数学二模模拟卷（甘肃兰州专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[AJ[B1[CJ[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16(5分)计算：Z7-1-20os45到+(-)2. 17.(5分)解分式方程：号=1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1-3(x-1)<8-x 18.(5分)解不等式组 2+1≥x 2 19.(7分) CH 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 21.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) N -A 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) H O G D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) 汗 B 图1 又 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) y A B P 2 --P B O 01 A x ① ② ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 7．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（   ） A． B． C． D． 8．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 9．在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 10．小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 11．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ______． 13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 14．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 15．如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）解不等式组 19．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 20．（7分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：，， 21．（7分）随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元） 7 25 0.5 0.6 设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________； (2)求出与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 22．（7分）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 24．（7分）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 25．（9分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 26．（9分）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”． (1)如图②，已知点在边长为3的正方形内，则_________． 【深入探索】 (2)如图③，在等边中，点的坐标是，点，在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 (3)已知，，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，则的取值范围是________． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C A B C B C C D B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（5分）【详解】解：原式． ........................5分 17.（5分）【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得，........................3分 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解．........................5分 18.（5分）【详解】解：， 解不等式①，去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，解得；........................2分 解不等式②，去分母，得，即， 解得；........................4分 所以，原不等式组的解集为．........................5分 19.（7分）【详解】（1）解：∵一次函数， 当，则， ∴，........................1分 ∵轴，的面积是面积的3倍． ∴， ∴，， 把代入，得： ∴，， 解得：，........................3分 一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵反比例函数的解析式为：． ........................5分 当时，， ∴在反比例函数的图象上． 设平移后的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移的距离为．........................7分 20.（7分）【详解】解：过点作于点， 在中， ， （米），........................1分 ∵， （米），........................2分 在中， ∵ （米），........................5分 （米），........................7分 答：湖泊两端的距离约为173米． 21.（7分）【详解】（1）解：由函数图象可知，，；........................2分 （2）解：由表格可得，当时，；当时，； ∴与之间的函数关系式为；........................4分 （3）解：如果每月上网时间为60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 依题意，当时，（元）， （元），........................6分 ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算．........................7分 22.（7分）【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，........................1分 ∴， ∴．........................2分 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，........................3分 ∴， ∴故答案为：．........................5分 （2）如图，点、即为所求． ........................7分 23.（7分）【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数．........................1分 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数．........................2分 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即．........................3分 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）．........................5分 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： ........................6分 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．........................7分 24.（7分）【详解】（1）证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即，........................1分 ∵都在上， ∴为的直径．........................2分 （2）解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴，........................3分 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，........................5分 ∴，即， ∴．........................7分 25.（9分）【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ；........................2分 故答案为：；                    解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，     ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线，            ........................3分        ， 由可知， 在和中，， （），........................4分 ，                                          ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：；               ........................5分                       当时，线段有最大值，               如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ，       ........................6分       四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ，........................7分 ，                                 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为，.......................8分 ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． ........................9分 26.（9分）【详解】（1）解：与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， ∴根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1；........................1分 （2）当在上方时，如图： ， ， 点的坐标是， 点的坐标是；........................2分 当在线段上时，过作于，如图： ， ， 是等边三角形，， ， ，， 点的坐标是， ， ∴；........................3分 当在下方时，如图： ， ， ； 综上所述，的坐标为或或；........................6分 （3）如图： 当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得， 解得，........................7分 把代入得， 解得，........................8分 线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时且． 故答案为：且．........................9分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 11[AJ[B][CIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12. 13 4. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(5分)计算：-27-11-2c0s451+(-)2. 17.(5分)解分式方程：号-总=1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (1-3(x-1)<8-x 18.(5分)解不等式组 号+1≥x 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 360 -- A← 21.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) BI 09 -A 23.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) G B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) 区区的 图1 友 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) y y A B ---P B O 01 A x ① ② ③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 7．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（   ） A． B． C． D． 8．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 9．在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 10．小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 11．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ______． 13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 14．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 15．如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）解不等式组 19．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 20．（7分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：，， 21．（7分）随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元） 7 25 0.5 0.6 设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________； (2)求出与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 22．（7分）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 23．（7分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 24．（7分）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 25．（9分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 26．（9分）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”． (1)如图②，已知点在边长为3的正方形内，则_________． 【深入探索】 (2)如图③，在等边中，点的坐标是，点，在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 (3)已知，，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，则的取值范围是________． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方、二次根式的化简计算，逐项判断即可． 【详解】对选项A：，，故A不是负数； 对选项B：，故B不是负数； 对选项C：∵2015是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴，故C是负数； 对选项D：，故D不是负数． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质与二次根式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解∶A．，故A错误； B．，当时，结果为，不等于，故B错误； C．，原计算正确，故C正确； D．，故D错误． 3．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平角的定义求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】两个单项式的和仍为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义求出的值，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴点为，在第二象限． 5．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种， ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 6．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用含角的直角三角形的性质求出、的长度，再根据旋转的性质得到的长度和的度数，进而得出的度数，最后在中用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴． ∴在中，． 7．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中“每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗”是干扰信息，根据两次称量的总重量找等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤， 第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤， ∴可得方程 ， ∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤， ∴可得方程 ， ∴列方程组为， ∴选C． 8．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 9．在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（    ） A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大 B．当物距为时，像距为 C．物距从增大到，像距减小 D．当物、像间距大于时，物距大于 【答案】D 【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可． 【详解】解：A项：由图象可知，随着物距u的增大，纵坐标L先减小后增大，故A说法正确； B项：由图象可知，当时，， ∵， ∴，故B说法正确； C项：当时，，则， 当时，， ∴物距从增大到，像距减小，故C说法正确； D项：由图象可知，当时，对应的物距u的范围是或，故D说法错误， ∴说法错误的是D． 10．小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 11．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果． 【详解】解：． 13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：方程整理为一般式得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 【答案】 【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆， 则正八边形的各顶点都在圆O上， 连接、、， ∵正八边形的中心角为， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点M作于点H．先根据矩形的性质和勾股定理求出，，再证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】如图，过点M作于点H． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分矩形的面积， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 【答案】 【分析】先化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 17．（5分）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】方程两边都乘以，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．（5分）解不等式组 【答案】 【分析】首先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解． 【详解】解：， 解不等式①，去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，解得； 解不等式②，去分母，得，即， 解得； 所以，原不等式组的解集为． 19．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． (2)平移的距离为． 【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可． （2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数， 当，则， ∴， ∵轴，的面积是面积的3倍． ∴， ∴，， 把代入，得： ∴，， 解得：， 一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵反比例函数的解析式为：． 当时，， ∴在反比例函数的图象上． 设平移后的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移的距离为． 20．（7分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【答案】湖泊两端的距离约为173米 【分析】过点作于点，根据题意可得，后得到，继而得到，最后得到本题答案． 【详解】解：过点作于点， 在中， ， （米）， ∵， （米）， 在中， ∵ （米）， （米）， 答：湖泊两端的距离约为173米． 21．（7分）随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元） 7 25 0.5 0.6 设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________； (2)求出与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)10，50 (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息分情况列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：由表格可得，当时，；当时，； ∴与之间的函数关系式为； （3）解：如果每月上网时间为60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 依题意，当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算． 22．（7分）【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 23．（7分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 24．（7分）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论； （2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵都在上， ∴为的直径． （2）解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 25．（9分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；     将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：；                    解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，     ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线，                    ， 由可知， 在和中，， （）， ，                                          ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：；                                      当时，线段有最大值，               如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ，              四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ，                                 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 26．（9分）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”． (1)如图②，已知点在边长为3的正方形内，则_________． 【深入探索】 (2)如图③，在等边中，点的坐标是，点，在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 (3)已知，，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，则的取值范围是________． 【答案】(1)1 (2)的坐标为或或 (3)且 【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：； （2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作于，可得，；当在下方时，； （3）求出直线过定点，根据线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，可得线与平行四边形无公共点，分别求出当、时，点、和、的坐标，结合图形，把、的坐标代入解出的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， ∴根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1； （2）当在上方时，如图： ， ， 点的坐标是， 点的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图： ， ， 是等边三角形，， ， ，， 点的坐标是， ， ∴； 当在下方时，如图： ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图： 当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了“关联距离”的定义、等边三角形的性质和待定系数法求一次函数的解析式，理解“关联距离”的定义并结合图形分析是解题的关键． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $