第08讲 复数的四则运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本高中数学讲义聚焦复数的四则运算核心知识点，先系统梳理加减运算的代数法则、运算律及几何意义，再深入讲解乘除运算的法则、运算律、除法共轭复数技巧及常用结论，延伸至复数范围内因式分解与方程求解，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于融合代数运算与几何意义，通过8类分层题型（含例题、变式及综合练习），培养学生用数学眼光观察几何意义，用数学思维推理运算规律，用数学语言表达问题。例如几何意义应用题型助学生直观理解向量关系，参数求解题型提升逻辑推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第08讲 复数的四则运算 【人教A版】 模块一 复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型1 复数加减法的代数运算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解. 【解答过程】由题意可得：. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数加法运算法则求解. 【解答过程】由，， 则， 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】由复数的加减运算，可得答案. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【解答过程】（1）； （2）； （3）． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式2.1】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为； （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为； （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【变式2.3】（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 模块二 复数的乘、除运算 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型3 复数的乘法、除法运算】 【例3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据复数的乘法、除法运算即可. 【解答过程】， 则，所以， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【解答过程】（1）原式． （2） =. （3） ． 【变式3.3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【解答过程】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出即可. 【解答过程】因为， 所以为实数， 则，即， 为纯虚数， 则，即， 所以. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数对应点的性质求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B. 【变式4.3】（2025·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【解答过程】由， 可得，， 因此． 故选：B． 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得， 所以的值为. （2）因为， 由题有，解得， 所以的取值范围为. 【变式5.1】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知复数（其中为实数）为纯虚数. (1)求实数的值； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）应用复数乘法运算化简，再应用复数的列式求参； （2）代入得出复数，因为复数对应点在第三象限列出不等式，应用一元二次不等式计算求参. 【解答过程】（1）复数为纯虚数. 即可得出； （2）复数，在复平面内所对应的点为， 因为点位于第三象限，所以，所以， 则. 【变式5.2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【解答过程】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 【变式5.3】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数. (1)若复数对应的点在直线上，求实数的值； (2)是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数对应点为，即可求解； （2）根据复数的乘法化简可得，即可根据纯虚数的特征求解. 【解答过程】（1），对应的点为， 由于在直线上，故，解得； （2），， 故且，解得. 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6】（24-25高三·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： __________． 【答案】 【解题思路】根据复数范围内的分解因式方法计算直接得出. 【解答过程】， ， ， ， ， 故答案为：. 【变式6.1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式=____________. 【答案】 【解题思路】先求得的根，然后进行因式分解. 【解答过程】由得， 解得， 所以. 故答案为：. 【变式6.2】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解答过程】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 【变式6.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【题型7 】 【例7】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【解答过程】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； ； （2） 是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 【变式7.1】（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)4，13 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案； （2）将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【解答过程】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 【变式7.2】（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【解答过程】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得. 【变式7.3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【解答过程】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 【题型8 复数中的新定义问题】 【例8】（2025·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】因为复数（其中）为“等部复数，可得， 即，可得， 则在复平面内对应的点为位于第一象限. 故选：A. 【变式8.1】（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由已知运算和复数的运算化简即可. 【解答过程】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【答案】(1)或 (2)①是真命题，②是假命题，理由见解析 【解题思路】（1）根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论； （2）根据复数新定义设，，根据运算逐个求证即可. 【解答过程】（1）由定义，有 即，整理得，， 或. （2）①设，，则， ，所以 ①是真命题. ②设，，则， 所以，则是其一组解， 故得不到或. ②是假命题. 【变式8.3】（24-25高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【解答过程】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以 ， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 一、单选题 1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】根据复数的四则运算计算即可. 【解答过程】由得，，整理得， 所以，则， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的加法运算法则求解即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【解答过程】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【解答过程】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【解答过程】， 故选：B. 6．（25-26高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由复数乘法的规律可得，再得到共轭复数及复平面内对应的点即可判断． 【解答过程】∵， ∴， 则在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 7．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【解答过程】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 8．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期末）若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解题思路】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【解答过程】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD. 10．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【解题思路】举例，，判断A；分别计算等式的左边和右边判断B；利用复数的运算法则判断C；设两个复数，计算出乘积模长，再计算出模长乘积即可比较大小判断D. 【解答过程】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； ，令， 则， ，与不一定相等，B错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，C正确； 设， 则， =，D正确． 故选：CD. 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【解答过程】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 【答案】 【解题思路】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 13．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【解答过程】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为__________． 【答案】 【解题思路】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【解答过程】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【解题思路】（1）利用复数的乘法运算求解即可； （2）利用复数的乘方以及除法运算求解即可. 【解答过程】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式. 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【解答过程】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； （2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以． （2）设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 18．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. （2）是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数的值为. 19．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 复数的四则运算 【人教A版】 模块一 复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型1 复数加减法的代数运算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1) (2) (3) 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【变式2.3】（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 模块二 复数的乘、除运算 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型3 复数的乘法、除法运算】 【例3】（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．5 B．3 C． D．2 【变式3.1】（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3.3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4.1】（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【变式4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（2025·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【变式5.1】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知复数（其中为实数）为纯虚数. (1)求实数的值； (2)若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【变式5.2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【变式5.3】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数. (1)若复数对应的点在直线上，求实数的值； (2)是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6】（24-25高三·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： __________． 【变式6.1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式=____________. 【变式6.2】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式6.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型7 】 【例7】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【变式7.1】（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【变式7.2】（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【变式7.3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【题型8 复数中的新定义问题】 【例8】（2025·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8.1】（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8.2】（24-25高一下·上海静安·期末）设复数，，其中.现在复数系中定义一个新运算，规定：. (1)已知，求实数x的值； (2)现给出如下有关复数新运算性质的两个命题： ①； ②若，则或. 请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 【变式8.3】（24-25高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 一、单选题 1．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·单元测试）复数（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期末）若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．（25-26高一下·全国·单元测试）设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 13．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为__________． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 17．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 18．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 19．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $