专题6 函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 专题六　函数的实际应用 (除2022年未考查外，其余每年必考) 二、解答题强化 1. 某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长150 m.嘉淇从赛道顶端A处下滑，滑行2 s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍嘉淇，测得嘉淇离A处的滑行距离y(单位：m)以及无人机离A处的距离s(单位：m)(注：无人机的安全高度忽略不计)随滑行时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表： 滑行时间x/s 0 1 2 3 4 5 滑行距离y/m 0 6 14 24 36 50 无人机离A处的距离s/m 0 0 0 15 30 45 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与x(x≥2)之间成一次函数关 系. (1)直接写出y关于x的函数解析式和s关于x(x≥2)的函数解析式(不要求写 出自变量的取值范围)； 解：y＝x2＋5x； s＝15x－30(x≥2). (2)嘉淇滑完整个赛道需要耗时多久？ 解：当y＝150时，x2＋5x＝150， 解得x1＝10，x2＝－15(不合题意，舍去). 答：嘉淇滑完整个赛道需要耗时10 s. (3)在嘉淇到达终点前，无人机能否追上嘉淇？若能，试计算此时嘉淇的滑 行时间x的值；若不能，求出无人机与嘉淇的最小距离. 解：由题意，得y＝s， ∴x2＋5x＝15x－30.化简，得x2－10x＋30＝0. ∵Δ＝100－4×30＝－20＜0， ∴原方程无实数解， ∴在嘉淇到达终点前，无人机不能追上嘉淇. 设无人机与嘉淇的距离为d， 则d＝(x2＋5x)－(15x－30)＝(x－5)2＋5， ∴当滑行时间为5 s时，无人机与嘉淇的距离最小，最小距离为5 m. 2. 长为300 m的春游队伍以v m/s的速度向东行进.如图1和图2，当队伍排 尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回 排尾，甲的往返速度均为2v m/s，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进. 设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m). (1)当v＝2时，解答： ①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)； ②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾的过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)； 解：由题意知S头＝vt＋300， ∵v＝2，∴S头＝2t＋300. 解：∵v＝2，甲的速度为2v m/s，∴甲的速度为4 m/s， ∴甲从排尾赶到排头时，4t＝2t＋300，解得t＝150， 此时S头＝2×150＋300＝600(m). 甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t－150)s， 则S甲＝600－4(t－150)＝－4t＋1200. (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取 值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程. 解：设甲从排尾赶到排头所用时间为t1 s， 则2vt1＝vt1＋300，∴t1＝ . 设甲从排头返回排尾所用时间为t2 s， 则t2＝ ＝ ，∴T＝t1＋t2＝ ， ∴队伍在此过程中行进的路程为 ×v＝400(m). 3. 【生活情境】(2025春石家庄期末)石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样 热卖单品——米线和面条.随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降.为 应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照10元/份出售时， 估计每天只能售出50 份，每份售价每降价1 元，就能多售出20份. 凉面定价为n元/碗，售出的数量y2(碗)与每碗定 价n(元)之间为一次函数关系，其中两组数据如 表所示(7≤n≤10，且n为整数)： n(元/碗) 7 8 y2(碗) 110 120 (1)请求出每天米线售出的数量y1(碗)与每碗定价m(元)之间的函数关系 式，每天凉面售出的数量y2(碗)与每碗定价n(元)之间的函数关系式； 解：由题意，得y1＝20(10－m)＋50＝－20m＋250. 设y2＝kn＋b， 则 解得 ∴y2＝10n＋40. (2)求每碗米线定价m(m为正整数)为多少元时，才能使得米线日销售额达 到630元； 解：由题意，得m(－20m＋250)＝630， 解得m1＝9，m2＝3.5. ∵m为正整数， ∴m＝9， 即每碗米线定价为9元时，才能使得米线日销售额达到630元. (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时比较合理. ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为 多少碗？ 解：由题意，得m＋n＝16，∴m＝16－n. 设销售总量为y， 则y＝y1＋y2＝－20m＋250＋10n＋40＝30n－30. ∵30＞0，∴y随n的增大而增大. 又∵7≤n≤10， ∴当n＝10时，y取得最大值300－30＝270， ∴每碗凉面的定价为10元时，销售总量最多，为270碗. ②当凉面定价为 元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到 1680元. 8　 【解法提示】由题意，得(16－n)[－20(16－n)＋250]＋n(10n＋40)＝ 1680，解得n＝8或n＝35(舍去). 4. 某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据： 月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 (1)求y与x满足的关系式，并说明一件产品的利润能否是12万元； 解：由题意，设基础价为a万元，浮动价为 万元，则y＝a＋ . 将(120，11)，(100，12)分别代入，得a＝6，b＝600， ∴y与x满足的关系式为y＝6＋ . 若18－12＝6＋ ，则 ＝0. ∵x＞0，∴ ＞0， ∴一件产品的利润不能是12万元. (2)求k的值，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； 解：将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)， 得120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13， ∴x＝2n2－26n＋144. 由题意，得18＝6＋ ，解得x＝50， ∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0. ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在某个月既无盈利也不亏损. (3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m 的值. 解：∵第m个月的利润为Wm＝x(18－y)＝x(18－6－ )＝12(x－50)＝12(2m2－26m＋144－50)＝24(m2－13m＋47)， ∴第(m＋1)个月的利润为Wm＋1＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)， 若Wm≥Wm＋1，则Wm－Wm＋1＝48(6－m)， 当m取最小值1时，Wm－Wm＋1取得最大值48×(6－1)＝240； 若Wm＜Wm＋1，则Wm＋1－Wm＝48(m－6). 又∵m＋1≤12， ∴当m取最大值11时，Wm＋1－Wm取得最大值48×(11－6)＝240， ∴m的值为1或11. 5. (2025齐齐哈尔)2025年春晚舞台上的机器人表演充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙 沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至 B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达 C区.机器人甲、乙距B区的距离y(米)与机器人乙行进 的时间x(分)之间的函数关系如图所示. 请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距 米，a＝ ⁠； 【解法提示】由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150＋90＝240(米).∵机器人甲到达B区所用时间为150÷20＝7.5(分)，∴a＝7.5. (2)求线段EF所在直线的函数解析式； 解：机器人乙到达B区所用时间为90÷10＝9(分)，∴E(9，0). 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15－9)＝15(米/分)， 则y＝15(x－9)＝15x－135， 240　 7.5　 ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x－135(9≤x≤15). (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？(直接写出 答案即可) 解：机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米. 【解法提示】当0≤x≤7.5，机器人甲、乙相距30米 时，得20x＋10x＋30＝240，解得x＝7；当9≤x≤12，机器人甲、乙相距30米时，得15x－135＝30，解得x＝11；当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷(15－12)＝30(米/分)，则y＝30(x－12)＝30x－360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x－135－(30x－360)＝30，解得x＝13，∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米. 6. 如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18米，与y轴交于点B，与滑道y＝ (x≥1)交于点A，且AB＝1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比，且当t＝1时，h＝5；M，A的水平距离是vt米. (1)求k的值，并用t表示h； 解：根据题意，得A(1，18)， 将A(1，18)代入y＝ ，得k＝18. 设h＝at2， 将t＝1，h＝5代入，得a＝5， ∴h＝5t2. (2)设v＝5，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的关系式(不 写x的取值范围)，及当y＝13时，运动员与正下方滑道的竖直距离； 解：∵M，A的水平距离为vt米， ∴当v＝5时，点M的横坐标x＝5t＋1. ∵M，A的竖直距离为h＝5t2， ∴点M的纵坐标y＝18－5t2. ∵x＝5t＋1，∴t＝ ， ∴y＝18－5×()2＝－ (x－1)2＋18. 当y＝13时，－ (x－1)2＋18＝13，解得x＝6或x＝－4(舍去)， 将x＝6代入y＝ ，得y＝3， ∴当y＝13时，运动员与正下方滑道的竖直距离为13－3＝10(米). (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距 x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直．接．写出t的值及v乙的 范围. 解：t＝1.8，v乙＞7.5. 【解法提示】∵当v甲＝5米/秒时，甲距离x轴1.8米，∴18 －5t2＝1.8，解得t＝1.8或t＝－1.8(舍去).∵乙位于甲右侧 超过4.5米处，∴v乙t＞4.5＋5t，即v乙＞ ＝7.5. 7. (2025北京门头沟区期末)五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空.其 中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架 无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演.在上升过程 中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x(单位：秒).1号无人机距离地 面的竖直高度为y1(单位：米)，2号无人机距离地面的竖直高度为y2(单 位：米).记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系.在同一 平面直角坐标系xOy中，已经画出y2与x的函数图象，请画出y1与x的函数 图象. 解：用描点法画出y1与x的函数图象如解图. (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米；当2号无人 机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； 30　 10　 【解法提示】1号无人机上升速度为6米/秒，则y1与x之间的函数关系式为y1＝6x，当x＝5时，y1＝6×5＝30，∴当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为30米；2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的函数关系式为y2＝4x＋12，当y2＝52时，得4x＋12＝52，解得x＝10，∴当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为10秒. ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相 差4米. 6　 4或8　 【解法提示】当｜y2－y1｜＝4时，得｜4x＋12－6x｜＝4，解得x＝4或x＝8，∴当1号，2号两架无人机上升4秒或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米. 8. 发现问题：某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观赏植物进行浇水， 喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆 的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直 上下平移. 提出问题：通过测量喷水杆的高度，能否得到水柱落地点到喷水杆底座的 距离？ 分析问题：小明先是固定灌溉喷枪，并量出喷枪的现有高度为1.5 m，以 地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，设水流路 径上的某一位置与喷水口的水平距离为x m，距地面的高度为y m.y与x的 部分对应数值如下表： x … 1 2 3 5 … y … 1.875 2 1.875 0.875 … 解决问题： (1)①直接写出这股水流路径所在的抛物线的解析式，并在图1的网格中画 出该抛物线(包括边界)； 解：抛物线的解析式为y＝－ (x－2)2＋2. 【解法提示】由表格中(1，1.875)，(3，1.875)可知， 抛物线的顶点坐标为(2，2).设抛物线的解析式为y＝ a(x－2)2＋2.将(3，1.875)代入，得a(3－2)2＋2＝1.875，解得a＝－ ，∴这股水流路径所在的抛物线的解析式为y＝－ (x－2)2＋2. 图象如解图所示. ②求出其最大射程(水柱落地点到喷水杆底座的最大距离). 解：把y＝0代入y＝－ (x－2)2＋2，得－ (x－2)2＋2＝0， 解得x1＝6，x2＝－2(不合题意，舍去)， ∴其最大射程为6 m. (2)如果将灌溉喷枪提高6 m，请求出此时灌溉喷枪的最大射程. 解：如果将灌溉喷枪提高6 m，得平移后的抛物线的解析式为y＝－ (x －2)2＋8， 把y＝0代入y＝－ (x－2)2＋8，得－ (x－2)2＋8＝0， 解得x1＝10，x2＝－6(不合题意，舍去)， ∴此时灌溉喷枪的最大射程为10 m. (3)如图2，在地面上距离喷水杆2 m处有一段斜坡MN，斜坡长2 m，坡 角为30°.若要使喷出的水正好落在斜坡以内，直接写出P处喷水口的高 度h的取值范围. 解：P处喷水口的高度h的取值范围为0 m≤h≤(＋ )m. 【解法提示】如解图，过点N作NA⊥x轴于点A. ∵MN ＝2 m，∠AMN＝30°，∴AN＝ MN＝ (m)， MA＝MN· cos 30°＝3(m).∵OM＝2 m，∴OA＝5 m， ∴点N的坐标为(5， ).由题意可设平移后的抛物线解析 式为y＝－ (x－2)2＋2＋k.当点N(5， )在抛物线上时，－ ×(5－2)2＋2＋k＝ ，解得k＝ － ；当点M(2，0)在抛物线上时，－ ×(2－2)2＋2＋k＝0，解得k＝－2.∵1.5＋(－ )＝ ＋ ，1.5＋(－2)＝－ ，喷水口的高度h＞0，∴P处喷水口的高度h的取值范围为0 m≤h≤(＋ )m. 9. (2025石家庄四十四中三模)如图是某船停在水上的示意图.此船轮廓线 可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度OA＝20米，最大吃水深度为 米，船头B高出水面2米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy.在船的前方 距离O点40米处有直立的固定标志杆，标志杆高CD＝10米. (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点B的坐标； 解：船轮廓线所在抛物线的解析式为 y＝ (x－10)2－ ＝ x2－ x. B(24，2). (2)在点B处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线y＝m(x－32)2＋10 的一部分，问：小球能否砸到标志杆？请通过计算加以说明； 解：能砸中.理由如下： 将B(24，2)代入y＝m(x－32)2＋10， 得2＝m(24－32)2＋10， ∴m＝－ ， ∴y＝－ (x－32)2＋10， 当x＝40时，y＝－ ×(40－32)2＋10＝2. ∵2＜10， ∴小球能砸到标志杆. (3)若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变.将小船向右移动n米(没有到达标志杆位置)，然后再按(2)中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出n的取值范围. 解：4＜n＜12. 【解法提示】∵水面上涨2米，小船再向右移动n米，∴小球所走路线抛 物线的解析式为y＝－ (x－32－n)2＋12.当抛物线经过点(40，10)时，10 ＝－ (40－32－n)2＋12，解得n1＝4，n2＝12，∴4＜n＜12. 10. 嘉淇利用杠杆原理熟悉了物体的等量关系：A 处物体的质量×OA的长度＝B处物体的质量×OB的长度(如图1).根据这 一原理，数学兴趣小组制作了简易杆秤(如图2)，秤盘的质量为10克，秤砣 的质量为50克. (1)由于自身秤盘的质量，需确定秤盘、零刻度线和秤纽之间的相对位置(如图3).若秤盘到零刻度线的水平距离(即l＋a)为6厘米时，请你确定秤纽到秤盘的水平距离； 解：依题意得，秤盘的质量为10克，秤砣的质量为50克， 秤盘到零刻度线的水平距离(即l＋a)为6厘米， ∴10l＝50a，l＝5a. ∵l＋a＝6，∴5a＋a＝6，∴a＝1， ∴l＝5a＝5×1＝5(厘米)， ∴秤纽到秤盘的水平距离为5厘米. (2)称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡.为了方便快速得到在秤盘中重物的质量，从零刻度线向后依次标记等距的小刻度线，数学兴趣小组在(1)的条件下进行了实验，如图2，当秤盘放入200克重物后，秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平衡.求第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是多少？ 解：依题意，得200＋10＝210(克). 设相邻刻度之间的水平距离为d厘米. ∵秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动， 到第5个小刻度线时杆秤刚好平衡， ∴210×5＝50×(1＋5d)， ∴1050＝50＋250d，解得d＝4， ∴第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是4厘米. 40 $