第7章 一元一次不等式与不等式组全章13种题型（复习讲义）数学新教材沪科版七年级下册

第7章 一元一次不等式与不等式组（复习讲义） 1.概念与性质：理解并掌握不等式、一元一次不等式（组）的定义、表示方法及基本性质，能准确辨析不等式与方程、等式的区别，熟练运用不等式性质进行变形。 2.解法与表示：熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，能规范地在数轴上表示解集，准确确定不等式组的公共解集。 3.实际应用：能从实际问题中抽象出一元一次不等式（组）模型，结合数轴分析解决方案选择、最值范围等实际问题，体会不等式在刻画不等关系中的作用。 4.思想方法：通过数形结合理解解集，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，提升逻辑推理和数学建模能力。 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号 “＜”“＞”“≤”“≥” 或 “≠” 表示大小关系或不等关系的式子，分为含未知数的不等式（如 2x＞5）和不含未知数的不等式（如 3＜4）。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的具体值，如 x=3 是 2x＞5 的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，如 2x＞5 的解集是 x＞2.5。 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 a±c＞b±c 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 c＞0 时，ac＞bc（或 a/c＞b/c） 乘数 / 除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 c＜0 时，ac＜bc（或 a/c＜b/c） 乘数 / 除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若 a＞b，则 b＜a 不等关系可逆 性质 5 传递性 若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 1.表示规则： 边界点：包含端点用 “实心圆点”（对应≥、≤），不包含端点用 “空心圆圈”（对应＞、＜）； 方向：大于向右画，小于向左画。 2.示例：x≥3 表示为 “3 处实心圆点，向右延伸”；x＜-2 表示为 “-2 处空心圆圈，向左延伸”。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，左右两边都是整式的不等式（如 3x-2≤7）。 1.满足条件：①单未知数；②次数为 1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示相等关系（用 “=”），不等式表示不等关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号不变号，是负号全变号” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：整理为 ax＞b（或 ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以 a，若 a＞0，不等号方向不变；若 a＜0，不等号方向改变。 （三）典型题型 1.整数解问题：求不等式解集内的整数，如 3x-1＜5 的正整数解为 x=1、2； 2.含参数不等式：根据解集求参数取值，如 ax＞b 的解集为 x＜b/a，则 a＜0； 3.与方程综合：利用方程的解满足不等式求参数，如方程 2x=k+1 的解是非负数，则 k≥-1。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成的不等式组（如 {2x+1＞3, x-5≤2}）； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，若无公共部分则称不等式组无解。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.将每个解集在同一数轴上表示出来； 3.找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设 a＜b） 不等式组形式 解集 数轴表示特征 x＞b 向右取公共部分（同大取大） x＜a 向左取公共部分（同小取小） a＜x＜b 中间重叠部分（大小小大中间找） 无解 无重叠部分（大大小小找不到） （四）典型题型 1.由解集求参数：如 {x＞m, x＜2} 的解集为 m＜x＜2，则 m＜2； 2.由整数解求参数：如 {x≥-1, x＜k} 有 3 个整数解（-1、0、1），则 1＜k≤2； 3.与方程组综合：利用方程组的解满足不等式组求参数范围。 四、不等式（组）的实际应用 （一）解题步骤 1.审题：找出题目中的不等关系，抓住 “至少”“最多”“不超过”“大于”“小于” 等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为 x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的不等式（组）； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 （二）常见应用场景 1.分配问题：如租车、租房间、分配物资等，需满足 “总量≥需求” 或 “总量≤限制”； 2.利润问题：如销售商品、生产产品等，需满足 “利润≥目标值”； 3.行程问题：如速度限制、时间约束等，需满足 “时间＜规定值” 或 “路程≥要求距离”； 4.工程问题：如完成工作量、工期限制等，需满足 “工作量≥任务量”。 五、易错点汇总 1.运用不等式性质 3 时，忘记改变不等号方向（如由 - 2x＞6 得 x＞-3，错误）； 2.去分母时，漏乘不含分母的常数项（如解 (x/2)+1＞3 时，只乘 x/2 得 x+1＞6，错误）； 3.移项时忘记变号（如由 3x+5＞2x-1 得 3x-2x＞-1+5，错误）； 4.数轴表示解集时，混淆实心圆点与空心圆圈（如 x≥2 画成空心圆圈，错误）； 5.解不等式组时，误将 “无公共部分” 当作有解，或漏看参数的取值边界； 6.实际应用中，忽略解集的实际意义（如人数为负数、小数，未舍去不合理解）。 题型一 不等式的定义判断 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①，是不等式， ②是不等式， ③是代数式， ④是不等式， ⑤是等式， ⑥是不等式， ⑦是等式， ⑧是不等式， ⑨是不等式， 则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个， 故选：D 题型二 不等式的解集与解的辨析 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型三 不等式性质的应用 【例3】（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意；     B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意；     C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意；         D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式3-3】（20-21七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 【答案】A 【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键． 题型四 一元一次不等式的定义 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 【变式4-3】（18-19七年级下·湖南湘西·期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 题型五 一元一次不等式组的定义判断 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 题型六 求一元一次不等式的解集 【例6】（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【变式6-1】（2024·广西·中考真题）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1即可得解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． （1）先移项，把的系数化为即可求解； （2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把的系数化为即可求解； 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 题型七 在数轴上表示一元一次不等式的解集 【例7】（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 【变式7-1】（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      【答案】A 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集        故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【变式7-2】（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解： 去分母，得 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 题型八 解含绝对值的不等式 【例8】（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【变式8-1】（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 【变式8-3】（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 题型九 求一元一次不等式组的解集/整数解 【例9】（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 【变式9-1】（2024·四川遂宁·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 【变式9-2】（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 【变式9-3】（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 题型十 一元一次不等式组中的含参问题 【例10】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式组的解为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集求参数，代数式求值，熟练掌握根据不等式组解集求出、值是解题的关键．先解不等式组得到，，然后根据该不等式组解集为求出、值，再代入计算即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解为， ，解得：，， ． 故答案为：． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·周测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解第一个不等式求出其解集，再结合且不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 且不等式组无解， ， 故选：． 【变式10-3】（2021·江苏南通·中考真题）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组． 题型十一 不等式（组）与方程（组）的综合问题 【例11】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 【变式11-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式11-2】（23-24七年级下·新疆巴州·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 【变式11-2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 题型十二 一元一次不等式的实际应用 【例12】（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据答对题的得分；答错题的得分，根据得分不低于80分，列出一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意可列出的不等式为， 故选：D． 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 【变式12-2】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式12-3】（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 (2)最多能购买100件A种湘绣作品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 题型十三 一元一次不等式组的实际应用 【例13】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【变式13-1】（24-25八年级上·重庆·期末）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 【变式13-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 (2)共有7种购买方案 (3)在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． 【变式13-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 基础巩固通关测 1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式； 题中共有4个不等式， 故选：C． 【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 3．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 4．（20-21七年级下·安徽铜陵·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 5．（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      【答案】A 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集        故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 6．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了不等式的应用，解题的关键是找到不等量关系． 根据销售这种电动汽车获利超过，即可列出不等式解答； 【详解】解：根据题意可得：， 即 故选：A． 7．（21-22七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 8．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 9．（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可． 【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)有5种购买方案； (2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用． （1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案； （2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台， 根据题意，得，解得， 因为每一种新设备至少买1台， 所以，2，3，4，5， 所以有5种购买方案； （2）解：根据题意，得， 解得， 则x为4或5， 当时，购买资金为(万元)， 当时，购买资金为 (万元)， 因为， 所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 11．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 12．（17-18九年级·重庆·开学考试）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有个整数解即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， ∴满足条件的整数m的最大值为7， 故选：B． 14．（2022·云南昆明·三模）若关于x的不等式组，无实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据题意求m的取值范围； 【详解】解：的解为： 的解为： ∵关于x的不等式组，无实数解 ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的求解方法并正确得出解集是解题的关键． 15．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有2个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的的整数值为：，和为； 故选B． 【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 17．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是方程组与不等式的综合应用，先把两式相减得，结合，再建立不等式解题即可． 【详解】解：， 两式相减得， ， ； 解得：； 18．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为________； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键． （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ①-②，得：， ， ， 解得； （2）， 由①+②，得：， ， ， ， ， 解得． 故答案为：，． 19．（2023七年级下·江苏·专题练习）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． (2)有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论 【详解】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得： ， 解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键． 能力提升进阶练 20．（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故选项A错误，不符合题意； 例如，，， ∵， ∴， ∴不成立，选项B错误，不符合题； 例如，，， ∴， ∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题； ∵为不超过的最大整数， ∴，选项D正确，符合题意． 故选：D． 21．（20-21八年级下·河南郑州·期中）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由输出结果可得出不等式，解出即可． 【详解】解：依题意得：第一次的结果为：，没有输出， 则，解得：； 第二次的结果为：，输出， 则，解得：； 综上可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，解出不等式． 22．（2022·安徽合肥·一模）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解． 【详解】解：联立方程组， 解得，， 由题意知：a，b，c均是非负数， 则， 解得， ∴3a+b﹣7c ＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c ＝﹣2+3c， 当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣． 故选：B． 【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力． 23．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 【答案】 2 【分析】本题考查立方根，解一元一次不等式，根据新定义得出式子是解题的关键： （1）由新运算的定义得出，再根据立方根得出答案； （2）由新运算的定义得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）由新运算的定义知：， 把，代入，得， 所以8的立方根是2， 故答案为：2； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可． 【详解】解：依题意得：设， ①当时，x为整数，都是整数， ∴，， ∴， ②当时，，， ∴，， ∴． 综上所述：或3． 故答案为：2或3． 25．（21-22八年级上·北京西城·开学考试）阅读材料 2020年3月，某学校到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）学校购买一个A种品牌足球________元，购买一个B种品牌的足球________元． （2）2021年9月，学校决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个．学校第二次购买足球有哪几种方案？ （3）学校在第二次购买活动中最少需要资金_______元． 【答案】（1）；（2）学校二次购买足球有三种方案：方案一：购买种足球25个，种足球25个；方案二：购买种足球26个，种足球24个；方案三：购买种足球27个，种足球23个；（3）3114 【分析】（1）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球贵30元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于23个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最少，求出花费最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要50元，购买一个种品牌的足球需要80元， 故答案是：． （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买种足球25个，种足球25个； 方案二：购买种足球26个，种足球24个； 方案三：购买种足球27个，种足球23个． （3）第二次购买足球时，种足球单价为（元，种足球单价为（元， 当购买方案中种足球最少时，费用最少，即方案三花钱最少． （元． 答：学校在第二次购买活动中最少需要3114元资金， 故答案是：3114． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）． 26．（20-21七年级上·北京延庆·期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： （1）__________，__________； （2）如果，那么x的取值范围是__________； （3）如果，那么x的值是__________； （4）如果，其中，且，求x的值． 【答案】（1）4，-7；（2）；（3）；（4）或或或 【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据3x+1为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，-7． （2）如果．  那么x的取值范围是．   故答案为：． （3）如果，那么． 解得： ∵是整数．   ∴．   故答案为：． （4）∵，其中， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，0，1，2． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴或或或． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 27．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 【答案】(1)①② (2)3＜k≤4； (3)2＜m≤3 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得-1＜x＜2， 解方程x-1=0得：x=1； 解方程2x+1=0得：x=-； 解方程-2x-2=0得：x=-1， ∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：＜x≤3， 解方程2x-k=2得：x=， ∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”， ∴＜≤3， 解得：3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4； （3）解：解方程2x+4=0得x=-2， 解方程得x=-1， ∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2， 所以分为两种情况： ①当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1， 所以根据题意得， 解得：2＜m≤3， 所以m的取值范围是2＜m≤3， 故答案为：2＜m≤3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式与不等式组（复习讲义） 1.概念与性质：理解并掌握不等式、一元一次不等式（组）的定义、表示方法及基本性质，能准确辨析不等式与方程、等式的区别，熟练运用不等式性质进行变形。 2.解法与表示：熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，能规范地在数轴上表示解集，准确确定不等式组的公共解集。 3.实际应用：能从实际问题中抽象出一元一次不等式（组）模型，结合数轴分析解决方案选择、最值范围等实际问题，体会不等式在刻画不等关系中的作用。 4.思想方法：通过数形结合理解解集，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，提升逻辑推理和数学建模能力。 一、不等式及其基本性质 （一）核心概念 1.不等式：用符号 “＜”“＞”“≤”“≥” 或 “≠” 表示大小关系或不等关系的式子，分为含未知数的不等式（如 2x＞5）和不含未知数的不等式（如 3＜4）。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的具体值，如 x=3 是 2x＞5 的一个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，如 2x＞5 的解集是 x＞2.5。 4.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 （二）不等式的基本性质 性质 文字表述 符号表示（a＞b） 注意事项 性质 1 两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 a±c＞b±c 适用于所有不等式变形 性质 2 两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 c＞0 时，ac＞bc（或 a/c＞b/c） 乘数 / 除数为正数，方向不变 性质 3 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 c＜0 时，ac＜bc（或 a/c＜b/c） 乘数 / 除数为负数，方向必须改变 性质 4 对称性 若 a＞b，则 b＜a 不等关系可逆 性质 5 传递性 若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c 可推导多重不等关系 （三）不等式解集的数轴表示 1.表示规则： 边界点：包含端点用 “实心圆点”（对应≥、≤），不包含端点用 “空心圆圈”（对应＞、＜）； 方向：大于向右画，小于向左画。 2.示例：x≥3 表示为 “3 处实心圆点，向右延伸”；x＜-2 表示为 “-2 处空心圆圈，向左延伸”。 二、一元一次不等式 （一）概念定义 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，左右两边都是整式的不等式（如 3x-2≤7）。 1.满足条件：①单未知数；②次数为 1；③整式不等式。 2.与一元一次方程的区别：方程表示相等关系（用 “=”），不等式表示不等关系（用不等号）。 （二）求解步骤 1.去分母：两边同乘分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要乘，不改变不等号方向； 2.去括号：遵循 “括号前是正号不变号，是负号全变号” 的法则，分数线兼具括号作用； 3.移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，不等号方向不变； 4.合并同类项：整理为 ax＞b（或 ax＜b、ax≥b、ax≤b）的形式（a≠0）； 5.化系数为 1：两边同除以 a，若 a＞0，不等号方向不变；若 a＜0，不等号方向改变。 （三）典型题型 1.整数解问题：求不等式解集内的整数，如 3x-1＜5 的正整数解为 x=1、2； 2.含参数不等式：根据解集求参数取值，如 ax＞b 的解集为 x＜b/a，则 a＜0； 3.与方程综合：利用方程的解满足不等式求参数，如方程 2x=k+1 的解是非负数，则 k≥-1。 三、一元一次不等式组 （一）核心概念 1.一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成的不等式组（如 {2x+1＞3, x-5≤2}）； 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，若无公共部分则称不等式组无解。 （二）求解步骤 1.分别求出不等式组中每个不等式的解集； 2.将每个解集在同一数轴上表示出来； 3.找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。 （三）解集的四种情况（设 a＜b） 不等式组形式 解集 数轴表示特征 x＞b 向右取公共部分（同大取大） x＜a 向左取公共部分（同小取小） a＜x＜b 中间重叠部分（大小小大中间找） 无解 无重叠部分（大大小小找不到） （四）典型题型 1.由解集求参数：如 {x＞m, x＜2} 的解集为 m＜x＜2，则 m＜2； 2.由整数解求参数：如 {x≥-1, x＜k} 有 3 个整数解（-1、0、1），则 1＜k≤2； 3.与方程组综合：利用方程组的解满足不等式组求参数范围。 四、不等式（组）的实际应用 （一）解题步骤 1.审题：找出题目中的不等关系，抓住 “至少”“最多”“不超过”“大于”“小于” 等关键词； 2.设未知数：根据题意设出合适的未知数（通常设所求量为 x）； 3.列不等式（组）：根据不等关系列出对应的不等式（组）； 4.解不等式（组）：按照求解步骤求出解集； 5.检验：结合实际背景检验解集的合理性（如人数、物品件数需为非负整数）； 6.作答：写出符合题意的答案。 （二）常见应用场景 1.分配问题：如租车、租房间、分配物资等，需满足 “总量≥需求” 或 “总量≤限制”； 2.利润问题：如销售商品、生产产品等，需满足 “利润≥目标值”； 3.行程问题：如速度限制、时间约束等，需满足 “时间＜规定值” 或 “路程≥要求距离”； 4.工程问题：如完成工作量、工期限制等，需满足 “工作量≥任务量”。 五、易错点汇总 1.运用不等式性质 3 时，忘记改变不等号方向（如由 - 2x＞6 得 x＞-3，错误）； 2.去分母时，漏乘不含分母的常数项（如解 (x/2)+1＞3 时，只乘 x/2 得 x+1＞6，错误）； 3.移项时忘记变号（如由 3x+5＞2x-1 得 3x-2x＞-1+5，错误）； 4.数轴表示解集时，混淆实心圆点与空心圆圈（如 x≥2 画成空心圆圈，错误）； 5.解不等式组时，误将 “无公共部分” 当作有解，或漏看参数的取值边界； 6.实际应用中，忽略解集的实际意义（如人数为负数、小数，未舍去不合理解）。 题型一 不等式的定义判断 【例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25七年级下·上海崇明·月考）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 不等式的解集与解的辨析 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 题型三 不等式性质的应用 【例3】（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（20-21七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 题型四 一元一次不等式的定义 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 【变式4-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则________． 【变式4-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 【变式4-3】（18-19七年级下·湖南湘西·期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 题型五 一元一次不等式组的定义判断 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型六 求一元一次不等式的解集 【例6】（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：． 【变式6-1】（2024·广西·中考真题）不等式的解集为______． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）解下列不等式． (1)； (2)． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 题型七 在数轴上表示一元一次不等式的解集 【例7】（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      【变式7-2】（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 题型八 解含绝对值的不等式 【例8】（22-23八年级下·河北保定·月考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式8-1】（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）不等式的解集是______． 【变式8-2】（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级下·江苏盐城·月考）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 题型九 求一元一次不等式组的解集/整数解 【例9】（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 【变式9-1】（2024·四川遂宁·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D．   【变式9-2】（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 【变式9-3】（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 题型十 一元一次不等式组中的含参问题 【例10】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式组的解为，则的值为________． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·周测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2021·江苏南通·中考真题）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一 不等式（组）与方程（组）的综合问题 【例11】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 【变式11-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级下·新疆巴州·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 【变式11-2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 题型十二 一元一次不等式的实际应用 【例12】（23-24七年级下·安徽亳州·期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【变式12-2】（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 题型十三 一元一次不等式组的实际应用 【例13】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级上·重庆·期末）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【变式13-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 基础巩固通关测 1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 3．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（20-21七年级下·安徽铜陵·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 5．（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      6．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 7．（21-22七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集． 8．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 9．（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 11．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（17-18九年级·重庆·开学考试）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是________． 13．（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（2022·云南昆明·三模）若关于x的不等式组，无实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 18．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为________； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为_______． 19．（2023七年级下·江苏·专题练习）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 (1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？ 能力提升进阶练 20．（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 21．（20-21八年级下·河南郑州·期中）“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________． 22．（2022·安徽合肥·一模）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是________； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是________． 24．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 25．（21-22八年级上·北京西城·开学考试）阅读材料 2020年3月，某学校到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）学校购买一个A种品牌足球________元，购买一个B种品牌的足球________元． （2）2021年9月，学校决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个．学校第二次购买足球有哪几种方案？ （3）学校在第二次购买活动中最少需要资金_______元． 26．（20-21七年级上·北京延庆·期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： （1）__________，__________； （2）如果，那么x的取值范围是__________； （3）如果，那么x的值是__________； （4）如果，其中，且，求x的值． 27．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $