6.2.1排列讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 高二 选修第6章计数原理 (二)排列 知识梳理 知识点1：排列的定义 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列. 知识点2：排列数、排列数公式 (1)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列 数，用符号A表示。 (2)排列数公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),其中n,m∈N+,且m≤n. (3)全排列与阶乘 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。 全排列 阶乘：把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：n!,即A=n! 规定：0！=1. 排列数公式的阶乘式： 第1页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A=n(n-1m-2）…m-m+1）=m-(n-)-n-2)n-m+)-n-m）…21。nl (n-m)…21 (n-m)！ 所以A”=n则 (n-m)！ 知识点3：排列的常见类型与处理方法 ①相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素. ②相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们 的空隙及两端位置. ③元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。 ④位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。 题型分析 题型一：与排列数有关的运算 例1.若An=10A,则n=() A.1 B.8 C.9 D.10 An=10A,.2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),化简可得4n-2=5n-10,则n=8.故选：B 变式1-1.89×90×91×…×100可以表示为(). A.40 B.40 C.40 D.40 第2页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 89×90×91×…×100=A60,故选：C· 变式1-2.a∈N*,且a<27,则(27-a28-a)..(34-a)等于() A.Ai-a B.A C. D.A4- 从27-a到34-a共有34-a-(27-a)+1=8个数，.(27-a(28-a).(34-0)=A4-a 故选：D 题型二：位置分析法 例2.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有() A.24种 B.6种 C.4种 D.12种 解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可， 则不同的排法共有A=3×2×1=6,故选：B. 变式2.某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个 演讲的方法数为() A.13 B.14 C.15 D.18 由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有A种情况其中A组是第一个演讲的方法数为￡故A 组不是第一个演讲的方法数为A-A=24-6=18故选：D 题型三：相邻问题捆绑法 例3.春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节月进行排序，若A,B两个节月必须相邻，且都不 能排在3号位置，则不同的排序方式有种. 解：将A,B捆绑，先确定A,B的位置，有3A好种可能，再将剩余节目排序，有A种可能，所以不同的 排序方式有3AA4=144(种).故答案为：144 变式3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有种 第3页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有A?种排法，再将其看作一个元素，和其他两位男生一起 排列，有A种排法，所以共有AA=12种排法故答案为：12 题型四：不相邻问题插空法 例4.用1,2,3,4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为 (用数字作答). 【详解】先排3,4，形成3个空位，然后将1,2排入，所以符合题意的四位数的个数为AA=12 故答案为：12 变式4新年音乐会安排了2个唱歌、3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共 有 种.（用数字表示) 先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有￡种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有46种排法，故共 有AA=3600.故答案为：3600， 课后巩固 一一一 1、某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男 女都有，则不同的选派方案共有()种 A.9 B.36 C.54 D.108 【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的 选派方案有A种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有A种，所以3名教师中男女都有的不同 的选派方案共有A；-A;=54种故选：C 2、某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确 定外，3个音乐节目要求排在2,6,9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同 的演出顺序()种 A.144 B.192 C.216 D.324 第4页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【详解】①先排3个音乐节目有￡种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共 4=6种排法；③再排3个曲艺节目，共A=6种排法；.由分步乘法记数原理有6×6×6=216种排法.故 选：C 3、3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是 (结果用数字表示). 【详解】根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，有C种分组方法，将2人的一组看成一个 元素，考虑2人之间的顺序，有C种情况；②将剩余的3个学生全排列，有￡种排法，排好后，有4 个空位；③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有A种方法，则6人站成一排照相，3 个老师中有且只有两个老师相邻的站法有CAAA=432种 故答案为：432 4、电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益 广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种.（用排列数回答） 【详解】先把4个商业广告排好顺序，共有A4种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中， 根据分步乘法计数原理，共有AA?种方法.故答案为：AA 5、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有不同的排法 【详解】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的 4人，有A=840种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况， 则共有840×1=840种不同的排法；故答案为：840 6、6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有 种.（用数字作 答) 【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有A=2种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学 进行排列，有A=24种排法，所以，总共有2×24=48种排法故答案为：48 第5页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 7、已知一个两位数中的每个数字都从1,2,3,4中任意选取 (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (②)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (1)因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1,2,3,4中任意取2个数的排列， 故有A好=4×3=12个，所以可以得到12个不同的两位数 (②)因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步有4种方法，利用分步相乘原理有 4×4=16个，所以可以得到16个不同的两位数 8、(1)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解：7位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有A8=720种不同 的排法； (2)甲、乙只能站在两端的排法共有4，A=240。 种； (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有A号A =2400种 9、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排 体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？ 第6页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3.解析：解法一6节课总的排法是A,其中不符 合要求的可分为：体育排在第一节有A种排 法，如图中I:数学排在最后一节有A种排法， 如图中Ⅱ.但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在 最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有A种排法，因此符合条件的 排法应是A-2A十A=504(种). 解法二根据要求，课程表的安排可分为4种情况： (1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 A·A种： (2)数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法 A}·A种： (3)体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法 A·A种： (4)数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法A种. 这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： A·A+A!·A!+A!·A+A=504(种). 10、七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？ (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (3)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (4)甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 第7页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (4④)先从其余5名同学中选出1人放在 甲、乙之间，有5种选法，将这3名同学看 成一个整体与剩下的4名同学进行全排 列，共有A种排法，然后甲、乙可互换位 置，有A2种方法，即甲、乙两名同学之间 【解析】(1)分两步，第一步：将甲、乙两名 隔一人的排法共有5A·A号=1200 (种). 同学“捆绑”在一起看成1个元素，与其余 (5)方法一：将甲、乙两名同学“捆绑”在一 的5个元素（同学）一起进行全排列，有 起看成1个元素，此时一共有6个元素， A。种方法；第二步：将甲、乙两名同学“松 因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从 其余的5个元素中选取2个元素放在排 绑”进行排列，有A号种方法.根据分步计 头和排尾，有A2种方法；将剩下的4个元 数原理，甲、乙两名同学必须相邻的排法 素进行全排列，有A种方法：将甲、乙两 一共有A8·A2=1440(种). 名同学“松绑”进行排列，有A2种方法.所 (2)方法同(1)，甲、乙、丙三名同学都相邻 以这样的排法一共有A号·A·A2=960 (种). 的排法一共有A·A3=720(种). 方法二：将甲、乙两名同学“捆绑”在一起 (3)分两步完成，第一步：将其余四名同学 看成1个元素，此时一共有6个元素，若 排好，有A种方法，此时他们之间再加上 丙站在排头或排尾有2A种方法，所以 甲、乙两名同学相邻，且丙不站在排头和 两端共留下五个“空”，第二步：将甲、乙、 排尾的排法有(A一2A)·A2=960 丙三名同学分别插人这五个“空”中，有 (种). A种方法.根据分步计数原理，知甲、乙、 方法三：将甲、乙两名同学“捆绑”在一起 看成1个元素，此时一共有6个元素，共 丙三名同学都不相邻的排法一共有A· 应占6个位置，因为丙不能站在排头和排 Ag=1440(种). 尾，所以丙可以从其余的4个位置中选择 1个，共有A种方法；再将其余的5个元 素进行全排列，共有A种方法，将甲、乙 两名同学“松绑”进行排列，有A号种方法， 可得这样的排法一共有A·A:·A2= 960(种). 第8页共8页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二选修 第6章计数原理 (二)排列 知识梳理 知识点1：排列的定义 一般地，从n个不同的元素中取出m(≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列. 知识点2：排列数、排列数公式 (1)排列数 m(m≤n) 从n个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出m个元素的排列 数，用符号A表示 (2)排列数公式 A=nn-1)(n-2)(n-m+),其中n,m∈N,且msn. (3)全排列与阶乘 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列。 全排列 阶乘：把正整数1到”的连乘积，叫做”的阶乘表示：！，即A= 规定。 0!=1 第1页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 排列数公式的阶乘式： Ag=n(n-10n-2》…(0m-m+1）=m-0n-0:n-2…0n-m+1)-0-m）-…2.1 n! (n-m)…2.1 (n-m)！ n! Am=- 所以 (n-m)！ 知识点3：排列的常见类型与处理方法 ①相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元 素 ②相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它 们的空隙及两端位置. ③元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。 ④位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。 题型分析 题型一：与排列数有关的运算 例1.若4我=10戏 则”=() A.1 B.8 C.9 D.10 变式1-1.89×90×91×…×100可以表示为(). 第2页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ A 480 B. C.6 D.1 60 变式1-2.a∈N,且a<27,则(27-a)28-a)..(34-a)等于() A.4 B.:C.4&。D.4 题型二：位置分析法 例2.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有() A.24种 B.6种 C.4种 D.12种 变式2某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第 一个演讲的方法数为() A.13 B.14 C.15 D.18 题型三：相邻问题捆绑法 例3.春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节目进行排序，若A,B两个节目必须相邻，且都 不能排在3号位置，则不同的排序方式有」 种. 变式3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有种， 题型四：不相邻问题插空法 例4.用1,2,3,4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为 (用数字作答). 变式4.新年音乐会安排了2个唱歌、3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有 第3页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 种.（用数字表示） 课后巩固 g- 1某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女 都有，则不同的选派方案共有()种 A.9 B.36 C.54 D.108 2某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确 定外，3个音乐节目要求排在2,6,9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不 同的演出顺序()种 A.144 B.192 C.216 D.324 3.3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是 (结果用数字表示). 4.电视台在电视刷开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益 广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种.（用排列数回答） 5.7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有不同的排法。 6.6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有_种.（用数字作 答) 7.已知一个两位数中的每个数字都从1,2,3,4中任意选取 第4页共5页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ (1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ (2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 8.(1)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 9.某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一 节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？ 10.七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？ (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (3)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (4)甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 第5页共5页