专题15 二次根式的运算的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题15 二次根式的运算的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知最简二次根式求参数 类型二、已知同类二次根式求参数 类型三、二次根式的混合运算 类型四、二次根式中的分母有理化 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 压轴专练 类型一、已知最简二次根式求参数 方法总结 1. 定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2. 建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求解。 解题技巧 1. 化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。 2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他条件（如被开方数非负）。 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 【变式1-1】（2025·河北石家庄·二模）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 类型二、已知同类二次根式求参数 方法总结 1. 化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。 2. 定义列式：根据“同类二次根式”定义——被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参数的方程。 解题技巧 1. 忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。 2. 验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开方数≥0）。 例2．（25-26九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到，据此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与 是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：6． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 根据同类二次根式需被开方数相同得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南开封·期末）将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 【答案】80 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解． 先化简，令，根据符合条件的n的值，再求解出a的值即可． 【详解】解：∵， 又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并． 则化简后是，其中为整数， 即可以转化为2乘以一个平方数， 令（为正整数），则， 又，解得， ∴满足条件的n的值为1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴所有符合条件的的值的和为． 故答案为：80． 类型三、二次根式的混合运算 方法总结 1. 顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。 2. 统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。 解题技巧 1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。 2. 有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的性质化简括号内的，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （3）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） （4） ． 【变式3-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可． （4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型四、二次根式中的分母有理化 方法总结 1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用()()=a消去分母根号。 2. 和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+的共轭是a-），利用平方差公式化简。 解题技巧 1. 观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。 2. 预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子：______； (2)直接写出式子的值：______； (3)计算：（为正整数）． 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2） ． 故答案为：2024， （3）依题意， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 方法总结 1. 读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。 2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。 解题技巧 1. 实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2. 化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 方法总结 1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。 2. 归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含n的代数式（通项公式或运算规律）表示出来。 解题技巧 1. 对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。 2. 验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。 例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江西南昌·期末）若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 2．（25-26八年级下·河南开封·月考）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算正确，符合题意； 、∵与不是同类二次根式，无法合并， ∴，该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解． 【详解】解：x，y满足等式，，， ∴，， 解得，， ∵m是的小数部分，， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）设，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，，，得出一般规律，从而得出，进而代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 二、填空题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式． 先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 10．（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 三、解答题 13．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的运算法则和性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 18．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15二次根式的运算的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知最筒二次根式求参数 类型二、已知同类二次根式求参数 类型三、二次根式的混合运算 类型四、二次根式中的分母有理化 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、已知最简二次根式求参数 方法总结 1.定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽 方的因数或因式。 2.建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求解。 解题技巧 1.化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。 2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他条 件（如被开方数非负）。 例1.(2026八年级下.全国.专题练习)如果两个最简二次根式V1+a与√6a-4的被开方数相同，那么a= 【变式1-1】(2025·河北石家庄·二模)若√2a-4是最简二次根式，则整数a的最小值为 【变式1-2】(25-26八年级上·湖南长沙·月考)已知二次根式√23-a化成最简二次根式后与√2被开方数相 同.若a是正整数，则a的最小值为 【变式1-3】(25-26八年级上陕西安康·期中)已知二次根式√25-a与√⑧化成最简二次根式后，被开方数 相同，若a是正整数，则a的最小值为· 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、已知同类二次根式求参数 方法总结 1.化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。 2.定义列式：根据“同类二次根式”定义一一被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参数 的方程。 解题技巧 1.忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。 2.验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开方 数≥0)。 例2.(25-26九年级上四川资阳期末)若最简二次根式Vm-1与5是同类二次根式，则1=一 【变式2-1】(25-26七年级上山东济南期末)若最简二次根式√2a+1与3√5是同类二次根式，则a=」 【变式2-2】(25-26八年级上·上海期末)已知最简二次根式√9-a2与√a+7是同类二次根式，则a= 【变式2-3】(25-26八年级上河南开封期末)将式子√35-a(a为正整数)化为最简二次根式后，可以与 √⑧合并.所有符合条件的a的值的和为 类型三、二次根式的混合运算 方法总结 1.顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。 2.统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。 解题技巧 1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。 2.有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例3.（25-26八年级上·广东深圳月考)计算： (①)v18-2w8-2: ②5t而-+- 5 【变式3-1】(25-26八年级上山东青岛月考)计算： s-厄+眉 ②2T5+眉vis-va 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8V4- √5 5+(2-√3)(2+5) 【变式3-2】(25-26八年级上广东深圳周测)计算： aa-6得w 8÷25; 225+52)2w5-52)-(5-2. ow-5 ④(2+1°-(2+5)5-2) 【变式3-3】(24-25八年级上山东济南期中)计算： 0-5- 22d+5-2, √5 35+2-(3-2j(5+2): (④220+}3-V5-(2-x)°. 类型四、二次根式中的分母有理化 方法总结 1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用（√）（√）=消去分母根号。 2.和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+√石的共轭是a√b),利用平方差公式化简。 解题技巧 1.观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。 2.预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。 例4.(2026八年级下·全国专题练习)在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法.例如： 1 √2-1 1 5-√2 2+1(2+12- 万5-1,5r5不5+295-5 1 (1)化简： √10+√9 3/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)观察上面的计算过程，直接写出式子： Vn+√n-l 1 1 1 (3)利用分母有理化计算： 人2+13+2+4+5++ √2026+√2025 (V2026+1. 【变式4-1】(25-26九年级上四川内江·月考)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (2+12-=1; (5+W2)5-2)=1; (4+5)(4-⑤)=1： (5+4V5-4=1. (I)观察以上规律，请写出第5个等式： 1 1 1 1 ②利用上面的规律，计算2+十5+万+4+万++00+9网 (3)请利用上面的规律，比较√2025-V2024与（√2026-√2025）的大小，并写出详细过程 【变式4-2】(25-26八年级上湖南邵阳·月考)观察下列各式的计算过程，寻找规律： 1 √2-1 =2-1; √2+1（√2+10(W2-1) 1 5-2 5+V53+V25-25-2: 1 √4-5 √4+V3(W4+3)(W4-√3) =V4-5 利用发现的规律解决下列问题： )化简式子：n-1+n 1 1 1 1 (2)直接写出式子的值： 1 2+13+√2√4+5 √2025+√2024 ×(√2025+1)=； 1 1 (3)计算： ++5+5+万+5+…+2m+1+2m (n为正整数). 1 【变式4-3】(25-26八年级上安微假期作业)阅读下面问题： 1-√2 1+V2(1+V2)1-V2) =-1+V2, 1 √-5 2+62+8--5+6, 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5-4 =-3+2…, √3+V4(W3+√4)3-V4) 【问题探究】 1)根据以上信息，化简：n+Vn+ 1 【应用结论】 1 (2)利用以上规律，计算： 1+1+1 1+N5+2+5+5+4++2025+V2026 (1+√2026) 【拓展应用】 (3)如果有理数a,b满足ab-2=√b-1+V1-b,试求： 十十 a√b+b√a(a+1)Wb+1+(b+1)Wa+1"(a+2)Wb+2+(b+2)Wa+2 (a+2024)Wb+2024+(b+2024)Va+2024 的值. 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 方法总结 1.读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。 2.模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。 解题技巧 1.实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2.化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。 例5.（2025八年级上全国专题练习)对于任意不相等的两个数4，b,定义一种运算※如下： axb=va+b 如5※4=5+4 =3. a-b 5-4 (1)求7※5的值， (2)求2-V5)※(7※5)的值. 【变式5-1】(2025九年级上·全国.专题练习)若两个含二次根式的代数式m,n满足：mn=9,且q是有 理数，则称m与n是关于9的“和谐二次根式”，如2√2×√2=4，则称2√2与√2是关于4的“和谐二次根式”. (1)若m与√5是关于10的“和谐二次根式”，求m的值 (2)若+1与√2a-1是关于6的“和谐二次根式”，求a的值. 【变式5-2】(2025河北模拟预测)已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (I)如果a=2,则b=-;如果a=√2，则b=-: 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)①如果a=√2-1，求b的值： ②若a=√m-√n,b=√m+√n,求m与n的关系. 【变式53】(24-25八年级下福建福州期中)定义：我们将a+√6)与（√a-万）称为一对“对偶式”. 因为(a+v历)(a-万)=(a-(历)=a-b,所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将(Va+b)和 (ā-√万)中的“√厂”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如 2+V2 (2+)月 =3+2√2.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根 2-2(2-V2)(2+V2) 号中的分母化去，叫做分母有理化 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出√万+√2的对偶式； 1 m-n (2)已知m= 2-V5’n 2+5求 ，的值： min+mn 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 方法总结 1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。 2.归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含n的代数式（通项公式或运算规律） 表示出来。 解题技巧 1.对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。 2.验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。 例6.(24-25八年级下·安徽淮北月考)【观察思考】 第1个等式： 1 第2个等式： 2+434 4 1 第3个等式： 3+二=4. V°5=4V5 第4个等式：- 【规律发现】 (1)①直接写出第4个等式：-： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律：-· 【规律证明】 (2)证明②中的运算规律， 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简： 1 2023+ ×V6075. 2025 【变式6-1】(2024安徽合肥二模)观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式： 2 2+5=2 3 3 第2个等式： V3+83 第3个等式： 4 4+ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： (②)请你用含n(n为正整数，且n≥2)的等式表示表述上面的规律并证明这个等式， 【变式6-2】(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律】 下面是小石的探究过程，请补充完整： ()具体运算，发现规律， 第1个等式 第2个等式， 5 第3个等式 7 4-434 第4个等式 9 5- 5 第5个等式 11 16- (根据规律填空) (2)观察、 归纳、 得出猜想 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想； (④)应用运算规律。 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (a,b均为正整数)，则b-a的值为 【变式6-3】(2025八年级上·重庆·专题练习)在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活 动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例1：1+ 1,1 1×2 =1+1-1 2 11 特例2：，1 2+32=1+ 1 ,11 =1+ 2×3123 11 (1)特例3： +2+42= 1+ (填写一个符合上述运算特征的式子)： y-=1+-1 1,1 (2)求证： n-1 n (n>2,且n为整数)； 11 11 +(n-+的小数部分是0.1，那么整数部分为 1 )如果V1+5+6+1+6+京+++ 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上江西南昌期末)若最简二次根式√8-3k与√2能合并，则k的值可以是() A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(25-26八年级下.河南开封·月考)下列各式中，运算正确的是() A.2√5x22=26 B.√27÷V5=3 C.3+V2=32 D.3√5-5=3 3.(25-26八年级上江西南昌期末)若x+y=√2，x-y=-2V5,则x2-y2的值是() A.-45 B.4V3 C.26 D.-2V6 4.(25-26八年级上河南郑州期末)已知x,y满足等式Vx-2+Vy+1=0,m是√5的小数部分，则 y+V5+2m的值为() 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.4 5.(25-26九年级下·浙江杭州·开学考试)设 S=1+11 +节+28=1+7+=1++ 11 32+42…,Sn=1+1+1 +(n+,则V+S,++S的值为() A.2524 25 B.2423 24 C.2424 25 D.2323 24 6.(25-26八年级上山东菏泽期末)对于实数P,我们规定：用{P表示不小于√P的最小整数.例如： {V4=2,{V5}=2.现在对72进行如下操作：72意*){V72=9意*){9=3意三*){V5=2,即对 72进行3次操作后变为2.类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为() A.4 B.3 C.2 D.5 二、填空题 7.(2526八年缀下全国课后作业)计算：7-佰+⑧x5 8.(25-26八年级下·湖北荆州月考)若最简二次根式√x-2能与25合并为一项，则x的取值为 9.(25.26八年级上陕西汉中期中)已知最简二次根式V3a+2与最简二次根式)10a-19可以合并，则 V3a+2·210a-19的值为一 10.（2026江苏南京一模)对于任意不相等的两个非负实数a,b,新定义一种运算“※”如下： axb=Jax/ b-a 2(b>a),则2※6= 11.(25-26八年级上江苏南通·期末)小明做数学题时，发现 .(a,b为 正整数)，则a-b= 12.(25-26八年级上·黑龙江绥化月考)观察下列各式： ,11,1 -=1 122 1,1 V+27+=1+ 11= 236 ++京=1+1 ，,11 3412 请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等式： 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 13.(25-26八年级下·山东聊城开学考试)计算： 0)22-6 +3√48 ②27+i叵_6x5 5 √2 3(5-2-(2+12- 424+5-xs+2+-(5- 14.(25-26八年级上湖南郴州期中)已知a=√万+√5，b=√万-√5，分别求下列代数式的值. (1)ab. (2)a2-b2. 15.(25-26八年级上·湖南郴州期中)已知最简二次根式√4m-5与V13-2m能合并. (I)求m的值； (2)若m≤x≤2m,化简：x-7+√4-4x+x2 16.(25-26八年级上江苏南通期末)若两个含有二次根式的代数式M,N满足MN=1,其中t是有理数， 则称M与N是互为t相关代数式”. (1)若M与√5是互为6相关代数式”，则M=-; (2)若其中M=a-√5(a是有理数)，N=8+25,且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值. ,2526八年级全国限后作业段心素剂【双察】石-，一 1xV2-1 2+1(2+12- 一=2-1. 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化.像 上述解题过程中，√5与√，√2+1与√2-1相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作 互为有理化因式. 【运用】 (1)√2的有理化因式是 √3-2的有理化因式是；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： 10/11