第4章 第9节 解直角三角形的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册配套课件（河北专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“解直角三角形的实际应用”核心考点，严格对接中考说明，分析方位角（10年5考）和解直角三角形应用（2024.22、2022.24真题）的考查权重，归纳坡度计算、方向角判断、仰角俯角应用等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+技巧突破”模式，如2024河北22题通过构造直角三角形、运用三角函数求解仰角问题，培养学生几何直观和运算能力（数学思维）。典型题型如机器狗高度计算、登山路线长度求解等实例解析，帮助学生掌握辅助线添加、数据转化技巧，教师可依此设计分层训练，提升学生中考得分率。

数 学 河北 分层练习册 1 第四章　三角形 第九节　解直角三角形的实际应用 考点1　方位角(10年5考；2023.2) 1. 如图，某校要在坡度i＝1∶ 的山坡AB上进行义务植树，则坡角 ∠BAC的度数为(　A　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° A 2. (2025邢台信都区二模)如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做 一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的 (　D　) A. 南偏西68°方向上 B. 南偏西22°方向上 C. 北偏东22°方向上 D. 北偏东68°方向上 D 3. 如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从P出发向北 走6 km也到达l，下列说法错误的是(　A　) A. 从点P向北偏西45°走3 km到达l B. 公路l的走向是南偏西45° C. 公路l的走向是北偏东45° D. 从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l A 【解析】如解图，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB＝6 km， ∴∠PAB＝∠PBA＝45°，AB＝ ＝6 (km).过点P作 PC⊥AB，垂足为C，则∠BPC＝45°，PC＝AC＝BC＝ AB＝ ×6 ＝3 (km)，∴从点P向北偏西45°走3 km到达l，选项A错 误；过点A作DE⊥PA，则∠1＝∠2＝90°－45°＝45°，∴公路l的走 向是北偏东45°或南偏西45°，选项B和C正确；过点C作CF⊥PB于点 F. 在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，PC＝BC，PB＝6 km，∴CF＝BF ＝PF＝ PB＝ ×6＝3(km)，即从点P向北走3 km后，再向西走3 km到 达l，选项D正确. 考点2　解直角三角形的实际应用(2024.22，2022.24) 4. (2025邯郸育华中学模拟)最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展 迅速.在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角(图1).图2是机器狗 正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20 cm，∠ABC＝120°.机器 狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态 下的高度为 cm. 图1 20 　 图2 【解析】如解图，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D. ∵AB＝BC＝20 cm，∠ABC＝120°，∴AC＝2AD，∠A＝∠C＝30°，∴BD＝ AB＝10(cm)，∴AD＝ ＝10 (cm)，∴机器狗正常状态下的高度AC＝2AD＝20 (cm). 5. (2025唐山路南区校级三模)如图，已知山坡AB的坡度为i1＝1∶2.4，山 坡BC的坡度为i2＝1∶0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平 面AD的距离为100 m，山坡CD的长为1000 m.某登山队沿山坡AB－BC 上山后，再沿山坡CD下山. (1)山顶点C到水平面AD的距离为 m； 【解析】如解图，过点C作CF⊥AD，垂足为F. 在Rt△CDF中，∵ sin D＝ ，∠D＝30°，CD＝ 1000 m，∴CF＝CD· sin D＝500(m)，∴山顶点C到 水平面AD的距离为500 m. 500　 (2)山坡AB－BC的长为 m. 【解析】如解图，过点B作BH⊥AD于点H，BE⊥CF于点E，则四边形BHFE是矩形，∴BH＝EF＝100 m，CE＝CF－EF＝400(m)，在Rt△ABH中，∵AB的坡度为i1＝1∶2.4＝BH∶AH，∴AH＝2.4BH＝ 240(m)，∴AB＝ ＝260(m).在Rt△BEC中，∵山坡BC的坡度为i2＝1∶0.75＝CE∶BE，∴BE＝0.75CE＝300(m)，∴BC＝ ＝500(m)，∴山坡AB－BC的长为260＋500＝760(m). 760　 6. 近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采 取了专业性的保护措施.如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被 古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西75°方向，古树C在北偏 东30°方向.该工作人员从A处走了20 m到达古树B后，又在B处测得古 树C在北偏东60°方向上. (1)求∠C及∠ABC的度数； 解：过点A作AD∥BE交BC于点D. ∵BE∥AD， ∴∠BDA＝∠EBD＝60°， ∴∠C＝∠BDA－∠CAD＝30°. ∵BE∥AD，∴∠EBA＋∠BAD＝180°. ∵∠EBD＝60°，∠BAD＝75°， ∴∠ABC＝180°－75°－60°＝45°. (2)求两棵古树B，C之间的距离(结果保留根号). 解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGD＝90°， 在Rt△ABG中，∠ABC＝45°，AB＝20 m， ∴∠BAG＝45°， ∴BG＝AG＝AB· sin 45°＝10 (m). ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝105°，∠BAG＝45°， ∴∠GAC＝105°－45°＝60°， 在Rt△ACG中，CG＝AG·tan60°＝10 (m)， ∴BC＝BG＋CG＝(10 ＋10 )m， 即两棵古树B，C之间的距离为(10 ＋10 )m. 7. [科学素质](2024河北22题9分)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴 趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距 窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过 点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地 面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延 长线交PQ于点E. (注：图中所有点均在同一平面) (1)求β的大小及tanα的值； 解：由题意，得PQ⊥AE，PQ＝2.6 m， AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m， AC＝BD＝3 m， ∴CE＝1 m，PE＝1 m，∠CEP＝90°， ∴CE＝PE， ∴β＝∠PCE＝45°， tanα＝tan∠PAE＝ ＝ . (2)求CP的长及 sin ∠APC的值. 解：∵CE＝PE＝1 m，∠CEP＝90°， ∴CP＝ m. 如解图，过点C作CH⊥AP于点H. ∵tanα＝tan∠PAE＝ ＝ ， 设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2＋(4x)2＝AC2＝9， 解得x＝ (负值已舍去)，∴CH＝ (m)， ∴ sin ∠APC＝ ＝ . 8. (2025邯郸育华中学模拟)如图，笔直的海岸线l上有A，B两个观测 站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西 60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距 离为20海里，渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到达点C， 此时从B处测得渔船在北偏西15°的方向. (1)∠CAB＝ °，∠ACB＝ °； 30　 45　 (2)求观测站A，B之间的距离(结果保留根号)； 解：如解图，过点P作PD⊥AB于点D，则∠BDP＝∠ADP＝90°， 在Rt△PBD中，∠PBD＝90°－45°＝45°，BP＝20海里， ∴BD＝DP＝BP· sin 45°＝10 (海里)， 在Rt△PAD中，∠PAD＝90°－60°＝30°， ∴AD＝ ＝10 (海里)， ∴AB＝BD＋AD＝(10 ＋10 )海里. 答：观测站A，B之间的距离为(10 ＋10 )海里. (3)求点C与点B之间的距离(结果保留整数).(参考数据： ≈1.73) 解：根据题意，得∠ABC＝105°. 如解图，过点B作BF⊥AC于点F， 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°， ∴BF＝ AB＝(5 ＋5 )海里. 在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°， ∴BC＝ BF＝10＋10 ≈27(海里). 答：点C与点B之间的距离约为27海里. 19 $