小专题培优2 与角平分线有关的常见辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 小专题培优2　与角平分线有关的常见辅助线作法 一、小专题培优 方法解读 【图示】 【条件】OP 平分∠MON，PA⊥OM. 【辅助线作法】过点P 作射线ON 的垂线PB. 【结论】PA＝ ⁠，△AOP≌ ⁠. PB　 △BOP　 例1　(2024承德期末变式)如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点 E，S△ABC＝9，DE＝2，AC＝4，则AB的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2.又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝9，AC＝4，∴ AB×2＋ ×4×2＝9，解得AB＝5. 针对训练1　如图，E是AD的中点，BE平分∠ABC. 若∠A＝∠D＝90°.求证：CE平分∠DCB. 证明：过点E作EM⊥BC于点M. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴DA⊥AB，DA⊥CD. ∵BE平分∠ABC， ∴AE＝ME. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝ME. ∵DA⊥CD，EM⊥BC， ∴CE平分∠DCB. 方法解读 【图示】 【条件】OP 平分∠MON，AP⊥OP. 【辅助线作法】延长AP 交ON 于点B . 【结论】△AOB是 三角形，OA＝ ⁠，△AOP≌ ⁠. 等腰　 OB　 △BOP　 例2　如图，在四边形ACDB中，AB＝13，AD平分∠BAC，BD⊥AD于 点D，连接CD，AC＝ ，则CD的长为 　 　. 　 【解析】延长BD，AC交于点E. ∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，∴AE＝AB＝13.∵AC＝ ，∴C是AE的中点，∴在Rt△ADE中，CD＝ AE＝ . 针对训练2　如图，M是△ABC的边AB的中点，∠ACN＝∠BCN，且 CN⊥AN，AC＝3，AB＝5，MN＝ ，求△ABC的周长. 解：如解图，延长AN交BC于点D. ∵CN⊥AN，∴∠ANC＝∠DNC＝90°. 又∵∠ACN＝∠DCN，CN＝CN， ∴△ANC≌△DNC(ASA)，∴CD＝AC＝3，AN＝ND. 又∵M是边AB的中点， ∴MN是△ABD的中位线， ∴BD＝2MN＝2× ＝ ， ∴△ABC的周长＝AC＋AB＋BC＝3＋5＋3＋ ＝ . 方法解读 【图示】 【条件】OP 平分∠MON. 【辅助线作法】PQ∥ON. 【结论】∠1＝∠3，△OPQ是 三角形. 等腰　 【拓展】也可作角平分线的平行线，如： 作QC∥OP交NO的延长线于点C， 则∠3＝∠4，△COQ是等腰三角形. 例3　(2024秦皇岛校级模拟)如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB， PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C. 若PC＝10，则OC＝ ⁠， PD＝ ⁠. 10　 5　 【解析】∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP. ∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，∴PC＝OC.∵PC＝10，∴OC＝10.如解图，过点P作PE⊥OA于点E. ∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，∴PD＝PE. ∵PC∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°.在Rt△ECP中，PE＝ PC＝5，∴PD＝PE＝5. 针对训练3　 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点D在AC边上，且 BD平分∠ABC，求 的值. 解：解法1：过点D作DE∥AB交BC于点E， 则∠ABD＝∠BDE. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDE＝∠DBC，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝a，则CE＝8－a. ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得a＝ ， ∴BE＝DE＝ ，CE＝ ，∴ ＝ ＝2. 解法2：过点A作AF∥BD交CB的延长线于点F， 则∠FAB＝∠ABD，∠F＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠FAB＝∠F， ∴FB＝AB＝4. ∵AF∥BD， ∴ ＝ ＝2. 方法解读 【图示】 【条件】OP 平分∠MON. 【辅助线作法】作AP关于OP 的对称线段BP. 【结论】△AOP≌ ⁠. △BOP　 例4　如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A＋∠C＝180°. 证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD. 又∵AB＝BE，BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD， ∴AD＝ED，∠A＝∠BED. ∵AD＝CD，∴ED＝CD， ∴∠DEC＝∠C. ∵∠BED＋∠DEC＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°. 针对训练4　如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是 ∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE. 求证：BC＝ AB＋CE. 证明：在BC上截取BF＝AB，连接DF. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠2. 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(SAS)， ∴DF＝DA＝DE，∠A＝∠BFD. 又∵∠A＝100°，∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝40°＝∠ABC， ∠DFC＝180°－∠BFD＝80°， ∠ABD＝20°， ∴∠FDC＝60°. ∵∠EDC＝∠ADB＝180°－∠ABD－∠A＝60°， ∴∠FDC＝∠EDC， ∴△DCE≌△DCF(SAS)， ∴CE＝CF， ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE，即BC＝AB＋CE. 18 $