6.3二项式定理讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第6章 计数原理 （四）二项式定理 知识点1：二项式定理 1.定义 一般地,对于任意正整数,都有： ()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2．二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 知识点2：二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 知识点3：二项式系数及其性质 1.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中， 当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。 2.展开式中的系数求法（的整数且） 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 知识点4：二项式定理的应用 1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）. 2.利用赋值法进行求有关系数和。 3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法： 4.证明有关的不等式问题： 5.进行近似计算： 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 例1.若的展开式有16项，则自然数的值为（    B   ） A．9 B．10 C．11 D．16 变式1-1.二项式的展开式中为常数项的是（  C     ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 变式1-2.的展开式中的系数是___-448___．（用数字作答） 变式1-3.若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝( C ) 　 A． 2 B． C． 1 D． 变式1-4.求的展开式． 【答案】 变式1-5.求的展开式中的二项式系数及的系数. 的二项式系数是126，的系数是-126 题型二：二项式之积 例2.的展开式的常数项为（    D   ） A．6 B．10 C．15 D．16 变式2-1.在的展开式中，的系数为___5_____． 变式2-2.在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为____-4____． 题型三：三项式及多项式展开问题 例3. (1+x+x2)8展开式中x5的系数为___504_____． 变式3.(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( C ) A.10 B.20 C.30 D.60 题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题 例4.已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)10；(2)； (1)∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项， 则，解得； (2)二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，∴展开式中含的项为． 题型五：利用赋值法进行求有关系数和 例5. （多选题）已知，下列命题中，正确的是（       ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为； B．展开式中所有奇次项系数的和为-； C．展开式中所有偶次项系数的和为； D．. 【答案】ABD【详解】A：由二项式知：，正确；当时，有，当有，B：由上，可得，正确；C：由上，可得，错误；D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.故选：ABD. 变式5. 在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和. (1)二项式系数的和为.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.(4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇数项系数和为；①－②得：，∴偶数项系数和为. 题型六：二项式定理的综合运用 例6. （多选题）设，且，若能被13整除，则的值可以为（       ） A．0 B．11 C．12 D．25 ∵， 又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除， ∴，，又，∴或25.故选：CD． 1、的展开式的各项系数和为（       ） A．256 B．257 C．254 D．255 【答案】A令得，即的展开式的各项系数和为256.故选：A. 2、的展开式中，常数项为（       ） A． B． C． D． 【答案】A的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中常数项为. 3、的展开式中x的系数是（       ） A． B．152 C．88 D． 【答案】C【详解】因为的展开式的通项为， 所以的展开式中x的系数是．故选：C 4、（多选题）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（       ） A．各项二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为﹣64 C．有理式项共有4项 D．第4项与第5项系数相等且最大 【答案】AC【详解】的二项展开式共有8项,故n=7; 则二项式系数和为 ，故A正确；的通项公式为， 故项数为奇数的各项系数和为 ,故B错误； 根据，当r取0，2，4，6时，为有理式项，故C正确； ，第四项与第五项的系数互为相反数，故D错误，故选：AC. 5、（多选题）对任意实数，有.则下列结论成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD【详解】对任意实数，有 ，令，可得，故A错误；所以，故B正确；令，可得，故C正确；令，可得，故D正确.故选：BCD. 6、展开式中的常数项是___________. 因为展开式的通项为 令，可得常数项是.故答案为：. 7、已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则__________. 【答案】3600二项式展开式的通项公式为．令，，故展开式的常数项为．由题意可得，等比数列的第5项为展开式的常数项，即，，故答案为：． 8、已知，求： （1）； （2）； （3）. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第6章 计数原理 （四）二项式定理 知识点1：二项式定理 1.定义 一般地,对于任意正整数,都有： ()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2．二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 知识点2：二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 知识点3：二项式系数及其性质 1.的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中， 当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。 2.展开式中的系数求法（的整数且） 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 知识点4：二项式定理的应用 1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）. 2.利用赋值法进行求有关系数和。 3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法： 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 例1.若的展开式有16项，则自然数的值为（       ） A．9 B．10 C．11 D．16 变式1-1.二项式的展开式中为常数项的是（        ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 变式1-2.的展开式中的系数是______．（用数字作答） 变式1-3.若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝( ) 　 A． 2 B． C．1 D． 变式1-4.求的展开式中的二项式系数及的系数. 题型二：二项式之积 例2.的展开式的常数项为（       ） A．6 B．10 C．15 D．16 变式2-1.在的展开式中，的系数为________． 变式2-2.在(1＋x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为________． 题型三：三项式及多项式展开问题 例3. (1+x+x2)8展开式中x5的系数为________． 变式3.(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题 例4.已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． 题型五：利用赋值法进行求有关系数和 例5. （多选题）已知，下列命题中，正确的是（       ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为； B．展开式中所有奇次项系数的和为-； C．展开式中所有偶次项系数的和为； D．. 变式5. 在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和. 题型六：二项式定理的综合运用 例6. （多选题）设，且，若能被13整除，则的值可以为（       ） A．0 B．11 C．12 D．25 1.的展开式的各项系数和为（       ） A．256 B．257 C．254 D．255 2.的展开式中，常数项为（       ） A． B． C． D． 3.的展开式中x的系数是（       ） A． B．152 C．88 D． 4.（多选题）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（       ） A．各项二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为﹣64 C．有理式项共有4项 D．第4项与第5项系数相等且最大 5.（多选题）对任意实数，有.则下列结论成立的是（       ） A． B． C． D． 6.展开式中的常数项是___________. 7.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则__________. 8.已知，求： （1）； （2）； （3）. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $