学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷02【浙江专用，范围：人教A版必修第一册～选修第三册第八章】

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选修第三册第八章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（ ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 6．某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．144 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10．已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 11．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（    ） A． B．， C．当，，时，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 13．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 18．（17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 19．（17分）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A D C B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 BCD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1281422 13. 8V5 3 12. 14. Γ3 3 17 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)an=n 2Tn=2-n+2 2n 【详解】(1)因为数列{an}的前n项和Sn=。n2+。n, 2 所以n=1时，a,=S1=1, (1分 当n≥2时，an=Sn-Sn1 (-n. (3分) 又a,=1也适合上式， (4分) 所以数列{an}的通项公式为an=n: (5分) 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 1 1 得7，=1×2+2 2++n 2， (6分) 1.1 1 2*nx (8分) 111111 作差得： T 23+…+ n. 2*1 (9分) 2 10 1 2 2月 之、 -n.- 2* (11分) 1 2=1-(n+2 得：T,=2-(n+2引 (13分) 16.(1)证明见解析 (2)1； 4 3 【详解】(1)连接AC,由正方体可知AA/CC1,AA=CC, (1分) .四边形AACC为平行四边形，.AC∥A,C, (2分) .AC丈平面CAE,ACC平面CAE,∴.AC/1平面CAE, (3分) .'ACC平面ABCD,平面ABCD∩平面C,AE=EF, (4分) .∴.AC/IEF. (5分》 (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz, ZA D B -F B 设AE的长为a,则A2,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,2),E(2,a,0), 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB=(0,2,0),A,C1=(-2,2,0),AE=(0,a,-2), (7分) 设平面CAE的一个法向量为=(x,y,z), i:AC=-2x+2y=0 则 故可得方 n.AE=ay-2z=0 112 (9分) 设直线AB,与平面CAE所成角为0， AB.n 则sin6=cos(4B, 2 2 46园 3 (11分) 22+ 4 解得a=1, (12分) .AE=（0,1,0), 故AE的长度为1： (13分) 4B 2 “点B到平面C4E的距离d= 。13 (16分) 4 17.(1) +y2=1: R岭 2 a+c=1+√2 【详解】(1)由题意得 c2 ，解得 (2分) c=1 La 2 .a2=2,b2=a2-c2=1, :椭圆C的方程为。+y=1 (4分) 2 3/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)当直线AB斜率不为零时，设直线AB的方程为：x=my+t,(5分)A(x,y),B(x2,y2）, x=my+t 联立x +y2=1'消元得m+2y2+2m+2-2=0, 2 t2-2 由韦达定理得：+y2= -2mt m2+25= (6分) m2+2 (7分) x22 2y y2 =-(my+t(my2 +t), 2y2=-m2yy2+mt(y+2)+t2], 代入韦达定理化简得，m2=2t2-2, (9分) 以-y2=√(y+2)2-4yy2 -2mt 42-2 22(m2+2-2）222 Vm2+2 m2+2 m2+2 2r2 a--号-号 (11分) 2 当直线AB斜率为零时，设其方程为y=n-1<n<1, y=n 联立x2 +y2=1'解得x=±2-2n, (12分) 2 设4在左侧，则4-2-2m,n,82-2,n 1 n n 1 2则-2-2m2-2m2 解符n=±.此时HB=22-2n=2 (13分) 2 -9- 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以△OAB的面积是V2 (15分) 18.()f(x的极小值为0，无极大值 2-o,e] 【详解】(1)f(x)=e-x-1,求导得f'(x)=e-1,f'(0)=0, (1分) 因为x>0时，∫'(x)>0,所以f(x)在(0，+0）上单调递增， 因为x<0时，∫'(x)<0,所以f(x)在(-0,0)上单调递减， 又f(0)=0,故f(x在x=0处取极小值0，无极大值， (4分) (2)h(x)=f(x)-g(x)=e*-x-1-alnx+x=e*-alnx-1, 求导得h(y=c-9=心-a,由A(在1,2到单调递增， (5分) 得'(x)≥0在[1,2]上恒成立，即xe≥a在1,2]上恒成立，因此a≤(e）n’x∈1,2， (7分) 设H(x=xe，x∈[1,2]，H'(x)=e*+xe=(x+)e>0,则H(x在[1,2]上单调递增， 于是H(x)mn=H(1=e,即a≤e,所以a的取值范围为(-o,c (10分) (3) 若对任意的 [小e在x[] 使得f(x)≤gx2), 则当xe.f≤g (12分) 当x,f=e-10. (13分) 年f到在上单调建%.川n=f刊=e-2 (14分) 5/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 函数g(x)=alnx-x,a<0,x∈ 求导得g(x)=0-1=0-x (15分) 由a<0,得g1<0,画版8到到在[ 上单调递减， 则gxm=g月-a因te-2≤-a e 解得a≤2-e-二， (16分) e 所以a的取值范围为 -o0,2-e- (17分) e 19.(1)①0.5；②答案见解析 (2)第1题 【详解】(1)设甲同学答对第i题为事件A(i=1,2,3), P(4)=P(44)+P(44=P(A)P(414)+P(4P(414) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5, (4分) ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况AA2A3, A1A2A3,A1A,A3,AA2A3,此时X=0, ∴.P(X=0=0.5×0.4×0.7+0.5×0.6×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.3=0.5. (6分) 若甲同学最后一题答对，则有4种情况A,A2AX=16), A44(X=4,A44(X=4.AA,A(X=1, ∴.PX=1=0.5×0.4×0.7=0.14, (8分) P(X=4=0.5×0.6×0.5+0.5×0.6×0.5=0.3, (9分) P(X=16)=0.5×0.4×0.3=0.06. (10分) 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上可知：X=0,1,4,16,分布列如下： (11分) X 0 1 4 16 P 0.5 0.14 0.3 0.06 (2)若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为P,则 m=44+叫4属4=e》(gPp0)心+洽p 25 若甲第二题进 行场外求助，获奖的概率为P2,则P2=P(AA2)=p·1=p, 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为P3, p3=P(A A2)+P(A4zA)=P(AA2)+P(A Az)=p, (14分) 13+4 (15分) 20 00 13 该二次函数开口向下，对称轴为卫= =0.65 20 因为p∈(0.4,0.7)，函数f(p)的最小值在端点p=0.4处取到， 即f（p)>f(0.4)=0.16+0.52-0.32=0.04>0,即p,>pP2 (16分) ·P1>P2=p3,故选择第1题求助获奖概率最大. (17分) 717 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 9 6 D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选修第三册第八章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（ ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 6．某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．144 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10．已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 11．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（    ） A． B．， C．当，，时，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 13．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 18．（17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 19．（17分）人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 试卷第6页，共6页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~选修第三册第八章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合， 集合， 则，有2个元素， 所以的非空子集个数为. 故选：C. 2．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 3．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线方程标准化，由，得（）. ，所以，即，解得. 4．已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因函数的最小正周期为，则 即得， 由，可得：， 即函数的对称中心为(*)， 当时，，得对称中心为，故正确； 经检验其它选项均不符合(*)式. 故选： 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 【答案】C 【详解】解法1：设等比数列的公比为. 若，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 6．某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．144 【答案】B 【详解】把捆绑，相当于共有4个指令，内部排列有种排法， 不排在最后一个位置，先排有种排法，再排另外3个指令， 由分步乘法计数原理可得总的排列数为. 故选：B. 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以， 化简整理得曲线C的方程为， 若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点， 将代入曲线中得，， 所以， 又点A到直线l的距离，故的面积， 所以， （1）当时，，则； （2）当时，，则； （3）当时，（当且仅当，即取等号），则； 若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积， 综上得：的面积的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化，属于较难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23的第35百分位数为22 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 【答案】BCD 【详解】对于A，数据按照从小到大的顺序排列为， 因为，所以数据第35百分位数是从小到大的第4个数，故A错误； 对于B，数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，则， 去除一个异常点后，其中，则，得到新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以对称轴为，则函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，， 若每一个数据均变为原来的3倍，则，则变为原来的3倍，故D正确. 故选：BCD. 10．已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 11．对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（    ） A． B．， C．当，，时，则 D． 【答案】ACD 【详解】中，令，，， ， ， 因为与不共线，则，解得， 所以，A正确； 对于B，，， 则， 因此，解得，，B错误； 对于C，依题意，，， ， ， ， ， ， ，C正确； 对于D，，， 于是，解得，则， ， 同理， ，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______． 【答案】/ 【详解】首先得到弦的两个端点的坐标分别为，， ，，， 该两点处的抛物线的切线方程分别为，，联立两条切线求得交点坐标为， 从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为， 故弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为． 故答案为： 13．将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为，连接，得到四面体，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为______. 【答案】 【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知的中点为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面，， 所以平面， 二面角的大小为，， ， 故所求体积之比为. 故答案为：. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________. 【答案】 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动3次”， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论. 记向左，向右，向上，向下， （1）若第1步到为事件，则移动3次满足要求的是或或或或，或或或或， 所以； （2）若3步到为事件，则移动3次满足要求的是， 所以. 因为，且互斥，所以. 满足的情况有：，，，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； （2）由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 16．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1； 向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 17．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意得， 解得， ∴，， ∴椭圆的方程为. （2）当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，， 联立，消元得， 由韦达定理得：， 已知，即， 则 ， ， 代入韦达定理化简得，， 又 ， 则， 当直线斜率为零时，设其方程为， 联立，解得， 设在左侧，则， 由，则， 解得，此时， 则， 所以的面积是 . 18．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 19．人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． (1)若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； (2)为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】(1)①0.5；②答案见解析 (2)第1题 【详解】（1）设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为，则若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 答案第20页，共21页 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $