小专题培优7 “十”字模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优7　“十”字模型 一、小专题培优 类型 过顶点 不过顶点 正方 形中的“十” 字模型 常 见 模 型 结 论 △ABE≌△BCF， AE＝BF △EFM≌△HGN， EF＝GH △DAN≌△CDM， EF＝GH 类型 过顶点 不过顶点 矩形中的 “十” 字模型 常见 模型 结论 △ABN∽△DAM △EFM∽△KHN △ABN∽△DAM 【拓展】若在三角形中出现“十”字，可以先构造特殊四边形，如： → 从而得到△BCD∽△CAG 例　如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，E为 BC 的中点，G，H分别为AD，AB 边上的点，且DG＝3AG，∠GOF＝90°，则HF 的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M，过点F作 FN⊥AB于点N，则四边形ABMG和四边形ADFN都是 矩形，∴∠FNH＝∠GME＝90°，GM＝AB，NF＝ AD. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴GM＝NF. ∵∠HOE＝∠GOF＝90°，∠B＝90°，∴∠OHB＋∠GEM＝180°.又∵∠FHN＋∠OHB＝180°，∴∠GEM＝∠FHN，∴△GEM≌△FHN，∴GE＝HF. ∵正方形的边长为4，DG＝3AG，E为 BC 的中点，∴AG＝1，BE＝2，∴BM＝AG＝1，∴ME＝BE－BM＝1.∵GM＝AB＝4，∴GE＝ ＝ ，∴HF＝ . 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3 ，过点A作BD的垂线， 交BD于点F，交BC于点E，则EF的长为 ⁠. 　 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝3 .∵AB＝3，∴tan∠ADB＝ ＝ ，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°.∵AE⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE＝30°，∴AE＝ ＝2 ，AF＝AB· cos 30°＝ ，∴EF＝AE－AF＝ . 2. (1)如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？ 为什么？ 解：BF与AE相等.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵AE⊥BF， ∴∠BAE＋∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE， ∴△ABF≌△DAE， ∴BF＝AE. (2)如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中 点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，则AF∶FC的值为 ； 2　 【解法提示】过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于点M，延长BF交CM于点G，则四边形ABCM是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴▱ABCM是矩形.∵BA＝BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB＝BC＝CM，同(1)的方法，得△ABD≌△BCG，∴CG＝BD. ∵D是BC的中点，∴BD＝ BC＝ CM，∴CG＝ CM＝ AB. ∵AB∥CM，∴△AFB∽△CFG，∴ ＝ ＝2. (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD 于点E，交AC于点F，若AB＝3，BC＝4，则CF的长为 . 　 【解法提示】在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC ＝5.∵D是BC边的中点，∴BD＝ BC＝2.过点A作AN ∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于点N，延长BF 交CN于点P，则四边形ABCN是平行四边形.∵∠ABC＝ 90°，∴▱ABCN是矩形，同(1)的方法，得∠BAD＝ ∠CBP. ∵∠ABD＝∠BCP＝90°，∴△ABD∽△BCP，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CP＝ ，同(2)的方法，得△CFP∽△AFB，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CF＝ . 12 $