6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学选择性必修第三册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P6s 1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用 3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等 第一种方法，另外有4个人只会用第二种方 的数a,b组成复数a十i,其中虚数有 () 法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则 A.30个 B.42个 不同的选法共有 C.36个 D.35个 A.5种 B.4种 4.已知集合A=(1,2,3,4,5},B={5,8,9},现从 C.9种 D.45种 这两个集合中各取出一个元素组成一个新的 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的 长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则 双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数 不同的配法种数为 ( ) 为 A.7 B.12 C.64 D.81 提示完成Ps课时作业（一） 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 关键能力素养提升 答案见P 探究一 组数问题 规律总结 【例题1】已知有0,1,2,3,4五个数字 (1)用这五个数字可以排成多少个三位数？ (1)对于组数问题，一般按特殊位置（一般是 (2)用这五个数字可以排出多少个三位数字 末位和首位)优先的方法分类或分步完成： 的电话号码？ 如果正面分类较多，可采用间接法从反面 (3)用这五个数字可以排成多少个能被2整 求解 除的无重复数字的三位数？ (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件， 有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，要 注意特殊元素、特殊位置优先的原则。 [注意]数字“0”不能排在两位数字或两位数 字以上的数的最高位， 【变式1】(1)用1,3,5,7中的任意一个数作分 子，2,4,8,9中的任意一个数作分母，则可构 成真分数的个数为 () A.8 B.9 C.10 D.11 (2)从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数 字的整数，则分别满足下列条件的数有多 少个？ 第六章计数原理 ①三位数； ②三位数的偶数. 规律总结 选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举 法、树状图法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种 方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法 计数原理.一般地，若抽取是有顺序的，就按 分步进行：若按对象特征抽取的，则按分类 进行 ②间接法：先去掉限制条件计算所有的抽取 方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方 法数即可. 【变式2】在7名学生中，有3名会下象棋但不会 探究二选（抽）取与分配问题 下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2 【例题2】某外语组有9人，每人至少会英语和日 名既会下象棋也会下围棋，现从7人中选2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少 语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从 种不同的选法？ 中选出会英语和日语的各一人分别参加相应 语种的活动，有多少种不同的选法？ 数学选择性必修第三册课堂学案 探究三种植与涂色问题 有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的 【例题3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田” 涂色方案有 字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻 两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用， 共有多少种不同的涂色方法？ A.1050种 B.1260种 C.1302种 D.1512种 微专题 规律总结 明易错·误区警示 涂色问题常用的解决方案 一、分类计数时考虑不全 【例题1】有红、黄、蓝三种颜色的旗各3面，每次 (1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色， 升起1面、2面、3面旗在旗杆上纵向排列时， 应用分步乘法计数原理进行计算 分别表示不同的信号，且颜色顺序不同表示 (2)先根据涂色时所用颜色数的多少进行分 的信号也不相同，则可以组成多少种不同的 类处理，再在每一类的涂色方案中应用分步 信号？ 乘法计数原理进行计算，最后根据分类加法 [解析]每次升起1面旗可组成3种不同的信号： 计数原理对每一类的涂色方法种数求和，即 每次升起2面旗可组成3X3=9(种)不同的 得到最终涂色方法种数 信号： 【变式3】(1)在一块并排10垄的田地中，选择2 每次升起3面旗可组成3×3×3=27（种）不 垄分别种植A,B两种作物，每种作物种植一 同的信号 根据分类加法计数原理，共可组成3十9十27= 垄.为有利于作物生长，要求A,B两种作物的 39(种)不同的信号. 间隔不小于6垄，则不同的选垄方法种数为 [易错提醒]使用分类加法计数原理时，分类 A.20 B.24 C.12 D.11 的划分标准可以有多个，但不论是以哪一个 (2)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是 为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的 中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的 原则. 雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域 二、两个基本计数原理分辨不清 分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面 【例题2】(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的 的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色， 投法有 相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两 A.4种 B.24种 个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若 C.64种 D.81种 ·10 第六章计数原理 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐 种，坐轮船的走法有3种，根据分类加法计数原 轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮 理，此人的走法共有4十3=7（种）.故选C项. 船有3趟，则此人的走法共有 ( [答案](1)C(2)C A.3种 B.4种 [易错提醒]解决计数问题的基本策略是合理 C.7种 D.8种 地分类和分步，然后应用分类加法计数原理 [解析](1)第1封信投到信箱中有4种投法： 和分步乘法计数原理来计算.解决本题易因 第2封信投到信箱中有4种投法；第3封信 标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，误 投到信箱中有4种投法.只要把这3封信投 认为是每个信箱有三种选择，所以可能的投 完，就做完了这件事情，根据分步乘法计数原 法有3种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认 为到达乙地需先坐火车后坐轮船，使用分步 理，共有4一64（种）投法.故选C项. 乘法计数原理计算。 (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有4 随堂检测学以致用 答案见P刷 1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中 本班监考，则安排监考的方法种数是() 奇数有 A.11 B.10 C.9 D.8 A.8个 B.10个C.18个D.24个 4.用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种 2.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课 颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相 外活动小组，每名同学限报其中的一个小组， 邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方 且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 法有 种。 ( A.27种B.36种 C.54种 D.81种 3.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个 班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在 提示完成Pm课时作业（二） 6.2排列与组合 6.2.1排列 6.2.2排列数 课标要求 学法指导 1.注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念 1.通过实例， 2.排列的基础是分步乘法计数原理，排列数公式的推导过程是分步乘法计数原 理解排列 理的一个重要应用，要能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式 的概念 的简单证明， 2.能利用计 3.对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往可以从多种途径考 数原理推 虑，因此要重视对排列问题解题策略的累积 导排列数 4.通过学习排列的概念、排列数公式的应用与计算，发展数学抽象、逻辑推理和 公式 数学运算的核心素养， ·11(2)分两步:第一步,取多面体,分两类,可以从5个不同的 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法; 校柱或3个不同的校锥中取一个,根据分类加法计数原理 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法 有5十3一8(种)不同的取法;第二步,取旋转体,分两类,可 根据分步乘法计数原理,共有4×3×2一24(个)满足要求的 以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个,根据分类 三位数 加法计数原理有4十2一6(种)不同的取法,所以根据分步 ②分三个步骤完成: 乘法计数原理知不同的取法种数是8X6一48.故选C项 第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法; 答案(1)C(2)C 第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法; 随堂检测·学以致用 第3步,排百位,从余下的2个数字中选1个,有2种方法 1.C 会用第一种方法的有5个人,选1个人完成这项工 故共有2×3×2一12(个)三位数的偶数. [例题2]析由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手” 作有5种选法;会用第二种方法的有4个人,选1个人完成 有1人,只会英语的有6人,只会日语的有2人,则可分 这项工作有4种选法,两者相加一共有9种选法,故选C项 三类: 2.B 要完成配套,分两步;第1步,选上衣,从4件上衣中 第一类,“多面手”去参加英语活动时,选出只会日语的1人 任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从3条长裤 即可,有2种选法; 中任选一条,有3种不同的选法,所以共有4×3一12(种)不 第二类,“多面手”去参加日语活动时,选出只会英语的1人 同的配法,故选B项 即可,有6种选法; 3.C 要完成这件事可分两步,第一步确定b(b0),有6 种方法,第二步确定a,有6种方法,根据分步乘法计数原理, 第三类,“多面手”既不参加英语活动也不参加日语活动,则 共有6×6一36(个)虚数,故选C项 需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动,有2× 4.解析分为两类:第一类含5,若5来自集合A,则可以组成2 6-12(种)选法 故共有2十6十12一20(种)不同的选法 个新的集合,若5来自集合B,则可以组成4个新的集合;第 [变式2]题方法一 分四类:第1类,从3名只会下象棋的 二类不含5,可以组成4×2一8(个)新的集合.所以可以组成 学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学 这样的新集合的个数为2十4十8-14. 14 生中选1名参加围棋比赛,有3×2一6(种)选法 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛 第2课时 分类加法计数原理与 同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加围 分步乘法计数原理的应用 棋比赛,有3×2一6(种)选法; 关键能力·素养提升 第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛 [例题1门(1)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字 同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加象 首先考虑首位的排法,除0外共有4种排法,第二、三位可 棋比赛,有2×2一4(种)选法; 以排0,因此共有4×5×5一100(种)排法,所以可以排成 第4类,从2名既会下象棋也会下围棋的学生中各选1名 100个三位数 分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2×1一2(种)选法 (2)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复 故共有6十6十4十2-18(种)不同的选法 每个位置都有5种排法,共有5×5×5一5一125(种)排法, 方法二 分两类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1 所以可以排出125个三位数字的电话号码 名参加象棋比赛,这时7人中还有4人会下围棋,从中选1 (3)被2整除的数是偶数,末位数字可取0,2,4,因此可以分 名参加围棋比赛,有3×4一12(种)选法; 两类:一类是末位数字是0,则有4×3一12(种)排法;一类 第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参 是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首 加象棋比赛,这时7人中还有3人会下围棋,从中选1名参 位,因为0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法 加围棋比赛,有2×3一6(种)选法 因此有2×3×3-18(种)排法,因而有12十18-30(种)排 故共有12十6一18(种)不同的选法. 法,即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数。 [例题3]题如图所示,将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第 1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不 同的涂法. 真分数;③当分子为5时,有,,共2个真分数;④当分 (1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3一12(种)不 同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,根据分步乘法 理,可构成4十3十2十2-11(个)真分数.故选D项. 计数原理,有5×12×3-180(种)不同的涂法 D (2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种不同的 (2)①三位数有三个数位,分别是百位,十位和个位 涂法,由于相邻两格不同色,因此第4个小方格也有4种不 故可分三个步骤完成: 同的涂法,根据分步乘法计数原理,有5×4×4一80(种)不 第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法; 同的涂法. ·163· 根据分类加法计数原理,共有180十80一260(种)不同的 要点二 涂法. 所有不同排列 A n(n-1)(n-2)·...·(n-m+1) [变式3]解析(1)A种植在左边第1垄时,B种植在第8,9,10 n (n-n)!n!1 袭中的任一袭,有3种不同的种植方法;A种植在左边第2 [思考]题(1)包括两个方面:①从n个不同元素中取出n个 垄时,B种植在第9,10垄中的任一袭,有2种不同的种桂 元素;②按照一定的顺序排列. 方法;A种植在左边第3垄时,B种植在第10垄,只有1科 (2)“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m n)个元 种植方法,B在左边种植的情形与上述情形相同,故共有 2X(3十2十1)一12(种)不同的选垄方法.故选C项. 素,按照一定的顺序排成一列,不是数,是一种排法;“排列 数”是指从n个不同元素中取出n(m n)个元素的所有排 (2)由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定 列的个数,是一个数,所以符号A”只表示排列数,而不表 整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6 示具体的排列. 种选择,当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5科 [辨析]解(1)错误,排列数是从若干个元素中取出若干个元 选择,剩下的区域4有5种选择;当区域3与区域1涂的商 素的排列的个数,所以排列数一定是整数。 色相同时,剩下的区域4有6种选择,故不同的涂色方案有 (2)错误,在排列问题中,总体中的元素不能重复. 7X6X(5×5+6)-1302(种).故选C项 (3)正确,根据排列的定义可以判断123与321是不同的 答案()C(2)C 排烈. 随堂检测·学以致用 (4)错误,在A中m表示连乘因数的个数,所以n一10. 1.A 个位数字是1或3,所以有2种选择,首位不能为0, m-5. 则有2种选择,百位数字有2种选择,十位数字只有1种选 智(1)×(2)×(3)(4)× 择,根据分步乘法计数原理,用0,1,2,3组成没有重复数字 关键能力·素养提升 的四位数为奇数的有2×2×2×1一8(个).故选A项 [例题1]解(1)不是,加法运算满足交换律,所以选出的2个 2.C 解因为除小张外,每名同学都可以报A,B,C三个课 元素做加法时,与两个元素的位置无关,所以这不是排列 外活动小组中的任意一个,都有3种选择,小张不能报A小 问题. 组,只有2种选择,所以不同的报名方法有3×3×3×2-54 (2)是.由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横 (种).故选C项. 坐标,哪一个数是纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题, 3.C 解设4个班级分别是A,B,C,D,对应的老师分别是 (3)不是,因为从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈 a,b,c,d.设a监考的是B,则剩下的3位老师分别监考剩下 会,只要求选出即可,不需要考虑两个人的顺序,所以这不 的3个班级,共有3种不同的方法;同理,当a监考C或D 是排列问题. 时,剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级也各有3种不 (4)是,因为从一个门进,从另一个门出是有顺序的,所以这 同的方法,根据分类加法计数原理,共有3十3十3一9(种)不 是排列问题. 同的安排方法,故选C项. (5)是,任取两球分别放入甲、乙两个盒子里,有顺序之分 4.解析先涂区域1,有4种选择,再涂区域2,有3种选择,接着 所以这是排列问题 涂区域3,有2种选择,最后剩下的两个区域有2种选择,故 [变式1]解(1)对于A项,从甲、乙、丙三名同学中选出两名 不同的涂色方法有4×3×2×2-48(种). 分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题;对 答48 于B项,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只 6.2 排列与组合 要求选出即可,不是排列问题;对于C项,从a,b,c,d中选 出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题;对于D项,从 6.2.1 排 列 1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排 序,是排列问题.故选AD项 6.2.2 排列数 答AD 第1课时 排列与排列数 (2)从4个不同的数字中,每次取出两个相加、相乘的时候, 两个数字交换顺序不影响运算结果,即与元素的顺序无关, 必备知识·基础落实 所以①③不是排列问题; [问题1]提示不相同. 相减,相除,一个为对数的底数、一个为对数的真数,一个为 [问题2]醍际2种,男一师一女,女一师一男 被开方数、一个为根指数,进行上述四种操作,两个数字一 [问题3]题6种,设三位同学分别是A,B,C,则排法是 旦交换顺序,产生的结果就会不同,即与顺序有关,所以② ABC.ACB.BAC.BCA.CAB.CBA ④是排列问题 要点一 [例题2期(1)因为A-7X6×A,A-6×A,所以原式= 1.一定的顺序 36A-36.故选D项. 2.元素 排列顺序 A [思考]提(1)是,元素在排列中的位置不同排列也就不同, (2)由排列数公式可知,A=(m+20)(m+19)....(m十 (2)一是“取出不同的元素”,二是“将元素按一定的顺序 1)m.故选D项. 排列”。 智(1D(2)D ·164·