第4章 第7节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦相似三角形及位似核心考点，严格对接冀教、人教等版本教材，依据中考说明梳理比例性质、平行线分线段成比例等基础知识点，重点分析相似三角形判定与性质的必考权重，归纳A字型、8字型等常考模型及实际应用题型。 课件亮点在于“母题变式+真题训练”模式，如通过2025河北真题“化石长度测量”强化成比例线段应用，以“一线三等角型”等边三角形证明培养推理能力，结合易错点“正方形动点相似”指导分类讨论，助力学生掌握几何直观与逻辑推理，为教师提供系统复习框架，提升中考冲刺效率。

数 学 河北 课堂精讲册 1 第四章　三角形 第七节　相似三角形(含位似) 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 人教：九下第二十七章P23～P59；冀教：九上第二十五章 P57～P102；北师：九上第四章P76～P123. 返回目录 1. 比例的性质 基本 性质 (1)若 ＝ ，则ad＝bc；(交叉相乘) (2)若ad＝bc(a，b，c，d都不为0)，则 ＝① 　 　 等比 性质 若 合比 性质 若 =，则=，= 　 返回目录 2. 成比例线段 　　对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的 比)与另两条线段的比相等，如 ＝ (即ad＝bc)，我们就说这四条线段成 比例.特别地，如果 ＝ ，即b2＝ac，就把b叫作a，c的比例中项. 返回目录 3. 黄金分割 　　如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 ＝ ，那么就说 线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比 叫作黄金比，即 ＝ ≈0.618. 返回目录 内容 几何表述 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 如图，l1∥l2∥l3，则 ＝ ， ＝② 　 ， ＝③ ⁠ 　 　 返回目录 内容 几何表述 推 论 平行于三角形一边 的直线截其他两边 (或两边的延长线)， 所得的对应线段成 比例 如图，DE∥BC，则 ＝ ④ ⁠， ＝⑤______ 　 　 返回目录 1. 性质与判定 性 质 (1)相似三角形的对应角⑥ ，对应边⑦ ⁠； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等 于⑧ ⁠； (3)相似三角形的周长比等于⑨ ，面积比等于⑩ ⁠ ⁠ 相等　 成比例　 相似比　 相似比　 相似比 的平方　 返回目录 判 定 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC 三边⑪ ⁠ ⁠的两个三角形相似 ∵ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△A′B′C′ 成比例 返回目录 方法 图示 几何表述 判 定 两边成比例且 ⑫ ⁠相等的两个三角形相似 ∵ ＝ ，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 两角分别⑬ ⁠的两个三角形相似 ∵∠A＝∠A′，∠B＝ ∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 夹角　 相等 返回目录 2. 相似三角形的常见模型 类型 图示 结论 A字型 正A 斜A，∠1＝∠2 △ADE∽△ABC (注意隐含条件：公共角 相等) 8字型 正8(X型) 斜8(蝶型) △ADE∽△ABC (注意隐含条件：对顶角 相等) 返回目录 类型 图示 结论 一线三等角型 　 　 　 △ABC∽△PDB 直角三角形斜边高线型 △ACD∽△ABC∽ △CBD 【链接】更细致的一线三等角模型、手拉手(旋转)模型、对角互补模 型、“十”字模型讲解见二轮专项突破册P10～P15. 返回目录 3. 相似三角形的实际应用 　　运用相似三角形的有关性质可解决现实生活中的问题，如：①利用光 的反射定律求物体的高度；②利用太阳光下的影子计算建筑物的高度：同 一时刻，物高和影长成正比，即 ＝ . 返回目录 概 念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似 比 性 质 (1)相似多边形的对应角⑭ ，对应边⑮ ⁠； (2)相似多边形的周长比等于⑯ ，面积比等于⑰ ⁠ ⁠ 相等　 成比例　 相似比　 相似比 的平方　 返回目录 概 念 如图，如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的 点A′，B′，…，P′，…分别对应，并且它们的连线AA′， BB′，…，PP′，…都经过同一点O， ＝ ＝…＝ ＝…， 那么这两个图形叫作位似图形，点O是位似中心 返回目录 性 质 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质(位似必相似，相 似不一定位似)； (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于⑱ ⁠ ⁠； (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形 位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x，y) 对应的位似图形上的点的坐标为⑲ (注 意：有同侧和异侧两种情况) 相 似比　 (kx，ky)或(－kx，－ky)　 返回目录 1. (冀教九上P61T1变式)若 ＝ ，则下列式子成立的是 .(填 序号) ①2a＝3b；② ＝ ；③b＝ a；④ ＝ ；⑤ ＝ ； ⑥ ＝ ；⑦ ＝2. ②④⑤⑥　 返回目录 2. (2025河北4题)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游 览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支 笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm， 笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为(　C　) A. 2 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm C 返回目录 3. (人教九下P29探究变式)如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平 行线分别交于点A，C，E和点B，D，F. 已知AC＝3，CE＝6，BF＝ 6，则BD的长为 ⁠. 2　 返回目录 4. ［A字型］在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE. (1)如图1，若∠ADE＝∠ACB， ＝ ，AE＝4，则AB＝ ⁠， ＝ 　 ； 6　 　 返回目录 (2)如图1，若D是AB的中点，AD＝2，AC＝3，AE＝ ，那么△ADE和 △ACB是相似三角形吗？ (填“是”或“否”)，依据是 ⁠ ⁠； (3)如图2，当点E与点C重合时，若∠ACD＝∠B，AD＝6，BD＝4，则 AC＝ ⁠. 是　 两边成比 例且夹角相等的两个三角形相似　 2 　 返回目录 5. ［8字型］同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带 “小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半， 当蜡烛火焰的高度AB为1.6 cm时，所成的像的火焰的高度A′B′ 为 cm. 3.2　 返回目录 6. ［一线三等角型］如图，在等边三角形ABC中，点E，P，F分别在边 AC，AB，BC上，∠EPF＝60°.求证：△APE∽△BFP. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠AEP＋∠APE＝120° . ∵∠EPF＝60°， ∴∠APE＋∠BPF＝120°， ∴∠AEP＝∠BPF， ∴△APE∽△BFP. 返回目录 7. ［直角三角形斜边高线型］如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的 高.若AD＝4，CD＝2，则BD的长为 ⁠. 2 　 返回目录 8. ［手拉手(旋转)型］如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α(α 为锐角)得到 △ADE，点D与点B对应，连接BD，CE. 求证：△ABD∽△ACE. 证明：∵△ABC绕点A顺时针旋转α 得到△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴ ＝ ，∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE. 返回目录 9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，两个动点M 和N分别在边CD和AD上运动，且MN＝1.若△ABE与以D，M，N为顶 点的三角形相似，则DM的长为 . 或 　 返回目录 10. (人教九下P28T6变式)将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方 形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新 图形，它们的对应边的间距均为1，则新图形与原图形相似的有 个. 2　 返回目录 11. (人教九下P51T5变式)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标 分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩 小后得到的△DEF与△ABC的对应边的比为1∶2，则点A的对应点D的坐 标为 ⁠. 请完成分层练习册P67～P69习题 (1，1)或(－1，－1)　 返回目录 31 $