6.2.3组合讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第6章 计数原理 （三）组 合 知识点1：组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点2：组合数、组合数公式 （1）组合数 从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. （2）组合数公式 ①（、，且） ②，其中，且. 另外，我们规定. · 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点3：组合数的性质 性质1：（、，且） 性质2：（、，且） 知识点4：纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． 例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数． 依据上述公式，其分法为（种）． ②分堆但不平均，其分法数为． 例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数． 依据上述公式，分到指定位置数为． 其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． 例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）． 法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法； 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）； 法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）． （5）指标问题用“隔板法”： 如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案． 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题． 知识点5：排列组合的综合应用 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则： （1） 先特殊后一般的原则 （2） 先取后排的原则 （3） 先分类后分步的原则 （4） 正难则反、等价转化原则． 题型一：组合概念及组合数公式 例1．若，则n的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 变式1-1.等于（       ） A． B．101 C． D．6 【答案】D. 变式1-2.计算＋＋＋＋的值为（       ） A． B． C． D． 【.【答案】C 题型二：分组分配问题 例2．甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种． 甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为. 故答案为：. 变式2-1.2025年世界室内田径锦标赛将于3月21日至23日举行，南京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 若个人分为，则安排方法数有种，若个人分为，则安排方法数有种， 故不同的方法数有种.故答案为： 变式2-2.为了做好流感疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低流感感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种流感疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种. 【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.所以不同的分配方法共有种.故答案为：40 题型三：隔板法 例3.某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，故答案为：10 变式3-1.方程的非负整数解共有___________组． 【详解】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法， 所以方程的非负整数解共有组.故答案为：78 变式3-2.6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____． 根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位．原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插入挡板，有种方法. 题型四：分堆问题 例4．有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本． 变式4．现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．（请用数字作答） （1） 将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法? （2） 将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法? （3） 现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率． 【详解】解：（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法； （2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有种分法； （3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，； .故各种颜色的球都必须取到的概率为． 题型五：间接法 例5．现有9名学生，其中女生4名，男生5名. （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1）26；（2）60；（3）2184 【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.   （3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法， 故共有种安排方法. 1、甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（       ） A． B． C． D． 【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有种；当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有种，则甲、乙总的选法有种．故选：. 2、为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（       ） A．60 B．120 C．150 D．240 【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C 3、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（       ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D. 4、（多选题）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（       ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知， 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种， 由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确； 对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种， 抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确. 故选：ACD 5、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30 【详解】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法. （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有. （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有. （4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. 6、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？ （3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算, 结果用具体数字表示．） 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第6章 计数原理 （三）组 合 知识点1：组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点2：组合数、组合数公式 （1）组合数 从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. （2）组合数公式 ①（、，且） ②，其中，且. 另外，我们规定. · 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点3：组合数的性质 性质1：（、，且） 性质2：（、，且） 知识点4：纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． 例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数． 依据上述公式，其分法为（种）． ②分堆但不平均，其分法数为． 例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数． 依据上述公式，分到指定位置数为． 其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． 例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）． 法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法； 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）； 法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）． （5）指标问题用“隔板法”： 如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案． 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题． 知识点5：排列组合的综合应用 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则： （1） 先特殊后一般的原则 （2） 先取后排的原则 （3） 先分类后分步的原则 （4） 正难则反、等价转化原则． 题型一：组合概念及组合数公式 例1．若，则n的值为（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式1.等于（       ） A． B．101 C． D．6 题型二：分组分配问题 例2．甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种． 变式2-1．2025年世界室内田径锦标赛将于3月21日至23日举行，南京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 变式2-2.为了做好流感疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低流感感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种流感疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种. 题型三：隔板法 例3.某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 变式3-1.方程的正整数解共有___________组． 变式3-2.6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____． 题型四：分堆问题 例4．有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本． 变式4.现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球． （1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答） （2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答） 题型五：间接法 例5．现有9名学生，其中女生4名，男生5名. （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 1.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（       ） A． B． C． D． 2.为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（       ） A．60 B．120 C．150 D．240 3.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（       ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 4.（多选题）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（       ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 5.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. （答题要求：先列式，后计算, 结果用具体数字表示．） 6.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？ （3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算, 结果用具体数字表示．） 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $