第17讲 差倍问题-四年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第17讲 差倍问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 1. 知识体系全景梳理 1 2. 专题核心图表记忆法 1 3. 奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基础差倍问题 2 📌 考点二：年龄差倍问题 3 📌 考点三：隐藏差倍问题 3 📌 考点四：带余差倍问题 4 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 5 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 6 🌱 基础夯实篇（8 题） 6 🚀 能力进阶篇（6 题） 6 🧠 思维跃迁篇（6 题） 7 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 9 🌱 基础夯实篇（8 题） 9 🚀 能力进阶篇（6 题） 10 🧠 思维跃迁篇（6 题） 11 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 1. 知识体系全景梳理 差倍问题是小学奥数应用题模块的核心内容，围绕已知两数差与倍数关系求两数展开，核心解题思想是画线段图→找1倍量→求1倍量→求多倍量，需精准掌握以下知识点： 差倍类型 解题方法 核心公式 关键注意事项 基础差倍 画线段图，小数为1倍量，大数为几倍量 小数=差÷(倍数-1)，大数=小数×倍数=差+小数 找准谁是1倍量，差对应的总倍数是倍数-1 多量差倍 统一1倍量，多个量都转化为1倍量的倍数 总差对应总倍数，1倍量=总差÷(倍数差) 注意多量之间的倍数和差的关系，统一为同一个1倍量 年龄差倍 年龄差不变，差固定不变 年龄差÷(倍数-1)=小数年龄 年龄差永远不变，倍数会随时间变化 隐藏差倍 先找隐藏的差，再用基础差倍公式 先根据已知条件求出两数的差，再套用公式 差是对应倍数下的差，不要找错差 带余差倍 多退少补转化为基础差倍 小数=(差-余数)÷(倍数-1) 或 (差+补数)÷(倍数-1) 多的部分减去，少的部分补上，转化为整倍数差 2. 专题核心图表记忆法 问题类型 解题核心口诀 基础差倍 差倍问题好解决，先画线段找1倍，差除倍数减1，结果就是小数倍 多量差倍 多量差倍找公共倍，都转1倍算总差，差除差倍得1倍，再算各量对不对 年龄差倍 年龄差永远不变，用差除以倍数减1，得到小数年龄 隐藏差倍 先找隐藏的差值，再看倍数是几倍，套用公式算两数，验证结果对不对 线段图辅助 先画小数1倍长，再画大数几倍长，标出差对应段，数量关系一眼看 3. 奥数思维提升 ① 转化思维：把复杂的差倍问题转化为基础差倍模型，简化计算； ② 数形结合思维：用线段图梳理数量关系，把抽象的文字转化为直观的图形； ③ 对应思维：差要对应倍数差，1倍量对应1份，多倍量对应多份； ④ 不变思维：年龄差永远不变，差不变是年龄问题的核心。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基础差倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）果园里苹果树比梨树多120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各多少棵？ ✅ 解题步骤 ① 画线段图：梨树是1倍量（1段），苹果树是3倍量（3段），差是3-1=2段，对应120棵； 梨树： 苹果树： ② 1倍量（梨树）=120÷(3-1)=60棵； ③ 苹果树=60×3=180棵（或60+120=180棵）； ④ 验证：180-60=120，180÷60=3，符合条件。 答案：梨树60棵，苹果树180棵。 🔄 方法总结 基础差倍公式：小数=差÷(倍数-1)，大数=小数×倍数，核心是找到差对应的倍数差，差是2倍对应120棵，1倍就是60棵。 📌 考点二：年龄差倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）爸爸比小明大24岁，今年爸爸的年龄是小明的3倍，今年爸爸和小明各多少岁？ ✅ 解题步骤 ① 年龄差不变，永远是24岁，倍数差=3-1=2倍； ② 小明年龄=24÷(3-1)=12岁； ③ 爸爸年龄=12×3=36岁； ④ 验证：36-12=24，36÷12=3，符合条件。 答案：小明12岁，爸爸36岁。 🔄 方法总结 年龄差不变，差永远是固定值，用年龄差除以倍数差得到小数年龄，再求大数年龄。 📌 考点三：隐藏差倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）甲乙两筐苹果质量相等，从甲筐取12千克放入乙筐后，乙筐苹果是甲筐的3倍，原来两筐各多少千克？ ✅ 解题步骤 ① 原来相等，甲取12千克放乙筐后，乙比甲多12×2=24千克（差是24，不是12）； ② 倍数差=3-1=2倍，现在甲筐=24÷(3-1)=12千克； ③ 原来甲筐=12+12=24千克，乙筐原来也是24千克； ④ 验证：原来都是24，甲变12，乙变36，36÷12=3，符合条件。 答案：原来各24千克。 🔄 方法总结 隐藏差倍问题，先找隐藏的差，本题中移动12千克后差是24千克，不是12，因为一方减12一方加12，差是2倍的移动量。 📌 考点四：带余差倍问题 ✨ 典型例题 1（应用题）学校买来的篮球比足球多25个，篮球比足球的4倍多4个，篮球和足球各多少个？ ✅ 解题步骤 ① 篮球比足球的4倍多4个，减去多的4个，篮球正好是足球的4倍，此时差=25-4=21个； ② 倍数差=4-1=3倍，足球=21÷(4-1)=7个； ③ 篮球=7×4+4=32个（或7+25=32个）； ④ 验证：32-7=25，32÷7=4余4，符合条件。 答案：足球7个，篮球32个。 🔄 方法总结 带余差倍问题，多的部分减去，转化为整倍数差，用调整后的差除以倍数差得到1倍量，最后把多的部分加回来。 ⚠️ 易错避坑指南 —— 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 倍数差忘记减1 差120，倍数3，算120÷3=40，实际除以2 差对应的是倍数-1倍，不是倍数倍，除数是倍数-1 隐藏差算错 甲给乙12，差算12，实际是24 移动类差倍，差是2倍的移动量，一方减一方加，差是两倍 年龄差变化 过3年差增加3，实际差不变 年龄差永远不变，不会随时间变化 带余问题忘调整差 多4个直接用25÷3，实际要减4得21再除3 多的部分要减去，差调整为整倍数对应的差 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 大数是小数的5倍，大数比小数多20，小数是（ ），大数是（ ） 2． 爸爸比儿子大30岁，今年爸爸年龄是儿子的4倍，儿子今年（ ）岁 3． 甲比乙多18，甲是乙的3倍，甲是（ ），乙是（ ） 4． 苹果比梨多40千克，苹果是梨的5倍，梨有（ ）千克 5． 两个数的差是18，商是3，大数是（ ），小数是（ ） 二、选择题 6． 爷爷比小明大54岁，今年爷爷年龄是小明的7倍，小明今年（ ）岁 A.7 B. 8 C. 9 D.10 7． 甲班人数比乙班多40人，甲班是乙班的3倍，乙班有（ ）人 A.10 B. 20 C. 30 D.40 8． 两个数的差是24，大数是小数的4倍，大数是（ ） A.8 B. 16 C. 32 D.64 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 甲乙两数相等，甲数减少30，乙数增加15后，乙数是甲数的3倍，原来甲数是（ ） 10． 爸爸比儿子大28岁，明年爸爸年龄是儿子的3倍，儿子今年（ ）岁 11． 被除数比除数大16，商是3，被除数是（ ），除数是（ ） 12． 苹果比梨多50个，苹果比梨的6倍少5个，苹果有（ ）个 二、选择题 13． 有两根同样长的绳子，第一根剪去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根的3倍，原来两根绳子各长（ ）米 A.20 B. 25 C. 30 D.35 14． 小明的存款是小红的5倍，如果小明取出60元，小红存入20元，两人存款相等，小明原来存款（ ）元 A.100 B. 120 C. 80 D.150 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 甲乙两仓库大米重量相等，甲仓运出240吨，乙仓运出60吨后，乙仓是甲仓的3倍，原来两仓各多少吨？ 16． 今年妈妈年龄是女儿的4倍，3年前妈妈比女儿大27岁，今年母女各多少岁？ 17． 两筐苹果重量相等，从第一筐拿8千克放入第二筐后，第二筐是第一筐的2倍，原来每筐多少千克？ 18． 学校排球比足球多50个，如果再买40个排球，排球就是足球的6倍，原来排球和足球各多少个？ 19． 有大小两个整千数，大数是小数的3倍，它们最高位数字差4，这两个数各是多少？ 20． 甲比乙多存140元，如果乙取出60元，甲存入60元，甲的存款是乙的3倍，甲乙原来各存款多少元？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 🌱 基础夯实篇（8 题） 一、填空题 1． 【答案】5，25 ✅ 解题步骤： 小数=20÷(5-1)=5，大数=5×5=25。 【知识点睛】基础差倍公式，差÷(倍数-1)=小数。 2． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 24÷(3-1)=12？哦差是30，倍数4，30÷(4-1)=10岁。 【知识点睛】年龄差不变，用差除以倍数差。 3． 【答案】27，9 ✅ 解题步骤： 乙=18÷(3-1)=9，甲=9×3=27。 【知识点睛】基础差倍计算。 4． 【答案】10 ✅ 解题步骤： 40÷(5-1)=10千克。 【知识点睛】差40，倍数差4，除以4得梨的重量。 5． 【答案】27，9 ✅ 解题步骤：商3说明大数是小数的3倍，差18，小数=18÷(3-1)=9，大数=27。 【知识点睛】商就是倍数关系，转化为差倍问题。 二、选择题 6． 【答案】C ✅ 解题步骤： 54÷(7-1)=9岁。 【知识点睛】年龄差54，倍数差6，相除得小明年龄。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤： 40÷(3-1)=20人。 【知识点睛】差40，倍数差2，相除得乙班人数。 8． 【答案】C ✅ 解题步骤： 小数=24÷(4-1)=8，大数=8×4=32。 【知识点睛】先求小数，再乘倍数得大数。 🚀 能力进阶篇（6 题） 一、填空题 9． 【答案】52.5？不对，调整：甲减少30，乙增加15，差=30+15=45，倍数差2，现在甲=45÷2=22.5，原来甲=22.5+30=52.5，哦取整数，差是45，倍数3，甲现在22.5，原来52.5。 【知识点睛】差是减少的加增加的，30+15=45，除以倍数差2得现在的甲。 10． 【答案】13 ✅ 解题步骤： 明年年龄差还是28，倍数差2，明年儿子=28÷2=14岁，今年13岁。 【知识点睛】注意是明年的倍数，算出来明年年龄减1是今年的。 11． 【答案】24，8 ✅ 解题步骤： 商3说明被除数是除数的3倍，差16，除数=16÷(3-1)=8，被除数=24。 【知识点睛】商就是倍数，转化为差倍。 12． 【答案】61 ✅ 解题步骤： 少5个，补5个差=50+5=55，倍数差5，足球=55÷5=11，苹果=11×6-5=61。 【知识点睛】少的部分补上，差调整为55，再除以倍数差。 二、选择题 13． 【答案】B ✅ 解题步骤： 差=12+14=26？不对，第一根减12，第二根加14，差=12+14=26，倍数差2，现在第一根=26÷2=13，原来=13+12=25米。 【知识点睛】差是剪去的加接上的，除以倍数差得现在的第一根长度，加剪去的得原长。 14． 【答案】A ✅ 解题步骤： 差=60+20=80元，倍数差4，小红原来=80÷4=20元，小明=20×5=100元。 【知识点睛】小明取出60小红存入20，差是80元，除以倍数差4得小红原来存款。 🧠 思维跃迁篇（6 题） 15． 【答案】330吨 ✅ 解题步骤： 差=240-60=180吨，倍数差2，现在甲=180÷2=90吨，原来=90+240=330吨。 【知识点睛】差是运出的差，240-60=180，除以倍数差2得现在的甲，加运出的得原来的。 16． 【答案】妈妈36岁，女儿9岁 ✅ 解题步骤： 年龄差27，倍数差3，女儿=27÷(4-1)=9岁，妈妈=36岁。 【知识点睛】年龄差27不变，除以倍数差3得女儿年龄。 17． 【答案】24千克 ✅ 解题步骤： 差=8×2=16千克，倍数差1，现在第一筐=16÷1=16千克，原来=16+8=24千克。 【知识点睛】移动8千克，差是16千克，除以倍数差1得现在第一筐重量，加8得原重。 18． 【答案】足球18个，排球68个 ✅ 解题步骤： 买40个后排球比足球多50+40=90个，倍数差5，足球=90÷5=18个，排球=18+50=68个。 【知识点睛】差调整为50+40=90，除以倍数差5得足球数量。 19． 【答案】2000和6000 ✅ 解题步骤： 大数是小数3倍，差是2倍的小数，最高位差4，2倍小数的最高位是4，小数最高位是2，大数是6，所以小数2000，大数6000。 【知识点睛】整千数，最高位差4，倍数3，所以是2000和6000。 20． 【答案】甲330元，乙190元 ✅ 解题步骤： 乙取60甲存60后，差=140+60+60=260元，倍数差2，现在乙=260÷2=130元，原来乙=130+60=190元，甲=190+140=330元。 【知识点睛】差调整为140+60+60=260，除以倍数差2得现在乙的存款，加取出的60得原来乙的存款。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $