小专题培优8 点圆、线圆最值模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优8　点圆、线圆最值模型 一、小专题培优 (2025.23) 问题 已知平面内一定点A和☉O上一动点P，☉O的半径为r，OA＝ d，求A，P两点之间距离的最值 情况 图示 最小值 最大值 点A在圆内 当点P在OA的延长线上(即点P1处)时，AP取得最小值r－d 当点P在AO的延长线上(即点P2处)时，AP取得最大值r＋d 情况 图示 最小值 最大值 点A在圆上 当点P与点A重合时，AP取得最小值0 当点P在AO的延长线上(即点P2处)时，AP取得最大值r＋d 情况 图示 最小值 最大值 点A在圆外 当点P在OA上(即点P1处)时，AP取得最小值d－r 当点P在AO的延长线上(即点P2处)时，AP取得最大值r＋d 例1　如图，正方形ABCD的边长为4，点P是以AB为直径的半圆O上一 点，则CP的最小值为 ⁠. 2 －2　 【解析】连接OP，OC，OC交半圆O于点P'.∵OB＝ AB＝2，∴ 在Rt△OBC中，OC＝ 2 .∵CP≥OC－OP，∴CP≥2 －2，当点P与点P'重合时，CP取得最小值2 －2. 针对训练1　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以 D为圆心，BD长为半径作☉D，E是☉D上一点，若AB＝12，BC＝10， 则AE的最小值为 ，最大值为 ⁠. 8　 18　 【解析】当A，E，D三点在一条直线上时，线段AE的长取得最值.∵BC＝10，D是边BC的中点，∴BD＝5.∵∠ABC＝90°，∴AD＝ ＝13.当点A，E在BC的同侧时，AE有最小值，最小值为AD－DE＝13－5＝8；当点A，E在BC的异侧时，AE有最大值，最大值为AD＋DE＝13＋5＝18. 类型 圆上一动点、圆心与圆外一定点连线的夹角 圆上两动点与圆外一定点的连线的夹角 图示 → P是☉O上的动点，A是☉O外的定点 → P，Q是☉O上的动点，A是☉O外的定点 结论 当AP与☉O相切时，∠PAO最大 当AP，AQ都与☉O相切时，∠PAQ最大 例2　如图，☉O的半径为2，点A在圆外，且OA＝4，P是☉O上的动 点，则∠PAO的度数最大为 °，此时AP的长为 ⁠. 30　 2 　 【解析】分析可知，当AP与☉O相切时，∠PAO的度数最大，连接OP，此时∠APO＝90°.∵OP＝2，OA＝4，∴ sin ∠PAO＝ ＝ ，AP＝ ＝2 ，∴∠PAO＝30°. 问题 已知☉O与直线l，M是☉O上一动点，☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求点M到直线l的距离的最值 情况 图示 最小值 最大值 直线l与☉O相离 过点O作直线l的垂线，交☉O于点M1，当点M运动到点M1的位置时，点M到直线l的距离取得最小值d－r 过点O作直线l的垂线，其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值d＋r 情况 图示 最小值 最大值 直线l与☉O相切 连接OP，当点M与点P重合时，点M到直线l的距离取得最小值0 连接PO并延长，交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值2r 情况 图示 最小值 最大值 直线l与☉O相交 当点M为直线l与☉O的交点(即点M1和M1'处)时，点M到直线l的距离取得最小值0 过点O作直线l的垂线， 其反向延长线交☉O于点M2，当点M运动到点M2的位置时，点M到直线l的距离取得最大值d＋r 【技巧点拨】若N是直线l上的动点，则MN也在此处取得最小值，此时点N的位置为点O到直线l的垂线的垂足 例3　如图，等边三角形ABC的边长为4，☉C的半径为 ，P为AB上一 动点，过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ⁠. 3　 【解析】如解图，连接CQ，CP，过点C作CH⊥AB于点H. ∵PQ是☉C的切线，∴CQ⊥PQ，PQ＝ ＝ ，当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC· sin B＝2 ，∴PQ的最小值为 ＝3. 针对训练2　(2025邯郸丛台区校级模拟)如图，直径为2的半圆O与 Rt△ABC的边AC相切，圆心O在边AB上，若∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，P，Q分别是BC与半圆O上的动点，则PQ的最大值和最小值之积 是(　B　) B A. B. C. D. 【解析】如解图，设半圆O与Rt△ABC的边AC相切于 点D，连接OD，过点O作OF⊥BC于点F，交半圆O 于点E. ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝ ＝10.∵直径为2的半圆O与Rt△ABC的边 AC相切于点D，∴OD⊥AC，OD＝1，∴△ADO∽ △ACB，∴ ＝ ＝ ，∴AO＝ ，∴BO＝ .∵OF⊥BC，∴△BOF∽△BAC，∴ ＝ ＝ ，∴OF＝ ，当点P与点F重合，点Q与点E重合时，PQ有最小值，最小值为 －1＝ ，根据圆外的点到圆上的点距离最大时，需经过圆心，∴当点P与点B重合，且点Q也在线段AB上时，PQ取得最大值 ＋1＝ ，∴PQ的最大值和最小值之积为 × ＝ . 16 $