专题9 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题九　综合与实践 (近2年连续考查) 二、解答题强化 【考情解读】河北数学中考连续两年(2024、2025)考查综合与实践，这也 是近年全国中考的热点题型，落实2022年版课标精神. 【方法指导】此题型的特点是：题干长、涉及知识点多，但实际上难度并 不大.同学们在做此类题时，一定要沉着冷静，认真读题，从冗长的题干 中抽取有用的信息，并转化为数学语言. 1. (2025达州)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP. 作法：甲同学用尺规作出了角平分线； 乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； 丙同学也用尺规作出了角平分线； 工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边 上，即得OP为∠AOB的平分线. 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的 依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ⁠； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， AAS，ASA或HL，② ⁠. 对丙同学的作法陷入了沉思. SSS　 全等三角形的对应角相等　 任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证： 已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB. 证明：∵∠AED＝∠AOB， ∴ED∥OB， ∴∠EPO＝∠POB. ∵EO＝EP， ∴∠EOP＝∠EPO， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴OP平分∠AOB. 2. (2025邢台任泽区一模)图1是一张三角形纸片ABC，∠ABC＝90°，AB ＝6，BC＝8，沿垂直于斜边AC的方向裁剪一刀(裁剪线为MN)，会得到 两个图形. 情境：(1)当裁剪线MN恰好经过顶点B时，如图2，直接写出MN的长. 解：MN的长为 .　 【解法提示】∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝ 8，∴AC＝ ＝10.∵S△ACB＝ AB·BC ＝ AC·MN，即 ×6×8＝ ×10MN，∴MN＝ . 操作：(2)要使经过沿MN裁剪的三角形纸片ABC中，得到的其中一个图形 为轴对称图形. ①嘉嘉想出了如下作法：先作出了∠C的平分线CN交AB于点N，如图 3，再过点N沿垂直于AC的方向裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称 图形.在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出AC的垂线MN，垂足 为点M(保留作图痕迹，不写作法)； 解： 尺规作图如解图1. 解图1 ②试对CB与CM相等进行说理，并求出裁剪线MN的长. 解：∵CN平分∠ACB，NB⊥BC，NM⊥AC， ∴NB＝NM. 又∵CN＝CN，∴Rt△BCN≌Rt△MCN(HL)， ∴CM＝CB. 设MN＝BN＝x，则AN＝AB－BN＝6－x，CM＝CB＝8， ∴AM＝2， 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2＋22＝(6－x)2， 解得x＝ ， ∴裁剪线MN的长为 . 探究：(3)在(2)的情形中，淇淇说：“裁剪线MN还应有另一个不同的值.”请直接写出淇淇所说的MN的长. 解：淇淇所说的MN的长为3. 解图2 【解法提示】如解图2，四边形ABNM是轴对称图形.∵△ABN与△AMN关于AN成轴对称，∴AM＝AB＝6，MN＝BN，∠AMN＝∠ABN＝∠NMC＝90°，∴CM＝AC－AM＝10－6＝4.设MN＝BN＝x，则CN＝BC－BN＝8－x.在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴MN＝3. 3. (2024河北23题10分)情境　图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶 点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石 型五边形，数据如图所示. (说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余) 图1　 　　 图2 操作　嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形. 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按 照图4所示进行拼接. 根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段EF的长； 解：线段EF的长为1.　 【解法提示】如解图1，过点G'作G'K⊥FH'于点K. 结合题意可得，四边形FOG'K为矩形，∴FO＝KG'.由拼接可得，HF＝FO＝KG'.由正方形的性质，得∠A＝45°，∴△AHG，△H'G'D，△AFE都为等腰直角三角形，∴△G'KH'为等腰直角三角形.设H'K＝KG'＝x，∴H'D＝H'G'＝ x，∴AH＝HG＝ x，HF＝FO＝x.∵正方形的边长为2，∴对角线的长为 ＝2 ，∴OA＝ ，∴x＋x＋ x＝ ，解得x＝ －1，∴EF＝AF＝ x＋x＝(＋1)x＝(＋1)(－1)＝1. 解图1 (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长. 解：与线段BE相等的线段有GE，AH，GH. 由(1)得△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1， ∴AE＝ EF＝ ， ∴BE＝AB－AE＝2－ . 探究　淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石 型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点 P(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线(线段PQ)的位置，并直接写出 BP的长. 图5 解：画出裁剪线(线段PQ)的位置如解图2，BP＝ . 或如解图3，BP＝2－ . 解图2 解图3 4. (2025河北23题11分)综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图1)，需找 到合适的切割线. 图1 图2 [模型]已知矩形ABCD(数据如图2所示).作一条直线MN，使MN与BC所 夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分. [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题. 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC， AD于点E，F； …… 图3 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG； ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M； ③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN. 图4 [探究]根据以上描述，解决下列问题. (1)图2中，矩形ABCD的周长为 ⁠； (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN (作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)； 10　 解：如解图(答案不唯一). 图3 图2 图3 (3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求. 解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD. ∵BG＝AB，∴∠AGB＝45°. ∵AN＝MG，∴四边形AGMN是平行四边形， ∴MN∥AG，∴∠NMG＝∠AGB＝45°. ∵直线l是GC的垂直平分线，∴GM＝CM，∴GM＝CM＝AN. ∵BM＝BC－CM，DN＝AD－AN，∴BM＝DN， ∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN， ∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分， ∴直线MN符合要求. 图4 解：如解图，过点H作HG⊥BC于点G，连接AC交PQ于点O，过点P 作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC于点T. (4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边 AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH. ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题. 图5 ∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部 分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴O是AC的中点，PK＝DC＝AB＝1，AP＝CQ，PD＝BQ， ∴BT＝CT＝ BC＝2. ∵∠PQC＝45°，∴△PQK是等腰直角三角形， ∴QK＝PK＝1，∴PQ＝ ＝ . ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠APQ＝∠PQC＝45°. 在△AOP和△COQ中， ∴△AOP≌△COQ(AAS)，∴PO＝QO＝ ， ∴OT＝QT＝ ， ∴CQ＝CT＋QT＝ ，∴BQ＝BC－CQ＝ . ∵BH⊥PQ，∴∠BHQ＝90°. ∵∠BQH＝∠PQC＝45°， ∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQ＝ BQ＝ ，CG＝CQ＋GQ＝ ， ∴tan∠BCH＝ ＝ . ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长. 图5 解：CH的长为2 . 【解法提示】如解图，连接BD交PQ于点O. ∵PQ 把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴O为BD 和PQ的中点.∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的 ☉L上运动，当CH与☉L相切时，∠BCH最大.连接LH，LC. ∵AB＝1，AD＝4，∴BD＝ ＝ ，∴BO＝ BD＝ ，∴LH＝BL＝OL＝ .过点L作LT⊥BC于点T，则∠BTL＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，∴△BLT∽△BDC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴LT＝ ，BT＝1，∴CT＝BC－BT＝4－1＝3，∴CL2＝LT2＋CT2＝ .∵CH是☉L的切线，∴∠CHL＝90°，∴CH＝ ＝2 . 5. (2025吉林)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度 项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市 文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆 高度，为制作3D打印模型提供数据. 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目 分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模 型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示 的测量草图. 1.测出测角仪的高CD＝1.4 m. 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角 ∠ACE＝61°. 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的 距离DB＝42 m. 项目实施 任务二 计算实际 高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度.(结果精确到1 m)(参考数据： sin 61°≈0.875， cos61°≈0.485，tan61°≈1.804) 任务三 换算模型 高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小，得 到其3D打印模型的高度约为 cm.(结果精确到1 cm) 项目 结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三. 解：任务二：由题意得，四边形EBDC为矩形， ∴CE＝DB＝42 m，EB＝CD＝1.4 m. 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°， ∴AE＝CE·tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8(m)， ∴AB＝AE＋EB≈75.8＋1.4≈77(m)， 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77 m. 任务三：19 【解法提示】设其3D打印模型的高度为x m，则x∶77≈1∶400，解得x≈ 0.1925，∴其3D打印模型的高度约为0.1925 m.∵0.1925 m＝19.25 cm≈ 19 cm，∴其3D打印模型的高度约为19 cm. 6. (2025广西)综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形义卖区和 一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图1). 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示， P在AD上，MN＝3 m，AN＝1 m，AP＝2 m，AB＝3 m，BC＝2.5 m. 由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中， ▱MNPQ也随之移动(MN始终在AB边所在直线l上)，且形状大小保持不 变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状.如图3为▱MNPQ 移动到P落在BC上的情形. 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ 的位置. 设遮阳区的面积为S m2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为x m. 【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何 变化？ 解：从初始起右移至题图3情形的过程中，S随x的增大而增大. 解：如解图1，根据题意，初始位置时P在AD上， 右移至题图3时，P在BC上， ∴x＝3，此时AM＝1 m，Q向右移动到AD上， ∴AN＝MN－AM＝3－1＝2(m)， ∴S＝ ＝ ＝5， ∴题图3情形的x的值为3，S的值为5. 解图1 【初步探究】(2)求图3情形的x与S的值. 解：设初始位置时，∠ANP＝α，如解图2. ∵AP＝2 m，AN＝1 m，∠PAN＝90°，∴tanα＝ ＝2. 从题图3情形起右移至M与A重合的过程中， 设PQ交BC于点G，PN交BC于点E，QM交AD于点F， 连接EF，如解图3， 由平移的性质可知，PG＝(x－3)m，BN＝(4－x)m， ∴GQ＝3－(x－3)＝(6－x)m，AN＝3－(4－x)＝(x－1)m. 解图2 【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式. 解图3 ∵tanP＝tan∠ENB＝tanα＝2， ∴GE＝2PG＝(2x－6)m，BE＝2BN＝(8－2x)m. ∵AM＝MN－AN＝AB－AN＝BN，∠MAF＝90°＝∠NBE， ∠FMA＝∠ENB， ∴△FMA≌△ENB(ASA)，∴FM＝EN. ∵FM∥EN，∴四边形FMNE是平行四边形， ∴EF∥MN，EF＝MN＝3 m. ∵MN∥PQ， ∴四边形QFEG，四边形FANE都是梯形， ∴S＝S梯形QFEG＋S梯形FANE＝ ＋ ＝－2x2＋14x－19， ∴该过程中S关于x的解析式为S＝－2x2＋14x－19(3≤x≤4). 解图3 解： ▱MNPQ向右移动了 m. 【解法提示】当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，故当x＝3时，由(2) 知，S最大为5 m2；当3＜x≤4时，S＝－2x2＋14x－19＝－2(x－ )2＋ ，∵－2＜0，∴当x＝ 时，S最大为 ；当x＞4时，S随x的增大而 减小，此时S＜ .∵5＜ ，∴当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移 动了 m. 【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？(直接写出结果) 7. 综合与实践 课题：借助并联电路，探究不等式 ＜a(或b). 已知：如图，在并联电路中，并联后的总电阻计算公式为R总＝ . 电阻 (单位：Ω) 电流 (单位：A) 电阻 (单位：Ω) 电流 (单位：A) 单独运 行不并联 R1 1 12 3 4 R2 2 6 4 3 并联 R总 18 7 验证：在一个电压为12 V的电路中，只有两个并联的可变电阻R1，R2，调 节可变电阻并测得对应的电流，数据如下表： (1)若R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，则并联后的电阻为 ，电流为 ⁠. 发现：两个电阻并联后的电流与其中每一个电阻单独运行时相比，电 路中的电流均变大，这意味着两个电阻并联后的电阻比它们各自的电 阻均要小. (2)请利用数学知识证明上述发现. Ω　 10 A　 证明：∵R1＞0，R2＞0， ∴ ＜ ＝R1， ＜ ＝R2， ∴两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小. 探究： (3)有同学发现，这一现象也可以借助几何图形来解释，请你设计方案，并 说明理由.(提示：可考虑借助图形面积来设计方案) 解：如解图，作矩形ABCD，使得AB＝R1＋R2，AD＝R1， 则矩形ABCD的面积S＝R1(R1＋R2)＝ ＋R1R2. ∵ ＞0，∴ ＋R1R2＞R1R2. 以AB为边作矩形ABFE，使得矩形ABFE的面积 为R1R2，则点E，F分别落在边AD，BC上， ∴AE＝ ＝ . ∵AE＜AD，∴ ＜R1. 同理可证 ＜R2. 8. (2025吉林)【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20 cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计) 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、 跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力 就越大. 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各 自的示数F拉力(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图2所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10 cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数； 解：当小铝块下降10 cm时， 弹簧测力计A的示数为2.8 N， 弹簧测力计B的示数为2.5 N. 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面 后，F拉力＝G重力－F浮力. (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式； 解：当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式为F拉力＝kx＋b. 将(6，4)和(10，2.8)分别代入， 得 解得 ∴当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝ －0.3x＋5.8(6≤x≤10). (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时，甲液体中的小铝块受到的浮 力为m(N)，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N)，则乙液体中小 铝块浸入的深度为n(cm)，直接写出m，n的值. 解：m＝0.6，n＝1.6. 【解法提示】根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4 N，当x＝8时，F拉力 ＝－0.3×8＋5.8＝3.4，4－3.4＝0.6(N)，∴m＝0.6.当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x＋b1，将(6，4)和(10，2.5)分别代入，得 解得 ∴当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝－0.375x＋6.25(6≤x≤10)，当－0.375x＋6.25＝3.4时，解得x＝7.6，7.6－6＝1.6(cm)，∴n＝1.6. 45 $