小专题培优9 隐形圆(辅助圆)模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优9　隐形圆(辅助圆)模型 一、小专题培优 (2025.23) 构造 思路 若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧 情形 有共端点的三条等线段(如 图，OA＝OB＝OC) 如图，E为定点，F为线段BC上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF，则B'E＝ BE，点B'的运动轨迹 为以点E为圆心，BE 长为半径的一段圆弧 理论 依据 平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合(圆的定义) 例1　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动 点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接FC，则FC的最小值 为 ⁠. 2 －2　 【解析】如解图，连接CE. ∵P是直线AB上的一个动点，AE＝2，∴AE＝EF＝2，∴点F在以点E为圆心，AE为半径的圆上运动，∴当点F在线段EC上时，FC取得最小值.∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∴DE＝AD－AE＝8－2＝6.在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝ ＝ ＝2 ，∴FC的最小值为CE－EF＝2 －2. 针对训练1　如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝ 20°，∠BDC＝30°，则∠BAD的度数为 ⁠. 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D三点都在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上.∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠CAD＝ 2∠CBD＝40°，∠BAC＝2∠BDC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋ ∠CAD＝100°. 100°　 针对训练2　(2025廊坊安次区模拟)如图，在正方形ABCD中，AB＝ ，点E在边AD上，AE＝1，将线段AE绕点A旋转，得到线段AP，连接BP，CP，当∠ABP最大时，CP的长为 ⁠. 5或 　 【解析】由条件可知点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，∴当BP与☉A相切时，∠ABP最大.如解图1，当点P在AB左侧时，根据题意得，AE＝AP＝1，BP⊥AP. ∵AB＝ ，∴BP＝ ＝3，过点P作PH⊥CB，交CB的延长线于点H，∴PH∥AB，∴∠BPH＝∠ABP. 又∵∠APB＝∠H＝90°，∴△BHP∽△APB，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，∴BH＝ ，PH＝ ，∴CH＝BC＋BH＝ ，∴在Rt△PCH中，CP＝ ＝5； 解图1 如解图2，当点P在AB右侧时，过点P作PH⊥BC于点H，同理可得BH＝ ，PH＝ ，∴CH＝BC－BH＝ ，∴CP＝ ＝ .综上所述，CP的长为5或 . 解图2 构造 思路 若C为动点，∠ACB的大小和AB的长固定，则点C的运动轨迹是 以AB为弦的圆(或圆弧) 情形 当∠C＜90°时，点C在优弧 上运动(不与点A，B 重合) 当∠C＝90°时，点C在半圆上运动(不与点A，B重合) 当∠C＞90°时，点C在劣弧 上运动(不与点A，B重合) 图示 理论 依据 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理及其推论) 例2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝3.点P为 △ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面 积是(　D　) A. 3 B. 3 C. D. D 【解析】如解图，取AC的中点O，连接OP，BO. ∵PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC 为直径的半圆上运动.在△BPO中，BP≥BO－OP， ∴当点P在线段BO上时，BP有最小值.∵O是AC的中点， ∠APC＝90°，∴PO＝AO＝CO＝ AC＝ .∵tan∠BOC＝ ＝ ，∴∠BOC＝60°，∴△COP是等边三角形，∴S△COP＝ OC2＝ .∵OA＝OC，∴S△ACP＝2S△COP＝ . 针对训练3　如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是直线BC，CD 上的动点，且满足BE＝CF，连接AE，BF，交点为P，连接PD，则PD 的最小值为 ⁠. －1　 【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD. 在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌ △BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠CBF＋∠ABF＝ 90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的半圆上运动.取AB的中点O，由图 形可知当O，P，D三点在同一直线上时，PD有最小值，如解图. ∵在正方形ABCD中，AB＝2，∴AO＝OP＝1.在Rt△OAD中，OD＝ ＝ ＝ ，∴PD＝OD－OP＝ －1. 针对训练4　如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，点P为△ABC内一动 点，且满足∠PAB＝∠ACP，则△APC面积的最大值是 ⁠. 　 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2.∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是 ，如解图，过点P作PD⊥AC于点D，当O，P，B三点共线时，PD长度最大，即△APC的面积最大，∴PA＝PC，AD＝ AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∴PD＝AD·tan30°＝ ，∴△APC面积的最大值为 AC·PD＝ ×2× ＝ . 构造 思路 若∠ACB＋∠ADB＝180°，则A，B，C，D四点共圆 若∠ACB＝∠ADB，则A，B，C，D四点共圆 图示 理论 依据 圆内接四边形的对角互补 同弧所对的圆周角相等 例3　如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD 于点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的度数是(　C　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【解析】∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝90°.∵OE⊥BD， ∴∠BOE＝90°，∴ 四边形ABOE对角互补，∴A，B，O，E四点共 圆，∴∠AOE＝∠ABE＝20°. C 针对训练5　如图，AD，BE，CF为△ABC的三条高，且AB＝6，BC＝ 5，EF＝3，则线段BE的长为(　D　) A. B. 4 C. D. D 【解析】∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，∴∠BEF＝∠BCF. 又∵∠AEF＋∠BEF＝90°，∠FBC＋∠BCF＝90°，∴∠AEF＝∠FBC. 又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，即 cos ∠BAC＝ ，∴ sin ∠BAC＝ ，∴在Rt△ABE中，BE＝AB· sin ∠BAC＝6× ＝ . 背景 ∠APB＝α(定角)，点P到直线AB的距离PD＝h(定高) 图示 结论 当AP＝BP时，AB的长最小，△ABP的面积最小.口诀：定角又定 高，等腰是最小 证 明 设☉O是△ABP的外接圆，半径为r.过点O作OE⊥AB 于点E，连接OA，OB，OP，则∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB＝∠APB＝α，∴BE＝r· sin α，OE＝r· cos α， ∴AB＝2BE＝2r· sin α.∵OP＋OE≥h(当P，O，E三点共线时取“＝”)，∴r＋r· cos α≥h，∴r≥ ，∴当P，O，E三点共线时r最小，此时AB的长最小，易知，此时△ABP的面积也最小 【技巧点拨】若证明△ABP的周长最小，则需要进行转化：在BA的延长 线上取点E，使得AE＝AP，在AB的延长线上取点F，使得BF＝BP， 则△ABP的周长＝EF的长，∠EPF＝90°＋ α，又转化为定角定高求 EF的最小值问题 针对训练6　如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BD⊥AC于点D，BD ＝5，则AC的最小值为 　10 　，△ABC的面积的最小值为 　25 　. 10 　 25 　 【解析】如解图，作△ABC的外接圆☉O，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥AC于点H. ∵∠ABC＝120°，∴∠AOC＝2×(180°－120°)＝120°，∴∠AOH＝ ∠AOC＝60°，∴∠OAH＝30°.设☉O的半径为r，∵OB≥OH＋BD，∴r≥ ＋5，解得r≥10，∴AC≥10 ，∴AC的最小值为10 ，∴△ABC的面积的最小值为 ×5×10 ＝25 . 针对训练7　如图，在△ABC中，点A到边BC的距离为30，∠BAC＝ 60°，则△ABC的周长的最小值为 ⁠. 60 　 【解析】如解图，作直线BC，在点B的左侧取点E， 使得BE＝AB，在点C的右侧取点F，使得CF＝AC， 连接AE，AF. 作△AEF的外接圆☉O，连接OA，OE， OF，过点O作OM⊥EF于点M，过点A作AH⊥EF于 点H. 设☉O的半径为r，易知∠EAF＝2∠BAC＝120°，∴∠EOF＝2×(180°－120°)＝120°，∴∠EOM＝60°，∴OM＝ r，EF＝ r.∵OA≥AH＋OM，∴r≥30＋ ，解得r≥60，∴EF＝ r≥60 ，∴△ABC的周长的最小值为60 . 问 题 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，当点C在何处时，∠ACB最大 结 论 当且仅当△ABC的外接圆☉P与边OM相切于点C时， ∠ACB最大 证 明 设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连接AC'， BC'，BC'交☉P于点D，连接AD. 由圆周角定理可知 ∠ACB＝∠ADB. 由三角形内外角关系可知∠ADB＞ ∠AC'B，∴∠ACB＞∠AC'B，∴当☉P与边OM相 切时，∠ACB最大 针对训练8　如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出 发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角 ∠MPN最大时，游客P行走的距离OP为 m. 20 　 【解析】如解图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于点E，以MN为直径作☉F. ∵MN＝2OM＝40 m，F是MN的中点，∴MF＝FN＝20 m，OF＝40 m.∵∠AOB＝30°，FE⊥OB，∴FE＝20 m，OE＝ FE＝20 m，∴FE＝MF. 又∵FE⊥OB，FE为☉F的半径，∴OB是☉F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20 m. 27 $