湖北鄂州市2026届高三下学期3月质检数学试卷

2026年鄂州市高三(3月)质量监测 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择随的作答：每小题进出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效」 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求， 1.复数z=(1-2i)i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合P={x|x为质数，A={x∈PI1<x≤6}，B={x∈ZI1<x≤6}，则CA= A.☑ B.{2,4} C.{4,6} D.{5,6} 3.双曲线r2-上=2<0)的离心率为5 则m的值为 A B C.2 D.4 4.已知(2-x)°=a。+ax+a2x2+ax3+a+asr,则a,+a2+a+a4+a5= A.32 B.31 C.-31 D.1 5.已知函数f(x)为奇函数，且f(x+1)为偶函数，当0≤x≤1时，有f(x)=2-1,则 f00g22026)= A.2025 B.-2025 C.501 D.、501 512 512 高三数学试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 6.已知数列{a}的首项a,=1，且满足a1= 3a., 则数列{an} 4an+1 A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 7.已知等边三角形ABC的边长是√5，D是三角形ABC所在平面内的动点，且AD=5, 则BD-2CD的取值范围为 A.[2,6] B.[2,8] C.[4,6] D.[4,8] 8.已知非负实数x,y满足2x+y=10,则x+√x2+y2的最小值为 A.8 B.6√2 C.7 D.43 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于函数f(x)=√3sin2x+cos2x的说法正确的有 A.函数f(x)的最小正周期为π B.要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向左平移Z个单位长度 6 C函数)的图象关于点（受0）中心对称 D.函数∫(x)在区间(-，)上单调递减 Γ3'6 10.已知函数f=e+'8=-e+1,为fw的极大值点，f,)=85),则 A.g(x)=0 B.x>1 C.x>x D.x<x 11.平面上一动点P到原点O的距离与到直线y=x的距离之和为常数a,点P的轨迹为曲 线C,点A(32,3√2)在曲线C上，则 A.a=6 B.2W3图OP≤6 C.△POA面积的最大值为9 D.从曲线内C任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆x2+y2=9内的概率大于 87 高三数学试题第2页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫APP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知10名同学的跳远成绩（单位：m)排序后下：3.51,3.62,3.78,3.81,3.92， 4.01,4.09,4.22,4.31,4.45,则这组数据的第60百分位数是 13.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由 一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底O同一 水平面内共线的三个点A,B,C,且在A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°， 60°，45°，同时测得AB=40m,BC=60m(如下图)，则塔的高度为」 m. 14.如图，经过抛物线C:y2=6x的焦点F的直线交抛物线C于A, B两点（点A在第一象限），直线AB的倾斜角为α，经过点A 和原点O的直线与C的准线I交于点D. (I)当a=牙时，|401 一：(2)△ABD绕直线1旋 3 ODI 转一周所形成的几何体体积最小时，直线AB的斜率 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,D是 线段AC上一点，且2 bcosC=2a-c. (1)求角B: (2)若S=b=2N3，,BD平分∠ABC,求AD. 16.(15分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为 2的正方形，EF∥AB,且EF=1,S为线段AD的中点. （1)求证：SE∥平面ACF: （(2)若AB⊥AF,FB=FC=2,求平面BDE与平面 CDE的夹角. 高三数学试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 17.(15分) 在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每 个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产），为 平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两不钱包中各随机抽取一币，并交换 存入对方钱包.记该协议重复执行n（neN)次后，甲钱包中“黑币”的数量为X。,甲 钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为P (1)求E: (2)证明： 数列化-是等比数列，并求出数列)的通项公式： (3)求E(X). 18.(17分) 已知动圆P与圆M:x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆N:x2+y2-6x-91=0相内切. (1)求动圆圆心P的轨迹T的方程： (2)设曲线T与x轴交于A,A,两点(A在A,左侧)，过N的动直线交T于A,B 两点，直线AA,AB交直线x=12于E,F两点，证明： ()以EF为直径的圆G恒过定点，并求出定点坐标： (ii)直线AB与圆G相切. 19.(17分) 已知函数f()=lnx-x-」 x (1)当a=1时，求f(x)的最小值： (2)当x>1时，f(x)<0,求a的取值范围： (3)已知点P1,0),按照如下方式依次构造点P(n=2,3,):过点P作曲线 y=lnx的切线与y轴交于点2n1,令Pn为过点2.1且斜率为0的直线与曲线y=lnx的交 点，记△Pn2,P1（n∈N)的面积为Sn,bn=ln(2Sn),证明： 夕1 Vb候-b >ln(n+1) 高三数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP高三三月考试数学试卷参考答案 202603 、选择题（单选） 二、选择题（多选） 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 11 答案 A C D C D B B A AC ABC ACD 题号 12 13 14 答案 4.05 60 3 √15 7.BD-2CD=AD-AB-2(AD-AC)=2AC-AB-AD ‖2AC-AB-|A⑦≤|2AC-AB-AD≤|2AC-A+|AD 而2AC-A?=44C+A-4AC.A正=9 所以|2AC-AB=3 故3-5≤|2AC-AB-AD≤3+5 即2≤|2AG-AB-AD1≤8 (或者坐标法，略) y 10 8.因为c,y为非负实数，且2x+y=10,欲求c十√x2+y的最小值， 即求线段2x+y=10(0≤x≤5)上的点到y轴的距离与到原点距离 之和最小，而原点关于线段的对称点为M(8,4),即求线段上的点P 到(8,4)与到y轴距离之和最小，显然就是M到y轴的距离8. 0 1.设动点Pa,,由题得到V++l刻 而点A(3√2,3√2)在此曲线上，所以a=6,选项A正确： 由于10P=V+,V+可+②义=6，显然V+可≤6 而√≥，所以+≥ 所以2√2+寸≥√+寸+l=6,从而V2+≥3，故10P[3,6],选项B错误： △POA的面积SoA=1OAd=3d(d为P点到直线OA(即直线y=)的距离) 要使得△POA的面积最大，即d最大，即P点到y=x距离最大，由曲线C的定义，此时P点 到原点距离最小，由上面分析可知，|OP最小为3，所以d的最大值为3，所以△POA的面积 的最大值为9，选项C正确： 对于选项D,位于圆x2+y2=9内的整点即{(x,y)x2+y2<9,x∈Z,y∈Z ={(c,y川-2≤x≤2，-2≤y≤2，x∈Z,y∈Z}共有25个点， 可以证明：-3√2≤x≤3W2,-3w2≤y≤3w2,易知(-4,4)在曲线C外， 所以，曲线C内的整点，一定少于区域{(x,y川-3W2≤x≤3√2，-3V2≤y≤3W2,x∈Z, ∈Z={(x,)川-4≤x≤4，-4≤y≤4，x∈Z,y∈Z}内的整点，该区域内的整点共有81个， 故其概幸大于点，选项D正确 高三数学答案·1： 【另解】曲线方程√2+寸+四=6可以理解为动点P到原点的距离与到y=心的距离之 和为6，而曲线关于原点对称，也关于y=x与y=-x对称，我们可以旋转45°转化成到原点 距离与到y轴或到x轴的距离之和.我们不妨顺时针方向旋转45°得到方程√2+y2+= 6V+9=6-1→x2=36-12→1=236-， b(36-x2y≥0 →y= -b(36-y<0 这样也可以判断B和C选项. 其图象如图所示， 事实上，所有满足√x2+y+ x-y <6的整点如下： y=-4 y=-3 y=-2 y=-1 y=0 y=1 y=2 y=3 y=4 x=-4 V c=-3 W x=-2 V V x=-1 V V W x=0 V V x=1 N D=2 V 2 W x=3 V V x=4 共有53个，故概率为 53 曲线C√2+了+l-=6的图象如下： 高三数学答案·2 14.(第一空2分，第二空3分)()由题可证DB∥OP,于是可得AO AF JODIFB 而lA-p+-IAFleo,即lAr-1-8oea同理Br=1+8osd 故品=诺=器 1tcos 1-0055 二3 (2)由题知△ABD绕l旋转一周所形成几何体的体积为： V=号xBrP+Br.lAF-ABi·sina =号xBFl+IAFIIBFIAind =gu-Drsmw=g1-8n+1+2o月 1 32.3 ·s2md 1+cosa 36元 s2n3a(1+cosa） 令f(a)=sin3a(1+cosa 则f'(a)=3sin2a·cosa·(1+cosc)-sin3a·sina sin'a.(3cosa+3cos'a-sin'a) =sin?a.(4cos'a+3cosa-1) =sin'a.(4cosa-1)(cosa+1) 又a∈(0，x),f'(a)=0→coa=1 4 分析可知，当cosa=二时，f)最大，几何体的体积最小， 4 由同角三角函数关系得sina=√5，于是tand=√5.即直线AB的斜率为√5. 4 15.解：(1)由条件2 bcosC=2a-c,利用正弦定理可得 2sinBCosC=2sinA-sin.... 因为A=π-B-C,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 代入上式：2 sin BcosC=2 sin BcosC+2 cosBsinC-sinC....4分 整理得：2 cosBsinC-sinC=(2cosB-1)sinC=0,又sinC≠0， 故2c0sB-1=0即c0sB=号，又0<B<x,所以B=号 3 6分 (2)由三角形面积公式知S=acsin B-日a0=2W5,可得ac=8.7分 又b=2W5 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得 12=a2+c2-ac. …9分 于是可得门a=2或a三4.10分 因为BD平分∠ABC,由角平分线性质， 2-=8,且AD+D0=A0=6=23, 所以40=a千e6=9。 3 12分 故AD的长度为2y5或y ..13分 3 3 高三数学答案·3 16.证明：(1)设AC∩BD=O,连S0,则，SOAB 又S为线段AD的中点， 所以S0L号AB, … .2分 又AB∥EP,EP=1,AB=2,即EP4号AB 故SO业EF,所以四边形SEFO为平行四边形， ..4分 故SE∥FO,而FOC平面ACF,SE丈平面ACF 故SE∥平面ACF.... .6分 (2)延长SO交BC于G,则G为BC的中点，连GF,EO 由FB=FC=√2，BC=2,可知BF⊥FC,FG⊥BC 由(1)知SO4EF故OG4EF 所以E0∥FG..7分 因为AB⊥BF,AB⊥BC,BF∩BC=B,BF,BCC平面BCF 所以AB⊥平面BCF 又ABC平面ABCD 所以平面BCF⊥平面ABCD. .9分 又平面BCF∩平面ABCD=BC,FG⊥BC,FGC平面BCF 所以FG⊥平面ABCD 又EO∥FG,所以FO⊥平面ABCD.10分 D S 如图建立空间直角坐标系，则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,0,1),C(-1,1,0) DC=(0,-2,0),D元=(1,1,1).11分 设平面CDE的法向量元=(c1,1,)则 DCi=0即-2=0 D元元1=0r++a=0 不妨令1=1，则1=0，乙=-1即元1=(1,0，-1).12分 易知OCL平面BDE,故平面BDE的法向量2=OC=(-1,1,0)..13分 高三数学答案·4： 设两平面所成的角为9，则cos0=c08<元，店>=m,刻=是 杭元2 214分 所以0=登 .15分 (几何法：易知OC⊥平面BDE,过点O作OH⊥DE,连接CH,则∠OHC即为平面BDE与 平面CDE的夹角，tanOf1C=8%=5,所以∠0HC=5,即平面BDE与平面CDE的 OH 夹角为号) 7解：（山由题意得B三号×号+号×号=骨…3分门 (2)当n≥2(n∈N)时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为gm,则没有“黑币”的概率为 1-Pn-9n R=(×号+号×号+号× 39n-1+3 号1-R-9- =-R+ 3… ..5分 ..6分 又B-号≠0，故{2-号}为等比数列 8分 故R-是=(A-)×( =号+()×(g 5 ..10分 (3)由题X.的可能取值为0,1,2. 11分 其概率分布列为 X 0 2 d 1-Pa-gn P 0 .,3h 依题意，P(X=0)=P(X=2)即1-P-9n=9m.于是Pn+2gn=1 (Xn)=0X (1-Pa-gn)+1x P+2x gn=P+2gn=1........... ...15分 18.解：(1)圆M化为标准方程为(x+3)2+y2=4,圆心M(-3,0),半径rM=2 圆N化为标准方程为(c-3)2+y2=100,圆心N(3,0),半径rw=10. .1分 设动圆圆心P(x,y),其半径为r 由题意，圆P与圆M外切，与圆N内切，故 PM=r+2,PW=10-r. 两式相加得PM+PN|=12. 3分 即动点P到两定点M(-3,0)与N(3,0)的距离之和为常数12，且12>N=6 清足猫周的定义，于是其方起为：需+号 =1 .5分 (2)曲线T与x轴交于A1,A2两点，由方程令y=0,得c=±6，即A1(-6,0),A(6,0), 点N(3,0)为椭圆的右焦点 .6分 ()设过点N的动直线AB的方程为：x=my+3, 高三数学答案·5 代入椭风方程需+苦-1整理得：3m2+对+18m测-S1=0 设A(C1,),B(c2,2)则 18m 81 1+2= 3m2+4,3= 3m2+4' .8分 1y2 :=m十6`+6 12 y12 -(my+9)(my2+9) m2y+9m(1+2)+81 81 3m2+4 1 m-3n++9nm+81 4 不纺记kA-名则k18=一衣 直线A1A的方程为：y=(c十6)，与直线x=12交于点E,则E(12,18) 同理，直线A,B与直线0=12交于点P,则F(12,- 2 .10分 w3.0西-916，-(9-是） 而呢=9×9+18g(-景）=01卫分 ∴.N在以EF为直径的圆G上.即圆G过定点(3,0) 由对称性知，圆G还过定点(21,0)： 所以圆G过定点(3,0)和(21,0).. ….13分 【另解】 曲线T与x轴交于A1,A2两点，由方程可令y=0,得x=±6，即A1(-6,0),A(6,0) 点N(3,0)为椭圆的右焦点 (i)设过点N的动直线AB的方程为：x=m则十3， 代入椭圆方程需+芳 =1整理得：(3m2+y+18my-81=0 设A(c1,),B(x2,2),则 △=(18m)2-43m2+4)(-81)≥041+y2=- 18m 81 3m2+4h3h= 3m2+4 直线AA的方程为：y+6a+6,所以点126 同用P2学治】 由对称性知，定点必在x轴上，不妨设定点M(t,0),则M厄·M匠=0，即 182y12 ,+(12-t)2=0 (*) (1+6)(x2+6) 182y1y2 182y1y2 182y12 而(+6，+6=(m+9mh+gmy+9mh+g+81 19(+ =-81 m2(3n++咖m(34+1 代入(*)可得(12-t)2=81,得t=3或t=21 即圆G过定点，定点坐标为(3,0)或(21,0) (倒直线A的方程为：y”6:16点风26】 高三数学答案·6 同理F12,18)， 9y1 9y2 6)小G2十6+ .14分 而、94 9y2 (y 1 +6++6 =9+6十6/ \m幼十g my2+9 (my+9)+y2(my1+9) 9(2my1+9(1+y2)】 =-9m (m1+9)(m+9) m2y1y2+9m(1+y2)+81 .G=(-g,9m),而AB的方向向量d=(m,1). 16分 .G示.元=0，AB⊥GN于N,故直线AB与圆G相切，切于点N.17分 10.解：当a=1时fo）=x-,f儿)=子-是=21分 02 02 当0<c<1时，f'(x)<0:当x>1时，f(x)>0, 所以fx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增， …3分 f所以f(c)min=f1)=0.. …4分 (2)解法一：f)=lnx--1, f(a)-1_*-(2-1aw_w+(a-1)g-a (x2 ....5分 m xa+l 记g(x)=x4+(a-1)x-a, g(x)=axa-1+a-1 ()当a≤0时，g(x)<0,所以g(x)在(1，+∞)上单调递减， 又g(1)=0,所以x>1时，g(x)<0,即f(x)<0, 所以f()在(1，+∞)上单调递减，又f1)=0, 所以f(c)<0恒成立，故a≤0合题意；6分 ()当0<a≤号时，因为g(o)=a(a-1)m-2<0,所以go在(1，+o∞)上单调递减， 又g(1)=2a-1≤0，所以x>1时，g(c)<0,同()可得f(x)<0恒成立， 故0<a≤号合题意： 7分 ()当号<a<1时，因为g)=aa-1x<0,所以gm在(1，+0)上单调递减， 此时g1)=2a-1>0,g(。0声)=0 所以，当1<<(。2六时，g>0: 所以ge在L(2.2产)单调递增，又g1=0, 所以ee1(L。2白，g>0,即fo>0 所以f@)在(1，(。声)单调递增，又f)=0, 所以x∈1，（二a)点），f知)>0，不合题意 .9分 a (22)当a≥1时，显然g(c)为(1，+∞)上的增函数，又g(1)=0, 所以x>1时，g(x)>0,即f(x)>0, 所以fx)在(1+o)上单调递增，又f(1)=0, 所以f(c)>0恒成立，故a≥1不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为（一0，号110分 高三数学答案·7 (3)由题意，点Pn在曲线y=lnc上，设Pn(cn,yn),yn=lnxn 己知B(1,0),即x1=1, 过卫的切线方程为一n4石-g小……分 与y轴交点Qn-1的坐标为(0，lncn1-1) 过Qm-1且斜率为0的直线为y=lncm-1-1,与曲线y=lnc的交点Pn满足 lnn=lnn-1-1→cn=cn-1e1,所以{xn}是以1为首项，e1为公比的等比数列， 因此xn=en-1=en-1,n=ln.=-n+1, .....13分 所以P(em-,-n+1),P+1的坐标为(e",-n),Qn的坐标为(0，-n), △P.Q.P1的底边QP1的长度为e,高为1故面积S.=2e2S。=e 于是bn=ln(2Sn)=lnen=-n,则b品-bn=n2+n=n(n+1),14分 所以要证之，>nn+1)即证之T>1n(n+1) 台√b限-b 台Vk(k+1) 而(2)中a≤号时，任意>1时，有1n<恒成立， 故有x>1时，lnc<二1恒成立， 令=1+若k>0),则有1+)< 1 .1Vk(k+1) .16分 1+ 所以>h2>号 1 mm+T>血2+1 1 求和得 1 >2x号×x)ln(n m 所以原不等式成立17分 【第二问另解】解法二：同当a≤号时，：>1，∴f孔m)=hnx-≤lnD- 设h(x)=lnw--1, x≥1 h(e)=1 Nm--12在WE-12 <0 2xVx 所以h(x)在(1，+∞)上单调递减， 又h(1=0,所以，当x>1时，hM<0,即1nc--1<0, Vx 所以f<0恒废立，故a≤号合题意： ()当a≥1时，：x>1,f)=nr--1≥n-二1>0（由第(1问可知），故a≥1 不合题意； ()当号<a<1时，f)=1--(x-1aa-x*+(a-1z-a m (x2 2xa+1 记g(x)=x+(a-1)c-a,x≥1 =ar1+a-1为减函数，且g1)=2a-1>0,g(。2)声)=0 高三数学答案·8 所以，当1<x<(1二0)时，g)>0,所以g)在(1，(1二a))单调递增，又g(1)=0, Q a 所以e1(。2六).ge>0.即f@)>0 所以f@在1(。2六)单调递增，又f=0, 所以x∈1，(。2)高)，fa)>0,不合题意 a 综上所述，实数a的取值范围为(-0，] 解法三：由f(c)=nc--1 a 由x>1f()<0恒成立等价于nx<-1恒成立 x 令x=e(t>0),则不等式可化为： t<e-1=el-ot-e-at eat 令h(t)=e1-at-eat-t,则h(0)=0,且需h(t)>0对t>0恒成立 求导得h(t)=(1-a)e1-at+aeat-1,h'(0)=0 令g(t)=(1-a)e1-at+aet-1,g(0)=0 求导得g(t)=(1-a)2e1-at-a2eat=et[(1-a)2e-a2] 故g/(0)=(1-a)2-a2=1-2a ①当a=1时，g(t)=-et<0,所以g(t)在(0，+oo)上递减，又g(0)=0,所以gt)<0,即 h(t)<0,所以h(t)在(0，+∞)上递减，又h(0)=0,从而h(t)<0,不满足条件 ②当a>号且a*1时，在te0,加)时，g<0,同上分折可知，在ae(0, na)时，A)<0,不满足条件 In-a2 @当a≤号时，g0)=1-2a≥0，且对t>0,g=e"[1-ae-a21, 由于t>0.a≤号1-aje-a2>1-aPe0-a2=1-2a≥0，即gt)≥0恒成立， 故g(t)在(0，十∞)上为增函数，故g(t)>g(0)=0 即h'(t)>0,进一步知h(t)为增函数，故h(t)>h(0)=0,合题意 综上所述，a≤号即为所求。 【第三问另解]令ge)=27一h1+小，求导可得 六品-小-0 g(x)=x+21 所以g(x)在(0，+∞)单调递增，所以g(x)>g(0)=0 令红=名可得 +T>血(1+)恒成立，k∈N 1 对k=1,2,…n求和得 会T2n1+岩=ha-D 以上解法仅供参考，不同解法，请老师们酌情给分。 高三数学答案·9