6.1计数原理分类加法与分步乘法讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 高二 选修 第6章 计数原理 （一）分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点1：分类加法计数原理(也称加法原理) 1．分类加法计数原理： 完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 2．加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点2：分步乘法计数原理(也称乘法原理) 1.分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2．乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点3：分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别 区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复、也不能遗漏 知识点4：分类计数原理和分步计数原理的应用 1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步。 ②先分类，再在每一类里再分步。 ③先分步，再在每一步里再分类，等等。 （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 题型一：分类加法计数原理 例1.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点). 【详解】解：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法. 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.故答案为：5 变式1.书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（       ）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（       ）种不同取法? A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，9 从书架上任取本书，有种不同取法.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法.故选：C 题型二：分步乘法计数原理 例2-1.有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法． 【详解】每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．故答案为：120． 例2-2.有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答） 由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法，故答案为：32 变式2-1.加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有______种. 每道工序为一步，共分3步，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：. 变式2-2.年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（       ） A． B． C． D． “回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，因此，位的回文数共有个选：C. 题型三：两个计数原理的综合应用 例3.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．共可得到30＋30＝60(组)．答案：60 变式3-1.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读. （1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法； （2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法； （3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法. 【详解】（1）5+4+3=12种.（2）5×4×3=60种.（3）20+15+12=47种.故答案为：12；60；47 变式3-2.如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为“凸数”（如120，343，275等），那么所有三位数中“凸数”的个数为______． 若，则“凸数”为120与121，共有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）．所以所有三位数中“凸数”的个数为．故答案为：240. 题型四：涂色问题 例4．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答） 按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有种，答案为：48． 变式4.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域，，，，涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种． 解：分四步进行分析：①区域涂色方案有5种；②区域涂色方案有4种；③区域涂色方案有3种；④对于区域，，若与颜色相同，则区域涂色方案有3种，若与颜色不同，则区域，涂色方案均有2种，所以区域，涂色方案共有（种）．故不同的涂色方案有（种）．故答案为：420 1.如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（       ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B. 2.已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（       ） A．32 B．23 C．43 D．24 教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．故选：B. 3.某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（       ） A．28种 B．30种 C．27种 D．29种 【详解】解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有（种）方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有（种）方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有（种）方案.综上可知，共有（种）方案，故选：A. 4．（多选题）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（       ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法 解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．故选：AB． 5．（多选题）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（       ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不同的选法，故C正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误．故选：BC． 6、一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___________. 因为用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，所以由乘法分步原理可知这10盏灯可以表示的数据个数为个，故答案为：1024 7．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有________种． 【详解】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种安排方法，则有2×2×2×2=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法.故答案为：14. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 高二 选修第6章计数原理 (一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 知识点1：分类加法计数原理（也称加法原理 1.分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法.在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，.…，在 第类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法 2.加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数. 知识点2：分步乘法计数原理（也称乘法原 1.分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤， 要完成这件事必须并且只需连续完成这个步骤后，这件事才算完成. 2.乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可： ②完成每一步有若干种方法： ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. 知识点3：分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别 第1页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 每类方法都能独立完成这件事.它是独立的、 任何一步都不能独立完成这件事，缺 区别一 一次的且每次得到的是最后结果，只需一种 少任何一步也不可，只有各步骤都完 方法就完成 成了才能完成这件事 各步之间是相互依存的，并且既不能 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 重复、也不能遗漏 知识点4：分类计数原理和分步计数原理的应用 1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： (1)首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ (2)然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步。 ②先分类，再在每一类里再分步。 ③先分步，再在每一步里再分类，等等。 (3)最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 题型分析 题型一：分类加法计数原理 例1.如图，从A到O有 种不同的走法（不重复过一点） 变式1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体 第2页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 育书，从书架上任取1本书，有()种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有() 种不同取法？ A.9,20 B.20,9 C.9,24 D.24,9 题型二：分步乘法计数原理 例2-1有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有 种不同的报名方法。 例2-2.有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 种.（用具体数字作答） 变式2-1.加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选 3人每人做一道工序，则选法有种. 变式2-2.2021年12月02日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“20211202，所遇皆为对，所做皆称 心”.形如“20211202”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则8位的回文数 共有() A.90 B.900 C.9000 D.90000 题型三：两个计数原理的综合应用 例3.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、 辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、已、未、西、亥”相配，共可配 成 组 变式3-1.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书， 第3页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有 种不同的带法； (2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有 种不同的带法： (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有 种不同的带法 变式3-2.如果一个三位正整数如“a,a,a,”满足a,<a2且a2>a,则称这个三位数为“凸数”（如120,343， 275等)，那么所有三位数中“凸数”的个数为· 题型四：涂色问题 例4.如图，用四种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同 一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答） A B C D 变式4.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5 个小区域A,B,C,D,E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方 案共有 种. 课后巩固 1.如图，用4种不同的颜色对A,B,C,D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不 第4页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 同的涂色方法有() A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 2.已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为() A.32 B.23 C.43 D.24 3某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则 不同的选派方案有(） A.28种 B.30种 C.27种 D.29种 4.(多选题)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是() A.从中任选1个球，有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D.若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法 5.（多选题)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是() A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 6.一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101 第5页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 7.假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站， 每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有种. 第6页共6页