等于() A.3 B.6 C.9 D.12 【变式6-3】(25-26高一上.黑龙江哈尔滨期末)在ABC中，其面积为1，AB=2AC,BC的最小值为() A.2 B.√2 C.3 D.√5 7 正弦定理用于求外接圆 例7. (25-26高三上·甘肃·月考)已知ABC的三边长分别为2,3,4，则ABC的外接圆的面积为() A.64x B. 32π C.15π D.8Vf5π 15 15 公 【变式7-1】(25-26高二上广东清远·月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=9, b=8,c=5,则cosB=一；ABC外接圆的面积为_ 【变式7-2】(25-26高一上四川绵阳·期中)设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,如 果(a+b+c)(a+c-b)=ac,且b=√3，那么ABC外接圆的半径为() A.1 B.2 C.25 D.4 26高三上内蒙古泰，月考》在4BC中，已知4C=4W3,cos6=3, 的半径为() A.6 B.3 C.62 D.3√2 8 正弦定理解三角形综合 例8 (25-26高三上·上海期中)在ABC中各角所对的边分别为a,b,c,下列结论错误的是() A.a b 51 cosB cosC则ABC为等边三角形 B.已知(a+b+c(a+b-c=3ab,则∠C=60°； C.已知a=7,b=4√5，c=√3，则最小内角的度数为30： D.在a=5,A=60°，b=4,解三角形有两解 【变式8-1】（多选）(2025·陕西咸阳一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法 正确的是(). A.若A=30°，b=4,a=3,则ABC有两解 B.若a2+b2<c2,则sinA+sinB<sinC C.若tan A tan B>l,则ABC为锐角三角形 D.若a cos A=bcos B,则ABC为等腰三角形 【变式8-2】（多选）(25-26高三上江西萍乡期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下 列命题正确的是() 7/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.若a:b:c=2:万：3，则B= 3 B.若a>b,则cos2A>c0s2B C.若ABC为锐角三角形，则cosA<sinB D.若满足4-牙c=6的48C有两个，则a的取值范围为B5,6) 【变式8-3】（多选）(25-26高二上广东深圳期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为α，b,c, 对于以下命题，其中正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A+sin2B-sin2C>0,则ABC是锐角三角形 C.若A=60°，a=15,b=4,则满足条件的三角形有两个 D.若角A,B都是锐角，则sinA>cosB 04 过关测·提升 1.(25-26高三上山东枣庄月考)在ABC中，已知a=4,b=2√2，B=45°，则∠A= 2.(25-26高三上·天津武清月考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a-V3c)cosB=√3 bcosC,则tanB= 3(2526高三上海南月考)在4BC中，AC=5,B=行，则5<BC<7是48C有两解的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025高三上河南鹤壁专题练习)在4BC中，角4，B,C的对边分别是a,h.c,若sn5-, sinC 2' c2-b2=2ab,则c0s◆A=() 5 B. 8 C.ic D.11 16 5.(2025高二上山东临沂，学业考试)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C若a=6,c=2, sinA=3,则sinC=) B.4 c 6.(24-25高一下·天津期中)已知ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,若bc0sA=acos B ,则ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.(多选)(25-26高三上河北月考)在ABC中，sinA:sinB:sinC=m:2:3,若A为钝角，则m的取值 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可以是() A.9 B.√5 C.4 D.5 8.(多选)(2026陕西咸阳一模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知a=2, c=2 ,A=120°，则() 3 A.b=22 B.C=30° 3 C.ABC的周长为2+√3 D.ABC的面积为 3 9. (25-26高二上·天津静海月考)在ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 sinA:sinB:sinC=2:l:√2，b=√2. (1)求a与c的值： (2)求sinC的值； 8球m2c+的值。 10.(25-26高一上四川绵阳·期中)已知ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且 sinC-sinA 4c-3b sinB 3a+c1 (I)求sinA; (2)设ABC的面积为2√5，b+c=8,判断ABC的形状. 9/9 11.2 正弦定理 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1： 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 注意： 正弦定理跟余弦定理一致，都对任意的三角形成立。 在三角形中，三角和这个条件不要遗漏，它在三角恒等变换化简的时候经常会用上。 （24-25高一下·全国·随堂练习）在中，等式总成立.( ) 【答案】错误 【分析】根据正弦定理结构特征和适用范围判断即可. 【详解】正弦定理结构为：，故错误； 故答案为：错误. 知识点2 ： 解三角形 1、 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、 在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 4、 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 注意：在使用正弦定理进行角边互换的时候，一定要对每项进行统一互换。 （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 知识点3 ：三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） （25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由正弦定理将角的正弦比转化为边长比，判断为直角三角形，根据面积公式建立关于比例系数的方程，解得比例系数，从而求得最小边. 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 知识点4 ：三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： （25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 正弦定理的概念及应用 例1. （24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 【变式1-1】 （24-25高一下·全国·课堂例题）在中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．( ) 【答案】正确 【分析】根据正余弦定理的适用条件即可求解. 【详解】如果给三边，即可直接利用余弦定理求解角， 如果给的是两边以及一个角，即可根据余弦定理，列方程求解边, 故答案为：正确. 【变式1-2】 （24-25高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 【变式1-3】 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 正弦定理用于解三角形 例2. （24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 【变式2-1】 （25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 【变式2-2】 （24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 【变式2-3】 （24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 正弦定理判断三角形解的个数 例3. （24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 【变式3-1】 （25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 【变式3-2】 （2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 【变式3-3】 （多选）（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 正弦定理判断三角形形状 例4. （24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解. 【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 【变式4-1】 （24-25高一下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 【变式4-2】 （24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 【变式4-3】 （24-25高一下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 正弦定理边角互化应用 例5. （25-26高一上·云南楚雄·月考）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 【变式5-1】 （25-26高三上·河北衡水·月考）已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式化简，再由余弦定理及正弦定理化简，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，可得， 结合正弦定理及余弦定理有， 整理得，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 【变式5-2】 （2025·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 【变式5-3】 （25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 三角形面积公式的应用 例6. （25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理列式计算即可； （2）由余弦定理可得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以； （2）由余弦定理得，， 因为， 所以，所以． 所以的面积为． 【变式6-1】 （25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 【变式6-2】 （2025·辽宁·模拟预测）在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【详解】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故， 故选：B 【变式6-3】 （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解. 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 正弦定理用于求外接圆 例7. （25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 【变式7-1】 （25-26高二上·广东清远·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则 ；外接圆的面积为 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理求解，再利用正弦定理求解外接圆的半径，即可得解. 【详解】因为，，， 所以． 设外接圆的半径为R， 因为，所以， 所以外接圆的面积为． 故答案为：； 【变式7-2】 （25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 【变式7-3】 （25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 正弦定理解三角形综合 例8. （25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由和正弦定理，可得，即， 因，，故，同理可得， 故可得为等边三角形，即A正确； 对于B，由可得，即， 由余弦定理，，因，故，即B正确； 对于C，因，则最小内角为角， 由余弦定理，， 因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，， 因为，则，故角只有一解.即D错误. 故选：D. 【变式8-1】 （多选）（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ）． A．若，，，则有两解 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，则， 所以，又，则， 所以有两解，则有两解，故A正确； 对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误； 对于C，由，可得，且，均为锐角， 所以， 则，所以也为锐角， 则为锐角三角形，故C正确； 对于D，由，由正弦定理得，， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：AC 【变式8-2】 （多选）（25-26高三上·江西萍乡·期中）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若满足的有两个，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】设，结合余弦定理即可判断A；利用两角和余弦公式即可判断B；由，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判断C；由满足的有两个，可得，即可求解. 【详解】对于A，由，设， 由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由及正弦定理，得，则， 即，整理得，B错误； 对于C，由为锐角三角形，得，即， 由正弦函数的单调性，得，因此，C正确； 对于D，由满足的有两个，得，即，D正确. 故选：ACD 【变式8-3】 （多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则满足条件的三角形有两个 D．若角A，B都是锐角，则 【答案】AC 【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D， 【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，当，时，，故选项D不正确. 故选：AC. 1．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 2．（25-26高三上·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 3.（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 5．（2025高二上·山东临沂·学业考试）的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 6．（24-25高一下·天津·期中）已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】利用边化角，再由两角和的正弦公式即可求解判断. 【详解】由正弦定理边化角得， 在三角形中，只能取，所以的形状是等腰三角形， 故选：A. 7．（多选）（25-26高三上·河北·月考）在中，，若为钝角，则的取值可以是（    ） A．9 B． C．4 D．5 【答案】BC 【分析】根据题意，不妨设，由为钝角，得到边最长，利用余弦定理，列出不等式组，结合选项，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得 不妨设， 又因为为钝角，则边最长，可得，解得. 故选：BC. 8．（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 9．（25-26高二上·天津静海·月考）在，角所对的边分别为，已知，． (1)求与的值： (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合正弦定理角化边可得出的关系，再结合已知求； （2）根据余弦定理得出，再利用同角三角函数基本关系式求； （3）根据二倍角公式求出，再根据两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）在中由正弦定理可知， 因为，所以. （2）由（1）知，在中由余弦定理可知 ， 因为在中，所以. （3）由（2）知，所以， ， 所以. 10．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $