专题8 圆的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题八　圆的综合题 (10年8考) 二、解答题强化 1. 已知 所在圆的直径为BD，圆心为O，AB＝OB，C为 上一 点，AC，BD相交于点E，AF为☉O的切线，与CB的延长线交于点F. (1)求∠ADB的度数. 图1 解：∠ADB＝30°. (2)如图1，若C为 的中点. ①当BD＝2时， 的长为 ⁠； π　 图1 【解法提示】连接OC. 由题可知，OB＝OD＝ BD＝1，由(1)知△OAB是等边三角形，即∠AOB＝60°. ∵BD为☉O的直径，C为 的中点，∴∠BOC＝90°，∴ 的长为×π×1= π. ②求证：AF＝AB. 图1 证明：∵AF为☉O的切线， ∴OA⊥AF. ∵∠OAB＝60°， ∴∠BAF＝30°. ∵C为 的中点， ∴∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠ABF＝180°－45°－60°＝75°， ∴∠F＝180°－30°－75°＝75°， ∴∠ABF＝∠F， ∴AF＝AB. (3)如图2，若AC⊥BD，判断AF与DC的位置关系，并说明理由. 图2 解：AF∥DC. 理由如下： 延长AO，交CD于点G. ∵AF为☉O的切线，∴∠OAF＝90°. ∵AC⊥BD，∴AB＝BC， ∴∠BDC＝∠ADB＝30°， 又∵∠DOG＝∠AOB＝60°， ∴∠DGO＝180°－60°－30°＝90°， ∴∠OAF＝∠DGO， ∴AF∥DC. 2. (2025邢台内丘县模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作 ☉O，AB与☉O交于点D，BC与☉O交于点E，点F是☉O外一点， CF⊥BF，BF＝BD. 证明：连接CD. ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， 在Rt△CDB和Rt△CFB中， ∴Rt△CDB≌Rt△CFB(HL)， ∴∠DBC＝∠FBC. (1)求证：FC是☉O的切线. ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴∠ACB＝∠FBC. ∵CF⊥BF， ∴∠FBC＋∠BCF＝90°， ∴∠ACB＋∠BCF＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∴OC⊥FC. ∵OC为☉O的半径， ∴FC是☉O的切线. (2)若∠BAC＝30°，AB＝4. ①求 的长； 解：∵AB＝4，AB＝AC， ∴AC＝4. ∵AC为☉O的直径， ∴OA＝OC＝OD＝2. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAC＝30°， ∴∠AOD＝120°， ∴ 的长为 ＝ . ②求图中由 ，线段DB，BF，FC所组成的封闭图形的面积. 解：连接CD. ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC＝90°. ∵∠BAC＝30°， ∴CD＝ AC＝ AB＝2， ∴AD＝ ＝2 . ∵AB＝AC＝4， ∴BD＝AB－AD＝4－2 . 由(1)知，Rt△CDB≌Rt△CFB， ∴S△CDB＝S△CFB， ∴S四边形CDBF＝S△CDB＋S△CFB＝2S△CDB＝2× ×(4－2 )×2＝8－4 . ∵∠COD＝2∠BAC＝60°， ∴S扇形OCD＝ ＝ . ∵OC＝OD，∠COD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴S△OCD＝ ×2× ＝ ， ∴S弓形CED＝S扇形OCD－S△OCD＝ － ， ∴由 ，线段DB，BF，FC所组成的封闭图形的面积为S四边形CDBF－ S弓形CED＝8－3 － . 3. 如图，A，B，C是☉O上三点， ＝ ，OA＝1，延长OA， BC交于点E，过点O作BE的平行线交射线CA于点F，连接EF. (1)求证：∠ACE＝∠COE； 证明：∵ ＝ ，∴∠BOC＝∠COA. ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝ . 同理，∠CBO＝∠BCO＝ ， ∴∠ACO＝∠CBO. ∵∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝∠CBO＋∠BOC， ∴∠ACE＝∠BOC， ∴∠ACE＝∠COE. (2)若AE＝EF，求CF的长； 解：∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE. ∵∠ACO＝∠CAO＝∠EAF， ∴∠ACO＝∠CFE，∴CO∥EF. 又∵CE∥OF，∴四边形COFE为平行四边形， ∴CA＝AF＝ CF. ∵CE∥OF，∴∠OFC＝∠ECF. ∵∠COE＝∠ECF，∴∠OFC＝∠COE. 又∵∠ACO＝∠OCF，∴△COA∽△CFO， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CF＝ . (3)设AE的长为x，记△AOC，△AEC，△AFO，四边形OCEF的面积分 别为S1，S2，S3，S. 嘉嘉说：存在实数x，使得 ＋ ＝ 成立. 淇淇说：对于任意实数x(x＞0)，都有S≥4S1成立. 请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行说理. 解：嘉嘉的说法不正确，淇淇的说法正确. 说理如下：(选择其中一个进行说理即可) 嘉嘉：∵ ＝ ＝ ，∴S2＝xS1. ∵CE∥OF，∴△AFO∽△ACE，∴ ＝ ＝ ， ∴S3＝ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ . 若 ＝ ，则 ＝1，即x2－x＋1＝0. ∵Δ＝(－1)2－4＝－3＜0，∴该方程无解， ∴不存在实数x，使得 ＋ ＝ 成立. 淇淇：设S△AEF＝S4，则 ＝ ＝ ，∴S3＝ ∴S4＝S1， ∴S－4S1＝S1＋S2＋S3＋S4－4S1＝ S1≥0， ∴S≥4S1成立. 4. (2024秋唐山路北区期末)如图，在▱ABCD中，BC＝8，E是BC的中点，过点E在BC上方作 ，且与CD相切于点C，其圆心为O，连接OC，OE. 发现随着∠B的变化， 所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设∠B＝α. (1)如图1，当α＝54°时，求∠OEC的度数； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∵∠B＝α＝54°， ∴∠BCD＝180°－∠B＝126°. ∵CD与☉O相切，∴∠OCD＝90°， ∴∠OCE＝∠BCD－∠OCD＝36°. ∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE＝36°. (2)如图2，点O在BC下方，EO∥DC，求 的长； 解：∵☉O与CD相切于点C， ∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°. ∵EO∥CD，∴∠O＝180°－∠OCD＝90°. ∵BC＝8，E是BC的中点，∴EC＝ BC＝4. ∵OE2＋OC2＝EC2，OE＝OC， ∴OC＝OE＝2 ， ∴ 的长为 ＝ π. (3)若点O在∠ABC内部(角的边为射线，不含边界)，直接写出α的取值 范围. 解：30°＜α＜90°. 【解法提示】∵OC⊥CD，AB∥CD，∴OC⊥AB. 当点O在BC上时，如解图1，BC⊥AB，即α＝90°.当点O在射线BA上时，如解图2，∵∠BOC＝90°，∴△BCO是直角三角形.∵E为BC的中点，∴OE＝BE＝EC. ∵OC＝OE，∴OE＝OC＝EC，∴∠OCB＝60°，∴∠B＝30°，即α＝30°，∴α的取值范围为30°＜α＜90°. 解图1 解图2 5. (2025河北21题9分)如图1，图2，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所 在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F 分别在边AD，CD上，DE＝DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点 M，记为 . (1)如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； 解：易得，四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMF＝ ∠EOF＝45°. (2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； 解：连接EF，交BD于点H， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD. ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝ME· sin 60°＝2× ＝ . ∵四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴DB平分∠ADC，∴∠ADB＝45°， ∴△EHD为等腰直角三角形， ∴DH＝EH＝ ，∴DE＝ DH＝ . (3)当∠EOF＝150°时，求 的长. 解：当∠EOF＝150°时，分两种情况： 如解图1，则 的长为 ＝ ； 如解图2，则 的长为 ＝ . 综上所述，当∠EOF＝150°时， 的长为 或 . 解图1 解图2 6. 如图1，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝CD＝6，∠ACB＝30°，点 P在边AD上运动，以点P为圆心，PA长为半径的☉P与对角线AC交于 A，E两点，交AD于A，F两点. (1)当E为AC中点时，求AP的长. 解：连接EF. ∵AB⊥AC，AB＝CD＝6，∠ACB＝30°， ∴AC＝ ＝ ＝6 . ∵E为AC的中点，∴AE＝ AC＝3 . ∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝30°. ∵AF是☉P的直径，∴∠AEF＝90°， ∴AF＝ ＝ ＝6，∴AP＝ AF＝3. (2)①如图2，当☉P与边CD相切于点M时，AP的长为 ⁠； 24 －36　 【解法提示】连接PM，当☉P与边CD相切于点M时，则PM⊥CD，即∠PMD＝90°.∵∠CAD＝∠ACB＝30°，∴∠D＝60°，∴PD＝ ＝ PM. ∵AD＝BC＝ ＝12，又∵AP＝PM，AP＋PD＝AD，∴AP＋ AP＝12，解得AP＝24 －36. ②当AP＝2时，通过计算比较弦AE和 的大小关系. 解：连接PE，EF. ∵AP＝PE＝PF＝2，∠CAD＝∠ACB＝30°， ∴AF＝4，∠PAE＝∠PEA＝30°， ∴∠FPE＝60°， ∴AE＝AF· cos ∠CAD＝2 ， 的长为 ＝ . ∵2 ＞ ， ∴弦AE的长大于 的长. (3)当☉P与▱ABCD的边BC恰好有一个公共点时，请直接写出AP的值或 取值范围. 解：AP＝3 或6＜AP≤12. 【解法提示】①当☉P与BC相切时，如解图1，设切点为G，连接PG，由(1)(2)可知，AC＝6 ，AD＝BC＝12，∴S▱ABCD＝ ×6×6 ×2＝12PG，解得PG＝3 ，即当AP＝3 时，☉P与BC相切，☉P与▱ABCD的BC边的公共点的个数为1， ②当☉P过点C时，如解图2，☉P与▱ABCD的BC边的公共点的个数为2.∵在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AD是☉P的直径，此时AP＝ AD＝6，∴当6＜AP≤12时，点C在☉P内，☉P与▱ABCD的BC边的公共点的个数为1.综上所述，AP的值或取值范围是AP＝3 或6＜AP≤12. 7. (2024河北25题12分)已知☉O的半径为3，弦MN＝2 .在△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3 .在平面上，先将△ABC和☉O按图1 位置摆放(点B与点N重合，点A在☉O上，点C在☉O内)，随后移动 △ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在☉O上随之移动.设BN＝x. (1)当点B与点N重合时，求劣弧 的长. 解：连接OA，ON. ∵☉O的半径为3，AB＝3， ∴OA＝ON＝AN＝3，∴△AON为等边三角形， ∴∠AON＝60°，∴ 的长为 ＝π. (2)当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值. 解：过点B作BI⊥OA于点I，过点O作OH⊥MN 于点H，连接MO， 则MH＝NH＝ MN＝ . 又∵OA∥MN，∴四边形BIOH是矩形， ∴BH＝OI，BI＝OH，∴OH＝ ＝2， ∴点B到OA的距离BI＝2. ∵AB＝3，BI⊥OA，∴AI＝ ＝ ， ∴BH＝OI＝OA－AI＝3－ ， ∴x＝BN＝BH＋NH＝3－ ＋ ＝3. (3)设点O到BC的距离为d. ①当点A在劣弧 上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； 解：过点O作OJ⊥BC于点J. ∵过点A的切线与AC垂直，∴圆心O在AC上. 在Rt△ABC中，AC＝ ＝3 ， ∴OC＝AC－OA＝3 －3. ∵OJ⊥BC，∠ABC＝90°，∴OJ∥AB， ∴△COJ∽△CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得d＝3－ . 解：d的最小值为 . 【解法提示】如解图1，当B为MN的中点时，过点O作OL⊥B'C'于点L，作OJ⊥BC于点J. ∵∠OJL＞90°，∴OL＞OJ，故当B为MN的中点时，d最小，如解图2，连接OB，过点A作AQ⊥OB于点Q，∵B为MN的中点，∴OB⊥MN，由(2)可得OB＝2，∴BQ＝OQ＝1，∴AQ＝ ＝2 .∵∠ABC＝90°＝∠AQB，∴∠OBJ＋∠ABO＝90°＝∠ABO＋∠BAQ，∴∠OBJ＝∠BAQ，∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ，∴ ＝ ＝ ，设OJ＝m，则BJ＝2 m.∵OJ2＋BJ2＝OB2，∴m2＋(2 m)2＝22，解得m＝ (负值已舍去)，∴OJ 的最小值为 ，即d的最小值为 . ②直接写出d的最小值. 解图1 解图2 8. 如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作 半圆M，其中点P在 上且不与点A重合，但点Q可与点B重合. 发现： 的长与 的长之和为定值l，求l； 解：连接OP，OQ， ∵AB＝4，∴OP＝OQ＝2. ∵PQ＝2，∴△OPQ是等边三角形， ∴∠POQ＝60°，∴ 的长为 ＝ π. 又∵半圆O的弧长为 π×4＝2π， ∴ 的长与 的长之和为2π－ π＝ π，∴l＝ π. 思考：点M与AB的最大距离为 ，此时点P，A间的距离为 ⁠； 点M与AB的最小距离为 ，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图 形面积为 ⁠； 　 2　 　 － 　 【解法提示】过点M作MC⊥AB于点C，连接 OM，OP. ∵OP＝2，PM＝1，∴由勾股定理，得OM＝ .如解图1，当点C与点O重合时，点M与AB的距离最大，最大值为 ，连接AP，此时OM⊥AB，∴∠AOP＝60°.∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∴AP＝2. 解图1 如解图2，当点Q与点B重合时，易得∠MOQ＝30°， ∴MC＝ OM＝ ，此时点M与AB的距离最小，最小 值为 .设此时半圆M与AB的交点为D，连接DM，则 DM＝MB＝1.易得∠ABP＝60°，∴△DMB是等边三角形，∴∠DMB＝60°，DB＝MB＝1，∴扇形DMB的面积为 ＝ ，△DMB的面积为 MC·DB＝ × ×1＝ ，∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 － . 解图2 探究：当半圆M与AB相切时，求 的长. (结果保留π.参考数据： cos 35°＝ ， cos 55°＝ ) 解：当半圆M与AB相切时，设切点为G，连接MG，则MG＝1， 当点G在线段OA上时，如解图3， 连接PO，MO，则MG⊥AO，OM⊥PQ， ∴MO＝ ＝ . 在Rt△POM中， sin ∠POM＝ ，∴∠POM＝30°. 在Rt△OGM中，由勾股定理，得OG＝ ， ∴ cos ∠AOM＝ ＝ ， ∴∠AOM＝35°，∴∠AOP＝∠AOM－∠POM＝5°， ∴ 的长为 ＝ ； 解图3 当点G在线段OB上时，如解图4，连接OP，OM， 此时∠BOM＝35°. ∵∠POM＝30°， ∴∠AOP＝180°－∠POM－∠BOM＝115°， ∴ 的长为 ＝ . 综上所述，当半圆M与AB相切时， 的长为 或 . 解图4 9. 如图1和图2，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ .P为 AB延长线上一点，连接CP，过点A作☉O与CP相切，切点为P，设BP ＝x. (1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时☉O交AD于点E，连 接PE，直．接．指出PE与BC的位置关系； 解：x＝9时，圆心O落在AP上，此时PE⊥BC. (2)当x＝4时，如图2，连接AC，☉O与AC交于点Q，求∠CAP的度数， 并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小； 解：过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作 OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ. 由(1)可知BM＝9，CM＝ ×9＝12. ∵AB＝3，∴AM＝12，∴AM＝CM， ∴∠CAP＝∠ACM＝45°. ∵x＝4，∴AP＝7，PM＝5， ∴CP＝ ＝13. ∵OF⊥AP，∴PF＝ AP＝ . ∵CP为☉O的切线，∴OP⊥CP， ∴∠OPF＋∠CPM＝90°. ∵∠CPM＋∠PCM＝90°，∴∠OPF＝∠PCM. 又∵∠OFP＝∠PMC＝90°，∴△OPF∽△PCM， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OP＝ . ∵∠QOP＝2∠CAP＝90°， ∴ ＝ ×2π× ＝ . ∵ ＜7，∴ ＜AP. (3)当☉O与线段AD只有一个公共点时，直．接．写出x的取值范围. 解：当☉O与线段AD只有一个公共点时，x的取值范围为x≥18. 10. (2025邢台一模)如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3 ，点P在 射线BC上，过点B作☉O切DP于点P，设CP＝x. 图1 图2 (1)如图2，当圆心O在对角线BD上时，∠ODP＝ °，请求出此时 劣弧 的长. 30　 【解法提示】∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，BC＝AD＝3 ，CD＝AB＝3.∵tan∠DBC＝ ＝ ＝ ，∴∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP＝30°.∵DP与☉O相切，∴∠DPO＝90°，∴∠OPB＋∠DPC＝90°.∵∠DCB＝90°，∴∠DPC＋∠PDC＝90°，∴∠OPB＝∠PDC，∴∠ODP＝∠ODC－∠PDC＝60°－30°＝30°. 设☉O的半径为r，则BD＝2r＋r＝3r. ∵AB＝3，AD＝3 ，∴BD＝ ＝6， ∴3r＝6，∴r＝2， ∵∠BOP＝180°－∠OBP－∠OPB＝120°， ∴劣弧 的长为 ×2＝ π. 图2 (2)过点O作OG⊥BP于点G. ①如图3，当点P在线段BC的延长线上，且OG＝CP时，求x的值； 图3 解：当OG＝CP时， 由条件可知∠OGP＝∠PCD＝90°. ∵DP与☉O相切，∴∠OPD＝∠OPG＋∠DPC＝90°. ∵∠DPC＋∠PDC＝90°，∴∠OPG＝∠PDC， ∴△OPG≌△PDC(AAS)，∴PG＝DC＝3. ∵OG⊥BP，∴PG＝ BP＝ (BC＋CP)＝ (3 ＋x)， ∴ (3 ＋x)＝3，解得x＝6－3 . ②当点P在线段BC上时，求线段OG长的最大值； 图3 备用图 解：如解图，由①可知，∠OGP＝∠PCD＝90°， ∠OPG＝∠PDC， ∴△OPG∽△PDC，∴ ＝ . ∵OG⊥BP，∴PG＝ BP＝ (BC－CP)＝ (3 －x)， ∴ ＝ ， ∴OG＝－ x2＋ x＝－ (x－ )2＋ ， ∴当x＝ 时，OG取得最大值 . ③直接写出当OG＝1时，x的值. 图3 备用图 解：x的值为 或2 或 . 【解法提示】由△OGP∽△PCD，得 ＝ . 如解图，当点P在线段BC上时，PG＝ ， 即 ＝ ，解得x＝2 或x＝ ；如题图3， 当点P在线段BC的延长线上时，PG＝ ，即 ＝ ，解得x＝ (舍)或x＝ .综上所述，x＝ 或x＝2 或x＝ . 11. (2025保定莲池区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是 △ABC的内心，连接AO，BO，CO，AC＝6，tan∠CAB＝ .现将 △AOB以B为圆心顺时针旋转到AB边与BC边所在直线重合，点A落在点 A'处，将△AOC以C为圆心逆时针旋转到AC边与BC边所在直线重合，点 A落在点A″处. (1)求证：O'和O″所在的直线O'O″∥BC； 证明：如解图，连接O'O″，过点O作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，过点O″作O″D'⊥BC于点D'，过点O'作O'E'⊥BC于点E'， 由内心的性质，得OD＝OE＝OF， 由旋转知OD＝O″D'，OE＝O'E'， ∴O″D'＝O'E'. ∵O″D'⊥BC，O'E'⊥BC， ∴O″D'∥O'E'， ∴四边形O'O″D'E'是矩形， ∴O'O″∥BC. (2)在☉O中，求分别以∠AOC，∠AOB，∠BOC为圆心角的扇形面积 之比； 解：在Rt△ACB中，∵tan∠CAB＝ ， ∴∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝90°－∠CAB＝30°. ∵AO平分∠CAB，CO平分∠ACB，BO平分∠ABC， ∴∠CAO＝∠BAO＝30°，∠ACO＝∠BCO＝45°，∠CBO＝∠ABO ＝15°， ∴∠AOC＝105°，∠AOB＝135°，∠BOC＝120°， 设内切圆的半径为r，则分别以∠AOC，∠AOB，∠BOC为圆心角的扇 形面积之比是 ∶ ∶ ＝7∶9∶8. (3)求线段OO'的长. 解：由(1)知，点O在矩形O'O″D'E'的边O'O″上，且OF⊥BC， ∴四边形OFE'O'是矩形，∴OO'＝FE'＝BF＋BE'. ∵☉O是△ABC的内切圆， ∴CD＝CF，BE＝BF，AD＝AE， ∴AE＋CF＝AD＋CD＝AC， 由旋转知BE＝BE'， ∴OO'＝BF＋BE'＝BF＋BE＝BC－CF＋AB－AE＝BC＋AB－AC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6. ∴BC＝AC·tan∠CAB＝6 ， 由勾股定理，得AB＝ ＝12， ∴OO'＝BC＋AB－AC＝6 ＋12－6＝6＋6 . 12. 在△OAB中，OA＝OB＝10.将扇形POP'按图1摆放，使扇形的半径 OP，OP'分别与OA，OB重合，OP＝6. 如图2，若△OAB不动，让扇形POP'绕点O逆时针旋转一周，连接线段 AP，BP'，设旋转角为α. 发现：在旋转过程中AP与BP'始终相等，请用图2说明理由. 解：当α＝0°或α＝180°时， 点A，P，O在一条直线上， B，P'，O在一条直线上， ∴AP＝OA－OP或OA＋OP，BP'＝OB－OP'或OB＋OP'. ∵OA＝OB，OP＝OP'， ∴AP＝BP'； 当α≠0°且α≠180°时， 由题意，得OA＝OB，OP＝OP'，∠AOB＝∠POP'， ∴∠AOP＝∠BOP'. 在△AOP和△BOP'中， ， ∴△AOP≌△BOP'(SAS)， ∴AP＝BP'. 综上所述，在旋转过程中AP与BP'始终相等. 探究：若∠AOB＝80°， (1)扇形POP'绕到点O的左侧，当OP∥AB时，旋转角α＝ ⁠； 310°　 【解法提示】扇形POP'绕到点O的左侧，OP∥AB，如解图1.∵∠AOB＝80°，OA＝OB，∴∠A＝∠B＝50°.∵OP∥AB，∴∠POA＝∠A＝50°，∴旋转角α＝360°－50°＝310°. 解图1 (2)扇形POP'绕到点O的右侧，当AP与 相切时，求BP'的长； 解：∵AP与 相切， ∴OP⊥AP. ∵OA＝OB＝10，OP＝6， ∴AP＝ ＝8. 由发现可知AP＝BP'， ∴BP'＝8. (3)若Q是 上任意一点，在扇形POP'绕点O逆时针旋转过程中，当 △AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数. 解：∠BOQ的度数为170°或10°. 【解法提示】∵Q是 上任意一点，∴点Q在以O为圆心，OP＝6为半 径的圆上运动，如解图2.在△AOQ中，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最 大，过点O作OA的垂线交☉O于点Q'，Q″，当点Q与点Q'，Q″重合 时，△AOQ的面积最大，当点Q与点Q'重合时，∠BOQ＝90°＋80°＝ 170°；当点Q与点Q″重合时，∠BOQ＝90°－80°＝10°.综上所述， 当△AOQ的面积最大时，∠BOQ的度数为170°或10°. 解图2 13. (2025秦皇岛模拟)【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的 性质，如图1，AB是☉O的直径，AB＝4，沿弦CD折叠，使折叠后的 与AB相切于点E. 【发现】 所在圆的半径长为 ⁠. 2　 【探究】(1)如图2，O'是点O关于弦CD的对称点，连接OO'，若切点E为 OB的中点，连接O'B交☉O于点M，连接AM，求弦AM的长； 解：连接O'E，则O'E＝2，O'E⊥AB， ∵E是OB的中点，OB＝2， ∴OE＝BE＝ OB＝1，∴O'B＝ ＝ . 又∵AB是☉O的直径， ∴∠AMB＝90°＝∠O'EB， 又∵∠ABM＝∠MBE，∴△AMB∽△O'EB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AM＝ . (2)若切点E落在线段OB上(包括端点)，直接写出弦CD的最大值和最小 值. 解：弦CD的最大值为2 ，最小值为2 . 【解法提示】如解图1，设O'O与CD交于点F，根据轴对称可得O'O⊥CD，OF＝ OO'，∴CD＝2DF. 当点D与点B重合，C为 的中点时，切点为B，即点E与点B重合，此时CD最小，O'O＝ ＝2 ，即OF＝ .在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ，即CD＝2 ；当CD∥AB，且CD恰好经过OO'中点F时，CD最大，如解图2，即点E在点O处，∴OF＝1，∴DF＝ ＝ ，即CD＝2 .综上所述，弦CD的最大值为2 ，最小值为2 . 解图1 解图2 14. (2025唐山玉田县校级三模)如图，AB是半圆O的直径，且AB＝6， MN是半圆O的弦(点M，N可分别与点A，B重合)，将半圆O沿直线MN 翻折. (1)当点N与点B重合，且∠ABM＝30°时，如图1. ①求劣弧 的长； 解：连接OM，∵AB＝6，∠ABM＝30°， ∴OA＝OB＝3，∠AOM＝2∠ABM＝60°， ∴劣弧 的长为 ＝π. ②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧 是否经过圆心O？ (填“是”或“否”). 是　 【解法提示】当半圆O沿直线MN翻折后，设点O的对称点为W，连接OW交MN于点R，则∠ORN＝90°.∵∠ABM＝30°，∴OR＝ OB＝ ，根据折叠的性质，得WR＝OR＝ ，∴OR＋WR＝3.∵圆的半径长为3，∴点W一定在圆上，∴当半圆O沿直线MN翻折 后，劣弧 经过圆心O. (2)当MN∥AB时，如图2，过点O作OP⊥MN，垂足为P，折叠后的劣 弧 恰好经过OP的中点Q，连接NQ，求tan∠MNQ的值. 解：设OP的延长线与圆的交点为T，如解图1， ∴OT＝3. ∵MN∥AB，OP⊥MN， ∴∠OPM＝90°，PM＝PN＝ MN. 根据折叠的性质，得PT＝PQ. ∵折叠后的劣弧 恰好经过OP的中点Q， ∴OQ＝PQ，∴PT＝PQ＝OQ＝ OT＝1，∴OP＝2PQ＝2. 在Rt△OMP中，由勾股定理，得PN＝PM＝ ＝ ， ∴tan∠MNQ＝ ＝ ＝ . 解图1 (3)若折叠后的劣弧 与直径AB切于点C，且C是半径OB的中点，如图 3，求折痕MN的长. 解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为O'，连接O'O，O'C，OM， 设O'O与MN的交点为H，如解图2. 根据折叠的性质，得∠OHM＝90°， OH＝O'H＝ O'O，O'C＝OA＝OB＝OM＝3， MH＝NH＝ MN. ∵C是半径OB的中点，∴OC＝ OB＝ ， ∴O'O＝ ＝ ，∴OH＝ O'O＝ . 在Rt△OMH中， 由勾股定理，得MH＝ ＝ ， ∴MN＝2MH＝ . 解图2 63 $