9.2坐标方法的简单应用 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

9.2坐标方法的简单应用 (5知识点+12题型+过关检测） 【题型1 实际问题中用坐标表示位置】 2 【题型2 用方向角和距离确定物体的位置】 5 【题型3 根据方位描述确定物体的位置】 8 【题型4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 12 【题型5 由平移方式确定点的坐标】 15 【题型6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 18 【题型7 已知图形的平移，求点的坐标】 22 【题型8 已知平移后的坐标求原坐标】 25 【题型9 坐标系中平移】 27 【题型10 坐标系中的动点问题】 29 【题型11 中点坐标】 36 【题型12 点坐标规律探索】 38 1. 掌握位置描述方法：学会用两种核心方式描述平面内点的位置——平面直角坐标系坐标法、方向角+距离定位法，理解有序数对与平面内点的一一对应关系，能灵活转换实际位置与数学坐标。 2. 熟练坐标平移规律：牢记点沿x轴、y轴平移的坐标变化规律，能根据平移方式求对应点坐标、根据平移前后坐标判断平移方式、根据图形平移求关键点坐标，掌握逆向平移（已知新坐标求原坐标）的解题方法。 3. 突破特殊坐标问题：掌握中点坐标基础公式、坐标系动点问题的分析思路，学会探索点坐标的循环规律，培养数形结合、归纳推理的数学思维。03 知识•梳理 知识点1：平面直角坐标系基础 · 构成：平面内互相垂直、原点重合、单位长度相同的两条数轴，水平为x轴（横轴，向右为正），竖直为y轴（纵轴，向上为正），交点为原点O(0,0)。 · 点的坐标：过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应数为横坐标x、纵坐标y，记作P(x,y)，横坐标在前，纵坐标在后，顺序不可颠倒。 · 坐标与距离：点P(x,y)到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x|，距离一定为非负数，切记加绝对值。 知识点2：方向角与位置确定 · 定位要素：确定一个物体的位置，需要两个独立条件：方向角（方位）+距离，二者缺一不可。 · 常用方位描述：正东、正南、正西、正北、北偏东/西、南偏东/西（默认先说北或南，再说东或西），如北偏东30°、南偏西45°。 · 坐标定位规则：选定原点、正方向（通常正东为x轴正方向，正北为y轴正方向）、单位长度，建立平面直角坐标系，将实际位置转化为有序数对。 知识点3：点的平移规律 平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标（左右平移只变x，上下平移只变y，反向平移逆用规律） · 沿x轴平移：向右平移a个单位→(x+a, y)；向左平移a个单位→(x-a, y) · 沿y轴平移：向上平移b个单位→(x, y+b)；向下平移b个单位→(x, y-b) · 图形平移：图形上所有点按照相同方式、相同距离平移，关键点坐标同步变化，图形形状、大小不变。 知识点4：中点坐标公式 若已知两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则线段AB的中点M的坐标为： 理解：中点横坐标是两点横坐标的平均数，中点纵坐标是两点纵坐标的平均数，适合求线段中点、对称点。 知识点5：坐标规律探索 常见规律：循环规律（点按固定周期平移，坐标循环变化）、等差规律（横/纵坐标依次加/减固定数）、象限符号规律（一正二负左，一正二正上，三负四负下）。 解题方法：先写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的变化趋势，找出周期或差值，归纳通用规律。04 题型•汇总 【题型1 实际问题中用坐标表示位置】 解题思路： 第一步：选定参考点作为原点，规定正方向（正东→x正，正北→y正）和单位长度；第二步：确定目标点相对于原点的水平（左右）、竖直（上下）距离，对应写出横坐标、纵坐标；第三步：规范记作(x,y)，注意正负（左负右正，下负上正）。 【典例1】．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定横纵坐标的正负，再结合单位长度换算即可得到学校坐标． 【详解】解：∵以小明家为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，单位长度为，小明先沿正西方向走，正西是x轴负方向， ∴学校的横坐标为， ∵小明再沿正北方向走，正北是y轴正方向， ∴学校的纵坐标为， ∴学校的坐标为 ． 跟随训练1-1．五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标系确定位置，先根据①②的位置建立平面直角坐标系，进而根据坐标系及比赛规则即可判断求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： 由平面直角坐标系可知，若轮到黑棋走，黑棋放在或位置胜利；若轮到白棋走，白棋放到位置胜利， ∴小红正确，小刚错误， 故选：． 跟随训练1-2．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：由图象可得点的坐标为 跟随训练1-3．图是我校的平面示意图． (1)以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼： ，图书馆： ，实验楼： ，操场： ； (3)若行政楼的位置坐标为，在图中标出它的位置． 【答案】(1)见详解 (2)教学楼，图书馆,实验楼,操场． (3)见详解 【分析】（1）依题意画出平面直角坐标系即可； （2）根据所建立的平面直角坐标系，写出各点坐标即可； （3）在图中标出点行政楼的位置即可． 【详解】（1）解：如图，以大门A所在位置为原点，建立平面直角坐标系如下： （2）解：写出各点坐标如下： 教学楼，图书馆，实验楼，操场． （3）解：点的位置如图所示， ． 【题型2 用方向角和距离确定物体的位置】 解题思路： 核心：方向角+距离双条件定位，先确定观测点，再描述方位（北/南偏东/西+角度），最后说明距离，二者缺一不可，角度默认以正北、正南为基准。 【典例2】．海天之间，硝烟弥漫．12月上旬，北部战区海军某驱逐舰支队数艘舰艇组成编队，奔赴某海域开展实战化训练．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处，那么飞机在机场的方向和距离为（   ） A．南偏西， B．北偏西， C．南偏西， D．北偏西， 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是熟练掌握方向角的定义．根据点A的位置，得出飞机在机场的南偏西方向处． 【详解】解：∵在北偏东方向20千米处， ∴，， 对比点A的位置，则，， ∴飞机在机场的南偏西方向处． 故选：A． 跟随训练2-1．如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 【答案】B 【分析】本题主要考查的是方向角，根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：根据图形可知：在港口的南偏东方向，相距30海里处． 故选：B． 跟随训练2-2．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 跟随训练2-3．如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【答案】(1)南偏东（或东偏南）；600 (2)见解析 (3)75 【分析】此题主要考查用方向角和距离确定物体的位置； （1）根据方向角和距离解答即可； （2）根据方向角和距离确定物体的位置，画图即可． （3）用乐乐从家经过超市步行去学校的距离除以20，计算即可． 【详解】（1）解：乐乐家在超市的南偏东（或东偏南）； 距离600米； 故答案为：南偏东（或东偏南）；600． （2）解：邮局的位置如图，    （3）解：乐乐从家经过超市步行去学校的距离为， ∴（米/分）， 则乐乐步行的平均速度是75米/分． 故答案为：． 【题型3 根据方位描述确定物体的位置】 解题思路： 以观测点为中心，画出方位坐标系（上北下南左西右东），按方向角画出对应射线，在射线上截取对应距离，端点即为目标物体位置，可转化为坐标表示。 【典例3】．下列数据能确定物体具体位置的是（   ） A．东偏南方向 B．嘉嘉家距学校 C．电影院第2排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查确定物体具体位置的要素，确定物体的具体位置需要两个相互独立的定位信息(单一的方向、距离或排数等都无法确定唯一位置)． 【详解】解：A选项：东偏南方向只有方向信息，没有距离，不能确定物体的具体位置； B选项：仅知道距学校，没有明确方向，以学校为圆心、为半径的圆上的点都满足该条件，无法确定具体位置； C选项：电影院第2排包含多个座位，仅排数无法确定具体的座位位置； D选项：东经，北纬是一组经纬度坐标，两个参数能唯一确定地球上某一点的具体位置； 故选：D． 跟随训练3-1．根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．八年级教室 B．北京东路 C．东偏北方向 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查位置的确定，根据确定具体位置需要两个独立的参数，如经纬度、方向与距离等，进行判断即可． 【详解】A、无法确定具体位置，不符合题意； B、无法确定具体位置，不符合题意； C、无法确定具体位置，不符合题意； D、能确定具体位置，符合题意； 故选：D． 跟随训练3-2．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中(______，______)，(______，______)，______(，______)； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为______． 【答案】 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案． 【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负 ∴记为，记为，记为； （2）∵， ∴， ∴点向右走个格点，向上走个格点到点 ∴应记为． 故答案是：（1），，，，，；（2） 【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 跟随训练3-3．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)点E在点C的正南方向，距离点处 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）点D，E ，F的位置如图所示 （3）． 点E在点C的正南方向，距离点处 【题型4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 解题思路： 直接套用平移口诀，左右平移只改横坐标，上下平移只改纵坐标，正向平移直接加减，计算时注意符号，避免加减错误。 【典例4】．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，掌握点向左平移时横坐标减少，纵坐标不变的规则是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，向左平移时横坐标减少，纵坐标不变． 【详解】解：∵点向左平移5个单位， ∴新点横坐标，纵坐标， ∴得到的点坐标为，对应选项C． 故选：C． 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 跟随训练4-2．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 跟随训练4-3．中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【答案】(1)坐标系见解析，棋子“相”的坐标为 (2)①可以，“马”向上平移2个单位，向右平移1个单位 ② 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的平移，点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）根据“炮”的位置建立平面直角坐标系，然后根据坐标系写出点的坐标即可； （2）①根据点的平移规律进行求解即可；②在线段上找出一点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵“炮”的位置是， ∴建立直角坐标系如下： ∴棋子“相”的坐标为； （2）解：①“马”可以走到“B”处， “马”向上平移2个单位，向右平移1个单位； ②如图所示， 点“B”与“炮”所在点之间的线段上的任一点，该点的横坐标取值范围为，纵坐标为2， 故点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标为． 【题型5 由平移方式确定点的坐标】 解题思路： 明确平移的方向和单位长度，分步计算：先算水平平移后的横坐标，再算竖直平移后的纵坐标，两步独立计算，互不干扰。 【典例5】．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 跟随训练5-1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将点A平移至、、、四点，观察点E是否落在正方形内部，即可获得答案． 【详解】解：A.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； B.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； C.如下图，点平移至点，点E落在正方形内部，故本选项符合题意； D.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意． 跟随训练5-2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的平移变化，代数式求值，平移中点的坐标变化规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减；根据规律求出，的值，代入计算即可. 【详解】解：将点先向右平移个单位长度，得到点， 再向下平移个单位长度，得到点 ，， . 跟随训练5-3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， 【分析】（1）根据平面直角坐标系作答即可； （2）找出平移后的点的位置，进而连线并写出、的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知，，； （2）解：如图，三角形即为所求，，． 【题型6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 解题思路： 对比平移前后横、纵坐标的变化：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移，变化量的绝对值即为平移距离。 【典例6】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 跟随训练6-1．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 跟随训练6-3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在图中描出点； (3)在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定、平行线段的坐标特征，核心是理解坐标与位置的对应关系，以及平行且相等的线段对应的平移规律． （1）根据平面直角坐标系的定义，直接读取点的横、纵坐标即可； （2）根据坐标，找到的竖直线与的水平线的交点，描出该点即可； （3）由且，可知线段是线段平移得到的，先确定的平移方式，再将点按相同方式平移，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点的横坐标为，纵坐标为，故点A的坐标为；点B的横坐标为1，纵坐标为0，故点B的坐标为； （2）解：在平面直角坐标系中，找到横坐标为1的竖直网格线与纵坐标为3的水平网格线的交点，描出该点即为点，如图所示： （3）解：∵，，为轴上方的一点， ∴线段可以看作线段经过平移得到， ∵点到点，是向左平移个单位，向下平移个单位， ∴点D的横坐标为，纵坐标是. 即点D的坐标为． 故答案为：． 【题型7 已知图形的平移，求点的坐标】 解题思路： 图形平移是整体平移，先根据图形上一个已知点的平移，确定统一的平移方式，再将该平移方式应用到所求点上，求出对应坐标。 【典例7】．如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 跟随训练7-1．已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，即“右加左减，上加下减”．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：先向右平移个单位， 横坐标变为，纵坐标不变，得点； 再向下平移个单位， 纵坐标变为，横坐标不变，得点， 点的坐标为， 故选：D． 跟随训练7-2．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 跟随训练7-3．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． （1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：，； （2）解：的对应点得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 【题型8 已知平移后的坐标求原坐标】 解题思路： 逆向平移，反向运用口诀：右移→左减，左移→右加，上移→下减，下移→上加，从平移后坐标反向推导原坐标，核心是反向加减。 【典例8】．在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减． 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 跟随训练8-1．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，逆向思考，把点先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在坐标系中，点先向右平移4个单位得，再把向下平移2个单位后的坐标为，则A点的坐标为． 故选：A． 跟随训练8-2．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 跟随训练8-3．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查坐标与图形、图形的平移、三角形面积的计算： （1）将的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可； （2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解； （3）用所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：两次平移后的图形三角形如下所示，． （2）解：由题意知，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ，， ，； （3）解：． 【题型9 坐标系中平移】 解题思路： 综合平移操作：先建立坐标系，标出原点点，按平移方式移动，写出新坐标，可用于图形平移作图、面积计算、位置判断，平移不改变图形形状和大小，只改变位置。 【典例9】．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 跟随训练9-1．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 跟随训练9-2．将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 【详解】解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 跟随训练9-3．如图，在直角坐标系中 (1)描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来． ； (2)把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了坐标与图形性质和平面直角坐标系中的点的平移问题，主要利用了在平面直角坐标系中找点位置的方法， （1）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后顺次连接即可． （2）根据题意平移各点即可． 【详解】（1）解：由题意描点、连线如图： （2）解：由题意，平移图案如下： 【题型10 坐标系中的动点问题】 解题思路： 设定动点的运动时间、速度，根据运动方向和路程，用含字母的式子表示动点坐标，结合距离、象限、平移条件列方程求解，核心是用变量表示坐标。 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 跟随训练10-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 跟随训练10-2．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)点的移动时间为3秒或秒 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的性质求出、的值，结合点的运动路径分析各阶段位置． （1）由非负数的性质得、，再据轴确定的坐标； （2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点的位置； （3）分段和段两种情况，据到轴距离求出路径长，进而算时间． 【详解】（1）解：∵， ∴，，得，， ∴，， ∵轴，在轴上， ∴ （2）解：点3秒运动的距离：，，，， ∴在段，从出发走了， 故答案为： （3）解：①当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； ②当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； 答：点的移动时间为3秒或秒． 跟随训练10-3．如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)3；5；15； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴； （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， 由（1）得，， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】运用数形结合与分类讨论数学思想解题． 【题型11 中点坐标】 解题思路： 直接套用中点坐标公式，横坐标取平均，纵坐标取平均，代入计算即可，适合求中点、对称点、线段平分问题。 【典例11】．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 跟随训练11-1．点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 跟随训练11-2．点和点的中点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 跟随训练11-3．（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 【答案】（1）见解析，，；（2）①；② 【分析】本题考查了在坐标系内描点、中点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）①根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； ②利用①中的规律进行分类讨论即可答题． 【详解】解：（1）如图所示： ，   ， （2）① ②线段的中点坐标为，即． 【题型12 点坐标规律探索】 解题思路： 第一步：写出前3-5个点的坐标；第二步：观察横、纵坐标的变化（循环、递增、递减、奇偶项不同）；第三步：找出周期或通项规律；第四步：利用规律求指定点坐标。 【典例12】．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 跟随训练12-1．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 跟随训练12-2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型问题在点的坐标问题中的应用，利用移动规律得出坐标变化规律是解题的关键． 根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标为，再用，可得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图可知，都在x轴上， ∵青蛙每次移动2个单位， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 则， ∴点的坐标是． ∵点向上移动2个单位长度得到点， ∴点的坐标是 跟随训练12-3．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 05 过关•检测 1．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 2．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 3．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件建立直角坐标系，确定点B坐标即可． 【详解】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系， 由直角坐标系可知点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 5．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 6．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 7．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规则找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【详解】解：∵白①的位置是，黑①的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三个黑棋的两头位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 8．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 【答案】 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴，， ∴点 N的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，再结合横坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵， ∴在类似，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标，计算矩形的各边长度，确定矩形的周长，用总长度除以周长，根据余数判定位置即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， ，, , ， 故终点一定在线段上，设其坐标为， 根据题意，得， 解得， 这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 13．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)15 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可得：； （3）解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 14．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A坐标为，点B的坐标为； (2) (3)秒或秒 【分析】（1）利用非负数的性质可以求得、的值，则可得到点A和点C的坐标，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点运动的路程，进而确定点P的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况：点在上和点在上，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为，点C的坐标为， ∴， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标为； （2）解：点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， 当点P移动4秒时，点运动的路程为， ，，且， 当点移动4秒时，点P在线段上，且， 即当点移动4秒时，此时点的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点在上时， 点移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点在上时． 点移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是秒或秒． 15．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2坐标方法的简单应用 (5知识点+12题型+过关检测） 【题型1 实际问题中用坐标表示位置】 2 【题型2 用方向角和距离确定物体的位置】 4 【题型3 根据方位描述确定物体的位置】 5 【题型4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 7 【题型5 由平移方式确定点的坐标】 8 【题型6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 9 【题型7 已知图形的平移，求点的坐标】 10 【题型8 已知平移后的坐标求原坐标】 11 【题型9 坐标系中平移】 12 【题型10 坐标系中的动点问题】 13 【题型11 中点坐标】 15 【题型12 点坐标规律探索】 15 1. 掌握位置描述方法：学会用两种核心方式描述平面内点的位置——平面直角坐标系坐标法、方向角+距离定位法，理解有序数对与平面内点的一一对应关系，能灵活转换实际位置与数学坐标。 2. 熟练坐标平移规律：牢记点沿x轴、y轴平移的坐标变化规律，能根据平移方式求对应点坐标、根据平移前后坐标判断平移方式、根据图形平移求关键点坐标，掌握逆向平移（已知新坐标求原坐标）的解题方法。 3. 突破特殊坐标问题：掌握中点坐标基础公式、坐标系动点问题的分析思路，学会探索点坐标的循环规律，培养数形结合、归纳推理的数学思维。03 知识•梳理 知识点1：平面直角坐标系基础 · 构成：平面内互相垂直、原点重合、单位长度相同的两条数轴，水平为x轴（横轴，向右为正），竖直为y轴（纵轴，向上为正），交点为原点O(0,0)。 · 点的坐标：过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应数为横坐标x、纵坐标y，记作P(x,y)，横坐标在前，纵坐标在后，顺序不可颠倒。 · 坐标与距离：点P(x,y)到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x|，距离一定为非负数，切记加绝对值。 知识点2：方向角与位置确定 · 定位要素：确定一个物体的位置，需要两个独立条件：方向角（方位）+距离，二者缺一不可。 · 常用方位描述：正东、正南、正西、正北、北偏东/西、南偏东/西（默认先说北或南，再说东或西），如北偏东30°、南偏西45°。 · 坐标定位规则：选定原点、正方向（通常正东为x轴正方向，正北为y轴正方向）、单位长度，建立平面直角坐标系，将实际位置转化为有序数对。 知识点3：点的平移规律 平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标（左右平移只变x，上下平移只变y，反向平移逆用规律） · 沿x轴平移：向右平移a个单位→(x+a, y)；向左平移a个单位→(x-a, y) · 沿y轴平移：向上平移b个单位→(x, y+b)；向下平移b个单位→(x, y-b) · 图形平移：图形上所有点按照相同方式、相同距离平移，关键点坐标同步变化，图形形状、大小不变。 知识点4：中点坐标公式 若已知两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则线段AB的中点M的坐标为： 理解：中点横坐标是两点横坐标的平均数，中点纵坐标是两点纵坐标的平均数，适合求线段中点、对称点。 知识点5：坐标规律探索 常见规律：循环规律（点按固定周期平移，坐标循环变化）、等差规律（横/纵坐标依次加/减固定数）、象限符号规律（一正二负左，一正二正上，三负四负下）。 解题方法：先写出前几个点的坐标，观察横、纵坐标的变化趋势，找出周期或差值，归纳通用规律。04 题型•汇总 【题型1 实际问题中用坐标表示位置】 解题思路： 第一步：选定参考点作为原点，规定正方向（正东→x正，正北→y正）和单位长度；第二步：确定目标点相对于原点的水平（左右）、竖直（上下）距离，对应写出横坐标、纵坐标；第三步：规范记作(x,y)，注意正负（左负右正，下负上正）。 【典例1】．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．五子棋的比赛规则是：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子记为胜方．如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，若轮到黑棋走，小红认为黑棋放在或位置胜利．若轮到白棋走，小刚认为白棋放到位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小红、小刚均正确 B．小红、小刚均错误 C．小红正确，小刚错误 D．小红错误，小刚正确 跟随训练1-2．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 跟随训练1-3．图是我校的平面示意图． (1)以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼： ，图书馆： ，实验楼： ，操场： ； (3)若行政楼的位置坐标为，在图中标出它的位置． 【题型2 用方向角和距离确定物体的位置】 解题思路： 核心：方向角+距离双条件定位，先确定观测点，再描述方位（北/南偏东/西+角度），最后说明距离，二者缺一不可，角度默认以正北、正南为基准。 【典例2】．海天之间，硝烟弥漫．12月上旬，北部战区海军某驱逐舰支队数艘舰艇组成编队，奔赴某海域开展实战化训练．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处，那么飞机在机场的方向和距离为（   ） A．南偏西， B．北偏西， C．南偏西， D．北偏西， 跟随训练2-1．如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 跟随训练2-2．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 跟随训练2-3．如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【题型3 根据方位描述确定物体的位置】 解题思路： 以观测点为中心，画出方位坐标系（上北下南左西右东），按方向角画出对应射线，在射线上截取对应距离，端点即为目标物体位置，可转化为坐标表示。 【典例3】．下列数据能确定物体具体位置的是（   ） A．东偏南方向 B．嘉嘉家距学校 C．电影院第2排 D．东经，北纬 跟随训练3-1．根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．八年级教室 B．北京东路 C．东偏北方向 D．东经，北纬 跟随训练3-2．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中(______，______)，(______，______)，______(，______)； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为______． 跟随训练3-3．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【题型4 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 解题思路： 直接套用平移口诀，左右平移只改横坐标，上下平移只改纵坐标，正向平移直接加减，计算时注意符号，避免加减错误。 【典例4】．在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 跟随训练4-3．中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【题型5 由平移方式确定点的坐标】 解题思路： 明确平移的方向和单位长度，分步计算：先算水平平移后的横坐标，再算竖直平移后的纵坐标，两步独立计算，互不干扰。 【典例5】．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则___________． 跟随训练5-3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 【题型6 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 解题思路： 对比平移前后横、纵坐标的变化：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移，变化量的绝对值即为平移距离。 【典例6】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 跟随训练6-3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在图中描出点； (3)在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为_____． 【题型7 已知图形的平移，求点的坐标】 解题思路： 图形平移是整体平移，先根据图形上一个已知点的平移，确定统一的平移方式，再将该平移方式应用到所求点上，求出对应坐标。 【典例7】．如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 跟随训练7-3．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【题型8 已知平移后的坐标求原坐标】 解题思路： 逆向平移，反向运用口诀：右移→左减，左移→右加，上移→下减，下移→上加，从平移后坐标反向推导原坐标，核心是反向加减。 【典例8】．在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点重合，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 跟随训练8-3．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【题型9 坐标系中平移】 解题思路： 综合平移操作：先建立坐标系，标出原点点，按平移方式移动，写出新坐标，可用于图形平移作图、面积计算、位置判断，平移不改变图形形状和大小，只改变位置。 【典例9】．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 跟随训练9-3．如图，在直角坐标系中 (1)描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来． ； (2)把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案． 【题型10 坐标系中的动点问题】 解题思路： 设定动点的运动时间、速度，根据运动方向和路程，用含字母的式子表示动点坐标，结合距离、象限、平移条件列方程求解，核心是用变量表示坐标。 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 跟随训练10-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 跟随训练10-2．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 跟随训练10-3．如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【题型11 中点坐标】 解题思路： 直接套用中点坐标公式，横坐标取平均，纵坐标取平均，代入计算即可，适合求中点、对称点、线段平分问题。 【典例11】．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-1．点和点的中点坐标为________． 跟随训练11-2．点和点的中点坐标为__________． 跟随训练11-3．（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 【题型12 点坐标规律探索】 解题思路： 第一步：写出前3-5个点的坐标；第二步：观察横、纵坐标的变化（循环、递增、递减、奇偶项不同）；第三步：找出周期或通项规律；第四步：利用规律求指定点坐标。 【典例12】．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 跟随训练12-3．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 05 过关•检测 1．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 2．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．五子棋是全国智力运动会竞技项目之一，它的其中一种比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算获胜．如图是两人玩的一盘五子棋，若白①的位置是，黑①的位置是，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________的位置就可以获胜（填对一个位置即可）． 8．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为______． 9．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，…那么点的坐标为______． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 13．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出、、的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 14．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 15．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $