6.3平面向量基本定理及坐标运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的基本定理及坐标表示核心知识点，先以不共线向量为基底的唯一分解定理搭建理论支架，衔接正交分解，再通过单位向量i,j建立坐标表示，系统梳理向量坐标的求法及加减、数乘、模、共线与数量积的坐标运算公式，形成从几何到代数的完整知识脉络。 资料特色在于概念建构与应用融合，填空式知识点梳理强化抽象能力（数学眼光），例题变式题分层设计（如例1-1辨析基底性质，变式1-5结合等边三角形求数量积范围）培养推理能力（数学思维），坐标表示实现几何问题代数化（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后练习题覆盖不同题型，助力学生查漏补缺。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 必修 第六章平面向量及其应用 (三)平面向量的基本定理及坐标表示 知识梳理 知识点1：平面向量的基本定理 如果e1,2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数， 2,使a= 其中，不共线的向量1,2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底， 知识点2：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解 向 两个向量如果两个非零向量所在的直线互相 量互相垂直垂直，则称这两个向量互相垂直 正正交如果基底的两个基向量e,e,互相垂直， 交基底则称这个基底为正交基底 分正交 解分解在工交基底下向量的分解称为正交分解 知识点3：平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i,j作为基 底，α为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作=a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数x,y,使得=x十j,因此a=xi计j我们把实数对(c,y)叫作向量的坐标，记作a=(，. (2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中， ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设AG,),B62,2),则AB=（, ，AB 知识点4：平面向量的坐标运算 ()向量加法、减法、数乘运算及向量的模 ①加法运算：若a=(1,),b=(2,y2),则a十b=( 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ②减法运算：若a=(1,),b=(2,2),则a-b=(， ③数乘运算：若a=(c,y),1∈R,则a=( ④向量的模：若a=c,y),则la= (2)平面向量共线的坐标表示 设a=(1,),b=(2,y2),则alb→ (3)数量积的坐标表示 设向量a=(g1,),b=(2,y2),0为向量a,b的夹角 ①数量积：ab=albcos0= ②模：la=√aa=√x2+y ③夹角：cos0= ④两非零向量a⊥b的充要条件：ab=0- ⑤abab(当且仅当allb时等号成立)sk十ysV+Vx号+y 考点突破 【例1-1】如果e1,e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是() ①e1十ue(2,u∈R)可以表示平面a内的所有向量； ②对于平面a内任一向量a,使a=e1十ue2的实数对(，有无穷多个； ③若向量e1十4e2与21+e共线，则有且只有一个实数1，使得e+4e=(2e1十2e2): ④若存在实数2，u使得e1十e2=0,则2=u=0. A.①②B.②③C.③④D.② 【变式1-1】设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=12AB,BE=23BC.若=A十A2(,2 为实数)，则十2的值为 【例1-2】设=(2,3)，=0m,m,=(-1,4,则=() 第2页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.(1+m,7+n) B.(-1-m,-7-n) C.(1-m,7-n D.(-1+m,-7+) 【变式1-2】已知向量=(3，-2)，一=(-5，-1)，则向量12的坐标是() A(42) B(4,-) D.(8,1) 【变式1-3】若4，B,C三点的坐标分别为2，一4)，(0,6，(-8,10)，求+2，一-12的坐标. 【例1-3】已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与平行，其中A(1,2),B3,2),则x= 【变式14】已知a是锐角，a=2 sina),6=( ,cosa),且a/1b,则a为() 4 A.30 B.45° C.60° D.30°或60° 【例1-4】己知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是() A.a=61 B.ab=2 C.a-b与a垂直D.a/b 【变式1-5】平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）.已知点A(16,12),B(-5,15). ①求，1：②求∠OAB 0 第3页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式1-6】若ā=(2,3)，万=(-4,7)，则a在b上的投影为一 【变式1-7】已知向量a=(2,0),b=1,ab=-1,则a与b的夹角为() A君 B.香 C. D. 3 3 【例1-5】在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则EBED的取值 范围为() 哈 c 课后巩固 1.设向量ā=(1,1，b=（3,-2),则3a-2b=() A.(-3,7) B.(0,7) C.(3,5) D.(-3,5) 2.已知向量a=(1,-2,2a+6=(-3,1),则l=（) 第4页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.5V2 B.5 C.2V5 D.2 3.已知向量ā=（2，-1)，b=1,7)则下列结论正确的是() A.a⊥b B.a∥i C.aL(a+b) D.a⊥(a-b) 4.已知向量m=（a,2),i=(1,1+a),若m//元，则实数a的值为() B.2或-1 C.-2或1 D.-2 5.若向量a=(1,2),b=(2,x),若a/1b,则x=（） A.4 B.2 C.1 D.-1 6.已知向量B=(2,4),AC=(1,2),则下列与向量BC平行的向量是() A.(-2,-2) B.(-1,-2) C.(1,-1) D.(1,-2) 7.若向量a=(1,2),b=(0,1,ka-b与a+2b共线，则实数k的值为() A.-1 C.1 D.2 8.若向量m=(2k-1,与向量n=(4,1)共线，则mn=() 第5页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.0 B.4 c- D、I7 2 9.四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,使得CD=DE,若点F为线段BC上的动点，则 AF.EF的最小值为() B. 4 C.7 D.2 4 10.设向量a=(1,0),6=(-1,m),若a⊥ma-b,则m=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.已知直角梯形ABCD中，ADBC,∠ADC=90°，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则PA+3PB 的最小值为 12.若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 13.已知向量a=(-2,3)b=(3,m),且a1b,则m= 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A一B),sin(A-B),n=(cosB,一sinB), 3 且mn= 5 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (1)求sinA的值； (2)若a=4√2，b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影 第7页共7页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第六章 平面向量及其应用 （三）平面向量的基本定理及坐标表示 知识点1：平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝______________. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点2：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解. 知识点3：平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个__________i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a＝( ， )． (2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中， ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝（______，______)，＝________________. 知识点4：平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 ①加法运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( ， )． ②减法运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝( ， )． ③数乘运算：若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝( ， )．④向量的模：若a＝(x，y)，则|a|＝______________ (2)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔______________. (3)数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ=_________________. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝________________________________. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔_________________. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤. 【例1-1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　B　) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 【变式1-1】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____0.5____． 【例1-2】设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则＝(　B　) A．(1＋m,7＋n)　　　 B．(－1－m，－7－n) C．(1－m,7－n) D．(－1＋m ，－7＋n) 【变式1-2】已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　A　) A. B. C. D．(8,1) 【变式1-3】若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标． ＋2=(-18,18), －=(-3,-3) 【例1-3】已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与平行，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝__-1或4______. 【变式1-4】已知是锐角，，，且，则为　C　 A． B． C． D．或 【例1-4】已知向量，则下列结论正确的是　C　 A． B． C．与垂直 D． 【变式1-5】平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16,12)，B(－5,15). ①求||，||；②求∠OAB. 【变式1-6】若，，则在上的投影为　　． 【变式1-7】已知向量，，，则与的夹角为　D　 A． B． C． D． 【例1-5】在边长为1的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　B　 A． B． C． D． 1.设向量，，则（ A ） A． B． C． D． 2.已知向量，则（ A ） A． B．5 C． D．2 3.已知向量，则下列结论正确的是（ D ） A． B．// C． D． 4.已知向量，，若，则实数a的值为　C　 A． B．2或 C．或1 D． 5.若向量，若，则（ A ） A．4 B．2 C．1 D．1 6.已知向量=（2,4），=（1,2），则下列与向量平行的向量是（ B ） A．(－2，－2) B．(－1，－2) C．(1，-1) D．(1，-2) 7.若向量，，与共线，则实数的值为（ B ） A． B． C． D． 8. 若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　D　) A.0 B.4 C.－ D.－ 9.四边形是边长为1的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为（ C ） A． B． C． D．2 10.设向量，，若，则（ B ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 11.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为__5______. 12.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_____x＜3且x≠-___. 13.已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝___-2______. 14在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $