余弦定理和正弦定理运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修第六章平面向量及其应用 (四)余弦定理和正弦定理 知识梳理 g一￥一 知识点1：余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 定理 余弦定理 公式 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC 常见 b2+c2-a2 ；cosB= c2+a2-b2 a2+b2-c2 cos4= 变形 2bc Cos C= 2ac 2ab 知识点2：正弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 a b 公式 =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC; a 常见 (2)sinA= 2R ’sinB= 2R ，sinC= 2R: 变形 (3)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (4)asin B=bsinA,bsin C=csin B,asin C=csin A 知识点3：三角形的面积公式 2 bnC=号besin,4=1a 1 21 acsin B=abc 1 (a十b+c)r是三角形内切圆的半径)，并可由此计 4R2 算R,r 第1页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点4：在△4BC中，已知a,b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsinA bsinA<a<b a-b a-b a<b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点突破 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例1-1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=5,c=2,cosA=23,则b=() A.2 B.3 C.2 D.3 【例1-2】在△4BC中，已知a=V2,c=2,A=30°，那么B等于() A.15o B.15°或105°C.45° D.45°或135 【例1-3】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C.己知2a-b=2c·c0sB. ①求角C; ②若Q=2,D在边AB上，且AD=2DB,CD=V5,求b. 第2页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式1-1】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=3,A=6,则b= 【变式1-2】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,那么下列给出的各组条件能确定三角形 有两解的是() A.a=10,b=8,A=30° B.a=8,b=10,A=459 C.a=10,b=8,A=150° D.a=8,b=10,A=60° 【变式1-3】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3 acos B. (1)求角B的大小： (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. 第3页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点二利用正、余弦定理判断三角形形状 【例2】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，满足acosA=bcosB=ccosC,则△ABC的 形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【变式2-1】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则△ABC 的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【变式2-2】在△ABC中，已知a2anB=b2tanA,则△4BC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点三三角形面积问题 【例3】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b+c=2 acos B. (1)证明：A=2B; (2)若△ABC的面积S=a24,求角A的大小. 第4页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式3-1】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°，b=1,S△4Bc=3,则c等于 () A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3-2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acos B-+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=7,△ABC的面积为3)2，求△ABC的周长. 第5页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式33】在①cosB=V3cos2B且B为锐角，②√3sinB+cosB=V3且B为锐角，③ a8+号)-2+5.这三个条件中红达一个，补充在下面的问题中并解答。 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,sinC=3V3sinA,且，求 △ABC的面积及b的值. 【变式3-4】在△ABC中，a2+c2=b2+V2ac (1)求∠B的大小；(2)求V2cosA+cosC的最大值 第6页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C.若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则 △ABC外接圆的面积为() A.4π B.2π C.π D. 2 2.若△ABC中，sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA, s=5(62+a-c2,则∠B=() 4 A.90° B.60° C.45° D.30° 4.(多选题)对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是() A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 B.若A>B,则sinA>sinB C.若a=8,c=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 第7页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△4BC是钝角三角形 5.(多选题)如图，△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,∠ABC为钝角，BD⊥AB, aD2∠ABC=-7, 25’c-2,b=8 ,则下列结论正确的有() 5 5 A.sin A=- B.BD-2 5 4 C.5CD=3DA D.△CBD的面积为 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=V3bc,sinC=2√3sinB,则A= 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac, (I)求角B的大小： (Ⅱ)若a=c=2,求△ABC的面积； (II)求sinA+sinC的取值范围. 第8页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角，B,C的对边，且V5a=c0sA+2 c sinC (1)求角A的大小； (2)若b+c=5,且△ABC的面积为√5，求a的值. 第9页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ cos B,cosC sin A 9.己知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 b c 3sin C (1)求b的值； (2)若cosB+√3sinB=2,求△ABC面积的最大值. 10.已知△ABC的内角分别为A,B,C,其对应边分别是a,b,c,且满足 bcosC+ccos B=2acos B. (I)求角B的大小； 第10页共12页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修第六章平面向量及其应用 (四)余弦定理和正弦定理 知识梳理 g一￥一 知识点1：余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 定理 余弦定理 公式 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC 常见 b2+c2-a2 ；cosB= c2+a2-b2 a2+b2-c2 cos4= 变形 2bc Cos C= 2ac 2ab 知识点2：正弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 a b 公式 =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC; a 常见 (2)sinA= 2R ’sinB= 2R ，sinC= 2R: 变形 (3)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (4)asin B=bsinA,bsin C=csin B,asin C=csin A 知识点3：三角形的面积公式 2 bnC=号besin,4=1a 1 21 acsin B=abc 1 (a十b+c)r是三角形内切圆的半径)，并可由此计 4R2 算R,r 第1页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点4：在△4BC中，已知a,b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsinA bsinA<a<b a-b a-b a<b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点突破 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例1-1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=5,c=2,cosA=23,则b=(D) A.2 B.3 C.2 D.3 【例1-2】在△4BC中，己知a=V2,c=2,A=30°，那么B等于(B) A.15 B.15°或105° C.45° D.45°或135 【例1-3】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C.已知2a-b=2c·cosB. ①求角C; ②若a=2,D在边AB上，且AD=2DB,CD=V3,求b. ①C=60° ②b=V15-2 第2页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.由题意知AD=2DB, 即cD-cA=2(cB-cD), cD-3cA+30b. 2-(i+c）,2+-1=0 2 解得6=√15-2. 由题知AD=2DB 可得DB=x,∠CDB=0,则AD=2x, ∠CDA=T-8, 在△CDB中，由余弦定理得： BC2 CD2+DB2-2CD.DB.cos0, 即b2=3+4x2-4V3xcos0①. 在△CDA中，由余弦定理得： AC2 CD2+AD2-2CD.AD.COS (-0). 即4=3+x2+2V3xcos0②， 在△ABC中，由余弦定理得： AB2 =AC2+BC2-2AC.BC.cos ZACB. 即9x2=b2-2b+4③， ①+2×②得：62-1=6x2,和③联立得 62+46-11=0, 解得6=√15-2. 【变式1-1】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=3,A=6,则b= 1 【变式1-2】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,那么下列给出的各组条件能确定三角形 有两解的是(B) A.a=10,b=8,A=30° B.a=8,b=10,A=459 C.a=10,b=8,A=150 D.a=8,b=10,A=60° 【变式1-3】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3 acos B. (1)求角B的大小 (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. (1)B=60° (2)a=V3,c=2V3 考点二利用正、余弦定理判断三角形形状 【例2】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，满足acosA=bcosB=ccosC,则△ABC的 形状是(C) 第3页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【变式2-1】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C.+ccos B=asinA,则△ABC 的形状为(B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【变式2-2】在△ABC中，己知a2tanB=b2tanA,则△ABC的形状是(D) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点三三角形面积问题 【例3】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2 acos B. (1)证明：A=2B; (2)若△ABC的面积S=a24,求角A的大小. 例】解：(1)证明：由正孩定理得sinB+ sin C=2sin Acos B.2sin Acos B= sin B++sin(A+B)=sin B+sin Acos B +cos Asin B,于是sinB=sin(A-B). 又A.B∈(0，π)，故0<A一B<π，所以B =x一(A一B)或B=A一B, 因此A=T(舍去)或A=2B,所以A =2B. (2)由S=号，得名a6sinC=故有 sin Bsin Csin 2Bsin Beos B. 因为sinB≠0，所以sinC=cosB, 又B.C∈(0，x),所以C=受±B. 当B+C=受时，A=受： 当C-B=受时，A=平， 综上，A=受或A=于 @ 【变式3-1】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°，b=1,S△4Bc=3,则c等于 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 第4页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式3-2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acos B+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=7,△ABC的面积为3)2，求△ABC的周长. (1)C=60° (2)5+√7 【变式3-3】在①cosB=V3cos2B且B为锐角，②√3sinB+cosB=√3且B为锐角，③ anB+子-2+5，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答。 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=1,sinC=3N3sinA,且 ，求 △ABC的面积及b的值. 【详解】因为a=1,simC=35sinA,所以c=35g=5, 选择①，因为cosB=5cos2B,所以cosB=,5(2cos'B-D, 解得cs8-5成B-5 2 3 又8为脱角，所以sB-怎，B一君 2 所以aBC的面积为S=1 ocsin= 4 由余弦定理可得6=0+c-2acc0s8=1+27-65x5-19. 2 b=9: 选择②，因为5smB+cosB=√5，所以2sin(B+-5, 61 即B+马=5，则B+g号或B+号子，即8-若或B-子 6 2 63 63 又因为8为锐角，所以B=名， 面积及b的值解法同①： 为ma6.m份-（子引号 又因为Be(0,),所以B:若 面积及b的值解法同① 【变式3-4】在△ABC中，a2+c2=b2+2aC 第5页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (1)求∠B的大小：(2)求V2c0sA+c0sC的最大值 [解析](1)由余弦定理及题设， 得cosB=2+2--2ac-2 2ac 2ac 2 又因为0<∠B<x,所以∠B=于 (2)由(1)知∠A+∠C=3 4 ZcosA+cos C-/cos A+cosA)-cosA- sA+nA 2 2sinA=cos(A-于） 因为0<∠A<3,所以当∠A=至时2c0A+c0sC取 得最大值1. 课后巩固 1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则 △ABC外接圆的面积为(D) A.4π B.2π C.π D. 2 2.若△ABC中，sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是(A) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA, 5=5(6+a-c,则∠B=(D) 4 A.90° B.60o C.45o D.30o 4.(多选题)对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是(BD) 第6页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 B.若A>B,则sinA>sinB C.若a=8,C=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 5.(多选题)如图，△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,∠ABC为钝角，BD⊥AB, CDs2∠ABC= 25’c2,6=85 7 ，则下列结论正确的有《AC) A.sin A= 5 B.BD=2 C.5CD=3DA D.△CBD的面积为 5 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=V3bc,sinC=23sinB,则A=_ 30°- 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac, (I)求角B的大小； (IⅡ)若a=c=2,求△ABC的面积； (I)求sinA+sinC的取值范围. (I)B=60°(IⅡ)根号3 () 第7页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【详解1C1)由.cosB=+c-分，得co8= 2ac 21 所以厅行 (D由(1)得5.c-2 acs60°-5 由题意得m4+mC=nm行-小）-n4+5co=6an(d: 2 2 国为0<4号 所以3 Vi(4)sV5 2 故所求的取值范围是 8。已知a,,c分别为aABC三个内角，B,C的对边，且V5a-c0sA+2 sinC (1)求角A的大小； (2)若b+c=5,且△ABC的面积为√3，求a的值. 【详解】(1)由正弦定理得， 3sinA COsA+2 sinC sinc .sinC≠0， “5a4-coA=2,即an(4-8-1. 2n 3 (I)由：S=5可得S=bcnA=5. ∴.bc=4, :b+c=5, ∴由余弦症理得：a2=b2+c2-2 bccosA=(6+c)2-bc=21, ∴a=2i. 第8页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ cos B cos C sin A 9.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 b c 3sin C (1)求b的值： (2)若cosB+√3sinB=2,求△ABC面积的最大值. 【详解】（1)在式子cosB,osC-y5sim1中运用正弦、余弦定理后可得6=5.（2)由 b c 3sinC cosB+cnB=2经三角变换可得B-行然后运用余弦定理可得 35 3=a2+c2-ac之2ac-ac=ac,从而得到acs3,故得S=acsinBs3 4 详解：()油题意及正、余弦定理得+c2-,a2+62-c25a 2abc 2abe 3c 整理得2公.50,6=5 2abc 3c 2》由题意得o8+5m=28+君-2，sm(8名1，：8e0 6 8+名子B=号由余弦定理得6-d+e2-2am8, ·3-a2+d2-ac22ac-ac=ac,acs3,当且仅当a=c=√5时等号成立. 2acsimBsx3x .“△BC面积的最大值为35 2 24 4 10.已知△ABC的内角分别为A,B,C,其对应边分别是a,b,c,且满足 bcos C+ccos B=2acos B. (I)求角B的大小： (Ⅱ)若b=√3，求a+2c的最大值. 第9页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 18解：(I):bcosC+ccosB=2 acosB,由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcosB, 即sin(B+C)=sinA=2 2sinAcosB,于是cosB=从而B=子 ()由正弦定理得：品=品=品。= b =2,÷a=2sinA,c=sinC, a+2c=2sinA+4sinc 2sinA+4sin(A)=2(2sinA+3cosA)= 27sin(a+).(其中anp=要中E(0,》, 所以当A=-时，a+2c的最大值是27. 1.在①a+b=8,c=2V万，②b+c=10,c0sB=3这两组条件中任选一组补充在下面间题的横线上， 4 并进行解答 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,若a+8cc0SA=8b, (1)求cosC; (2)求△ABC的面积. (I)由正弦定理，得sinA+8 sin CcosA=8sinB, 由B=π-(A+C),得 sin A+8 sin C cos A=8 sin(A+C), 即 A+8sin C cosA=8sin AcosC+8 cos Asin 整理得sinA=8 sin Acos C, 由A∈(0，π)，得sinA≠0， 所以cosC=8 1 62+c2-a2 由余弦定理，得a+8c 2bc =8b, 整理得a2+62-c2=1。 所以csC=Q2+b2c2 1 ab 4 1 2ab 2ab= 8 第10页共11页