小专题培优1 与中点有关的常见辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破配套课件（河北专用）

数 学 河北 二轮专项突破 1 一、小专题培优 小专题培优1　与中点有关的常见辅助线作法 (10年5考) 方法解读 【图示】 【条件】Rt△ABC，D是斜边AB的中点. 【辅助线作法】连接CD. 【结论】CD＝AD＝BD＝ AB. 例1　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，D是BC的中 点，延长BA至点E，使得AE＝BD，连接DE，则∠BED的度数 为 ⁠. 20°　 【解析】连接AD. ∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝BD，∴∠DAC＝∠C＝50°，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝140°.∵AE＝BD，AD＝BD，∴AE＝AD，∴∠BED＝∠ADE＝ ＝20°. 针对训练1　如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC＝∠BEC＝90°，O为 BC的中点，BD，CE相交于点A，∠BAC＝120°.求证：DE＝OE. 证明：连接OD. ∵∠BDC＝∠BEC＝90°，O为BC的中点， ∴OD＝OE＝OB＝OC， ∴∠CBA＝∠BDO，∠BCA＝∠CEO. ∵∠BAC＝120°， ∴∠CBA＋∠BCA＝180°－120°＝60°. ∵∠BOE＝∠BCA＋∠CEO＝2∠BCA,∠COD＝∠CBA＋∠BDO＝2∠CBA, ∴∠BOE＋∠COD＝2(∠BCA＋∠CBA)＝2×60°＝120°， ∴∠DOE＝180°－120°＝60°， ∴△DOE是等边三角形，∴DE＝OE. 方法解读 【图示】 【条件】AB＝AC，D是底边BC的中点. 【辅助线作法】连接AD. 【结论】AD BC，AD ∠BAC. ⊥　 平分　 例2　如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC边的中点， MN⊥AC于点N，则MN的长为 ⁠. 　 【解析】连接AM. ∵AB＝AC，M为BC的中点，∴AM⊥CM，BM＝CM＝ BC＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴AM＝ ＝4.又∵S△AMC＝ MN·AC＝ AM·CM，∴MN＝ ＝ . 针对训练2　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的 中点，E是AB的四等分点，且靠近点A，若S△BDE＝ ，求BC的长. 解：连接AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. 又∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴AD＝BD·tanB＝ BD， ∴S△ABD＝ BD·AD＝ BD2. ∵E是AB的四等分点，且靠近点A，S△BDE＝ ， ∴S△ABD＝ S△BDE＝ ， ∴ BD2＝ ，解得BD＝ (负值已舍去)， ∴BC＝2BD＝2 . 方法解读 情形1：有两个中点 【图示】 或 【条件】D，E分别是AB，AC的中点. 【辅助线作法】连接DE构造中位线，或连接BC构造含中位线的三角形. 情形2：有一个中点 【图示】 【条件】D是AB的中点. 【辅助线作法】过点D作DE∥BC交AC于点E. 【结论】DE∥ ⁠，DE＝ BC，△ADE∽ ⁠， S△ADE＝ S△ABC. BC　 　 △ABC　 【拓展】也可在三角形外作平行线，如： 例3　如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，BC的 中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ⁠. 　 【解析】连接DE. ∵在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴∠C＝60°，DE是△ABC的中位线，BD＝BE＝EC＝1，∴DE＝ AC＝1，DE∥AC. ∵EF⊥AC，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝ EC＝ ，∴EF＝ ＝ .∵G为EF的中点，∴EG＝ ，∴DG＝ ＝ . 针对训练3　如图，在四边形ABCD中，E，F分别是DC，AD的中点， EF⊥AB. 若BC＝13，AB＝5，则EF的长为(　A　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 A 【解析】连接AC. ∵E，F分别是DC，AD的中点，∴EF∥AC，EF＝ AC. 又∵EF⊥AB，∴AC⊥AB，∴∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，AC＝ ＝12，∴EF＝ AC＝6. 针对训练4　多解法　如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为边AC的中 点，点E在边BC上，连接DE. 若AB＝4，∠DEC＝60°，求DE的长. 解：解法1：如解图1，过点D作DH⊥BC于点H， 则DH∥AB， ∴△CDH∽△CAB， ∴ ＝ ＝ ， ∴DH＝ AB＝2. ∵∠DEC＝60°， ∴DE＝ ＝ . 解图1 解图2 解法2：如解图2，过点A作AK∥DE交CB的延长线于点K. ∴△CDE∽△CAK，∠K＝∠DEC＝60°， ∴ ＝ ＝ ，AK＝ ＝ ， ∴DE＝ AK＝ . 方法解读 【图示】 【条件】D是BC的中点，DE⊥BC. 【辅助线作法】连接BE. 【结论】BE＝ ，ED平分∠ ⁠. CE　 BEC　 例4　如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8 cm，D 是BC的中点，且DE⊥BC，则BE的长是 ⁠. 16 cm　 【解析】连接CE. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°－∠BCA＝15°.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝15°，∴∠ACE＝∠BCA－∠BCE＝60°.在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，∴∠AEC＝90°－∠ACE＝30°，∴CE＝2AC＝16(cm).∵BE＝CE，∴BE＝16 cm. 针对训练5　(2024石家庄十八县二模)如图，点E是△ABC的外心，P，Q 分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，分别交BC于点F，D，若BF＝ 5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为 ⁠. 24　 【解析】连接AF，AD. ∵点E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，∴EP⊥AB，EQ⊥AC，∴AF＝BF＝5，AD＝DC＝4.∵DF＝3，∴DF2＋AD2＝AF2，∴∠ADF＝90°.∵BC＝BF＋DF＋DC＝5＋3＋4＝12，∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×12×4＝24. 方法解读 情形1：弦的中点 【图示】 【条件】FC 是☉O 的直径，E是弦AB 的中点. 【辅助线作法】连接AO. 【结论】AE＝ ⁠，FC⊥ ⁠，AE2＋ ＝OA2. BE　 AB　 OE2　 情形2：弧的中点 【图示】 【条件】C 是 的中点. 【辅助线作法】连接OC交AB于点E. 【结论】AE＝ ⁠， ＝ ，OC⊥ ， ∠ADC＝ ∠AOC. BE　 　 AB　 　 例5　如图，AB是☉O的直径，E是弦CD的中点，若BE＝CD＝8，则 ☉O的半径是(　A　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 A 针对训练6　如图，点A，B，C，D在☉O上，A为 的中点，OA交弦 BC于点E. 若∠ADC＝30°，AE＝1，求BC的长. 解：连接OC. ∵A为 的中点， ∴OA⊥CB，CE＝BE. ∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°. 设☉O的半径为r， 在Rt△COE中， ＝ ＝ cos 60°＝ ， ∴r＝2，即OC＝2，OE＝1， ∴CE＝ ＝ ， ∴BC＝2CE＝2 . 24 $