专题14 二次根式的性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题14 二次根式的性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据二次根式的定义求字母的值 类型二、根据二次根式有意义条件求范围 类型三、根据二次根式有意义求值 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 类型六、复杂的复合二次根式化简 压轴专练 类型一、根据二次根式的定义求字母的值 方法总结： 1. 定义抓形式：紧扣（a≥0）的格式，确保被开方数整体非负。 2. 方程列条件：根据“被开方数≥0且根指数=2（隐含）”列方程或不等式求解。 解题技巧： 1. 整体审题：先确定根号下的整体代数式，再分析其非负条件。 2. 双向验证：解出字母值后，代回原式验证二次根式有意义（避免增根）。 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·月考）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 类型二、根据二次根式有意义条件求范围 方法总结 1. 紧扣核心定义：二次根式有意义的条件是“被开方数（整体）≥ 0”。 2. 正确建立不等式：根据条件列出关于未知数的不等式（组）并求解，得到字母的取值范围。 解题技巧 1. 整体处理：先将根号下的式子视为一个整体，再分析使其≥0的条件。 2. 数形结合：对于复杂的代数式，可结合函数图象（如抛物线）直观判断其非负区间。 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数．根据该条件列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若式子的值等于0，则x的值为________． 【答案】 3 【分析】根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），联立求解x的值． 【详解】解：要使式子的值为0，需满足以下条件： 1. 分子为0且二次根式有意义：，即，解得， 2. 分母不为0：， 当时，，满足二次根式有意义的条件，且，满足分母不为0的条件， 因此，x的值为3． 【变式2-2】（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知被开方数非负，分式分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，根据二次根式和分式有意义的条件可得： ，且，即 分子， ， 解得， 所以x的取值范围是． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________________． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件． 式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答． 【详解】解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件： ①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即， ∴． ②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零， ，即 ． 综合以上，的取值范围是且． 故答案为：且． 类型三、根据二次根式有意义求值 方法总结 1. 明确定义：根据“被开方数≥0”建立方程或不等式。 2. 解求范围：求解方程（组）或不等式（组），得到字母的取值或范围。 解题技巧 1. 整体看待：将根号内整个式子看作一个整体，分析其非负条件。 2. 双向检验：将结果代回原式，确保二次根式有意义。 例3．（25-26八年级上·全国·期末）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件先确定x的值，再求y的值，最后计算即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 将代入原式得：， ∴， 16的平方根为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入计算式子的值． 【详解】解：∵ 二次根式、有意义， ∴ 且， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 方法总结 1. 定符号：利用已知参数范围，确定被开方数中因式的正负。 2. 套公式：依据公式=|a|，将绝对值根据参数范围化简化简。 解题技巧 1. 先拆后判：将被开方数化为完全平方形式，再逐个判断各部分的符号。 2. 数轴辅助：结合数轴直观分析参数范围对应的代数式符号，确保化简无误。 例4．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【详解】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 方法总结 1. 挖掘隐含：从已知等式、不等式或根式本身有意义出发，推导参数的隐含范围。 2. 定向化简：根据推导出的范围，确定被开方数中代数式的符号，再用=|a|化简。 解题技巧 1. 由内而外：先分析根号内代数式的符号（利用因式分解、配方法等），再结合整体范围判断。 2. 特值检验：在化简后，取参数范围内特殊值代入原式与化简式，验证结果一致性。 例5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 提取根号下的完全平方因子进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·月考）化简：当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件且平方根内表达式非负，推出且，再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解． 【详解】解：∵，且为实数， ∴， ∵和， ∴，即， ∵， ∴且． ∴． 故答案为：． 类型六、复杂的复合二次根式化简 方法总结 1. 目标结构：将复合根式化为形如的结构，使其匹配完全平方公式。 2. 配凑常数：寻找两个数m、n，满足m+n为外层系数，m·n为内部常数，从而转化为的形式。 解题技巧 1. 平方试探：令原式等于，两边平方后对比系数建立方程组求解。 例6．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式6-1】（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 【变式6-2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 3．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 5．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，那么的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·上海·月考）化简：当时，___________． 【答案】 【分析】由，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】掌握是解题的关键． 9．（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）若，则_______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后将代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数为非负数， ∴可得不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：____． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据、、在数轴上对应点的位置，确定相关算式的正负，利用立方根，算术平方根，绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵有理数、、在数轴上的对应点如图， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·福建漳州·月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 三、解答题 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴判断，，，然后根据，以及去括号法则、合并同类项法则化简即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，， ∴ ． 14．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）已知，，为的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边不等关系，二次根式的化简；由三角形三边关系得，，，再由二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：由题意得，，， 原式 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，且，为实数，试求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方根为． 16．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 17．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14二次根式的性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据二次根式的定义求字母的值 类型二、根据二次根式有意义条件求范围 类型三、根据二次根式有意义求值 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 类型六、复杂的复合二次根式化简 压轴专练 典例详解 类型一、根据二次根式的定义求字母的值 方法总结： 1. 定义抓形式：紧扣Va (a≥0)的格式，确保被开方数整体非负。 2.方程列条件：根据“被开方数≥0且根指数=2（隐含）”列方程或不等式求解。 解题技巧： 1.整体审题：先确定根号下的整体代数式，再分析其非负条件。 2.双向验证：解出字母值后，代回原式验证二次根式有意义（避免增根）。 例1.(2026八年级下·全国.专题练习)若√2n化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 【变式1-1】(25-26八年级上江西景德镇期中)已知n是一个正整数，√75n是整数，那么的最小值为 【变式1-2】(25-26八年级上·上海月考)对于√540a,当√540a是整数时，最小的正整数a= 【变式1-3】(25-26八年级上·上海月考)已知n是正整数，且√756n是整数，那么n可取得的最小 值是 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据二次根式有意义条件求范围 方法总结 1.紧扣核心定义：二次根式有意义的条件是“被开方数（整体）≥0”。 2.正确建立不等式：根据条件列出关于未知数的不等式（组）并求解，得到字母的取值范围。 解题技巧 1. 整体处理：先将根号下的式子视为一个整体，再分析使其≥0的条件。 2. 数形结合：对于复杂的代数式，可结合函数图象（如抛物线）直观判断其非负区间。 例2.(25-26九年级上·云南昭通期末)若√x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 【变式2-1】(25-26九年级下广西南宁开学考试)若式子3-x的值等于0，则x的值为 【变式2-2】(25-26九年级下·辽宁锦州开学考试)如果代数式 1 在实数范围内有意义，那么x的取 2x-3 值范围是 【变式23】(25-26八年级下全国课后作业)若式子x-一2°在实数范围内有意义，则x的取值范围是 √x-1 类型三、根据二次根式有意义求值 方法总结 1.明确定义：根据“被开方数≥0”建立方程或不等式。 2.解求范围：求解方程（组）或不等式（组），得到字母的取值或范围。 解题技巧 1. 整体看待：将根号内整个式子看作一个整体，分析其非负条件。 2.双向检验：将结果代回原式，确保二次根式有意义。 例3.(25-26八年级上全国期末)若y=Vr-4+V4-x-2,则x+y的值为一 【变式3-1】(25-26九年级上·四川内江期末)己知x,y均为实数，y=√x-2+√4-2x,则x'的值为 【变式3-2】(25-26八年级上·四川成都期中)若y=2√x-2+√2-x+8,则y的平方根为 【变式3-3】(25-26八年级上四川成都期中)己知x,y为实数，且y=√x-2025+√2025-x+3,则 2024-x3= 2/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 方法总结 1.定符号： 利用已知参数范围，确定被开方数中因式的正负。 2.套公式： 依据公式ya2=a,将绝对值根据参数范围化简化简。 解题技巧 1. 先拆后判：将被开方数化为完全平方形式，再逐个判断各部分的符号。 2. 数轴辅助：结合数轴直观分析参数范围对应的代数式符号，确保化简无误。 例4.(25-26八年级上北京顺义月考)已知-2<x<3,化简Vx+22-√x-42= 【变式4-1】(25-26八年级上·上海黄浦期中)若1<x<2,化简Vx2-2x+1-√x2-4x+4= 【变式4-2】(25-26八年级上四川成都月考)实数α，b在数轴上的位置如图所示，则化简 Va-12-√a-b2+b-2的结果是 a 6 -2-10123 【变式4-3】(24-25八年级下广东湛江·月考)已知点4(2m-6,1-m)在第三象限，化简m-3到+Vm-1)2的结 果为」 类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式 方法总结 1.挖掘隐含：从已知等式、不等式或根式本身有意义出发，推导参数的隐含范围。 2. 定向化简：根据推导出的范围，确定被开方数中代数式的符号，再用√a2=a化简。 解题技巧 1.由内而外：先分析根号内代数式的符号（利用因式分解、配方法等），再结合整体范围判断。 2. 特值检验：在化简后，取参数范围内特殊值代入原式与化简式，验证结果一致性。 例5.（25-26八年级上江苏苏州月考)化简V25x2y= 【变式5-1】(24-25八年级上上海·月考)化简：V12m2n(m>0)= 【变式5-2】25-26八年级上上海月考)化简二次根式(a--。 1 【变式5-3】(25-26八年级上上海月考)化简：当ab<0时，V24a2b3= 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、复杂的复合二次根式化简 方法总结 1. 目标结构：将复合根式化为形如√a+b士2yab的结构，使其匹配完全平方公式。 2.配凑常数：寻找两个数m、n,满足+n为外层系数，m·n为内部常数，从而转化为ym士Vn的形式。 解题技巧 1.平方试探：令原式等于V血m±√，两边平方后对比系数建立方程组求解。 例6.(25-26八年级上河北沧州月考)像V4-2万，√√48-√45，这样的根式叫做复合二次根式.有一 些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：V4-2W3=V3-23+1=VW32-23x1+12=VW3-1)2=V5-1; V5+2W6=V3+26+2=V(W3)2+2xV5xV2+(2)2=VW3+V2)2=V5+V2. 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：V10+2√21； (2)化简：14-8√5. 【变式6-1】(25-26八年级上江西赣州·月考)阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如4+2√3=1+√3，善于 思考的小颖进行了以下探索： 设x+y3=m+m(其中x,y,m,n均为正整数)，则有x+y5=m2+3n2+2mm√3， ·.x=m2+3n2,y=2mn.这样小颖就找到了一种把部分x+√5y的式子化为平方式的方法. 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： ()当x,y,m,n均为正整数且x+y5=(m+n5时，请用含m,n的式子分别表示x,y: x= ，y= 2)若x+4W5=(m+n5,且x,m,n均为正整数，求x的值： (3)①填空：√4+25=； 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②化简：√4-V9+2⑧ 【变式6-2】(25-26八年级上广西来宾期中)【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号 的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+2W6=(2+3)+22x3=(2+(5+2×V2)×5)=(2+5, 7-45=(4+3)-2×2x5=22+(5-2×2x5)=(2-V5。 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将7+210化成另一个式子的平方； (②)请你仿照上面的方法化简：√6-4√2； 【类比归纳】 3)若a+25=m+√m，其中m>n,且a,m,均为正整数，求a+m+n的值. 【变式6-3】(25-26八年级上·湖南岳阳·期中)【阅读材料】对于形如√m±2√n的式子，我们可以通过完全 平方公式将其变形为Na±b)的形式，并进行化简，其中a+b=m, 例知：5+2万=V2+22+1=V2列+2x2x1+12=2+1-5+1. 或找a,b满足a+b=3,ab=2,易知a=2,b=1,所以V3+2W2=V2+1=V2+1. (1)化简：V5+2√6： (2)计算：V4+23+V4-2√5； (3)计算： 十十 V3+2√万'V5+26V7+2W12V9+220√4051+22025x2026 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级下.北京·开学考试)若代数式√x-2在实数范围内有意义，则的取值范围是() 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x≥2 B.x>2 C.x≠2 D.x22 2.(25-26七年级上山东威海期末)若√189n是整数，且n是正整数，则n的最小值是() A.16 B.21 C.27 D.32 3.(25-26八年级上上海期中)若a<0,b>0,则V-ab=() A.-avab B.-avab C.aab D.a√ab 4.(2026江苏南通模拟预测)如果a>0,2<0,则、b-a-4-Va-b+12的值是（) A.-3 B.3 C.2a+2b+3 D.-2a+2b-5 5.(24-25九年级下湖北十堰自主招生)满足不等式V10-4V后<m<V5+2后的整数m的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(25-26九年级上福建泉州期中)已知实数m满足2025-m+√m-2026=m,那么m-20252的值为() A.2025 B.-2025 C.2026 D.-2026 二、填空题 7.(25-26八年级上福建福州期末)已知√12n的结果为正整数，则正整数的最小值为 8.(25-26八年级上上海月考)化简：当ac<0时，√24a2c3= 9.(25-26九年级下黑龙江绥化开学考试)若y=-2+V4-2-3,则(x+y)25= 10.(25-26八年级上上海期末)如果√x2-2x+1+√2-6x+9的化简结果与x无关，那么x的取值范围是 11.(25-26七年级上湖南株洲期末)已知有理数Q、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： Mc-b)2+ia-b-a=_. a 6→ 12.(25-26八年级上福建漳州月考)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子 平方的形式，如：3+22=1+2)，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： 3+22=2+2x1xV2+2=1+2,则V3+2W2=-1+√2 请你仿照小明的方法解决下列问题： 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若16-85=a√3-b则a= ,b= 三、解答题 13.（25-26八年级上江苏宿迁·月考)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简： Va+12+2b-12-a-b b→ 14.(25-26八年级下·安徽安庆·开学考试)已知a,b,c为ABC的三边长，化简： V(b+c-a)2+V(c-a-b)2-V(b-c-a)2. 15.(2425八年级下全国课后作业)已知y=-4+4-了+L,且X,y为实数，试求4y-5的平方 X-2 根 16.(25-26八年级上·湖南怀化期末)阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方 公式及二次根式的性质化去一层根号.如：化简：V3+2√互 解：因为3=1+2且√2=1×√2，所以3+2V2=12+(W2)2+2×1×V2=(1+V2)2,，所以 V3+2W2=V0+V2)2=1+V2, (1)仿照上述方法化简：①V5+2√6；②√9-6√5. 1 ②比较1-2N50与13-2N2的大小， 17.(25-26八年级下·广东江门开学考试)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可 以化成另一个式子的平方，如：5+26=(2+3到+22x3=(V2+(5+22×3=(2+5, 7+45=7+2i2-4+24x3+5-4+-2+5: 【类比归纳】 (1)填空：4+23=-，V5-2V6=- (2)进一步研究发现：形如Vm±2√n的化简，只要我们找到两个正数a,b(a>b),使a+b=m,ab=n,即 a+B)=m,ax历=n,那么便有：Vm±2Wn=- 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展提升】 (3)化简：V8+45+V8-45(请写出化简过程). 18.(25-26九年级上河南鹤壁期中)我们已经学过完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2,知道所有的非负 数都可以看作是一个数的平方，如2=(2,3=(5,7=(V),0=02,那么我们可以利用这种思想 方法和完全平方公式来计算下面的题. 例：求6-2√5的算术平方根 解：：6-25=5-2V5+1=（⑤-25+12=（V5-1, .6-25的算术平方根是√5-1. 根据以上材料，回答下列问题： (1)V4+25= (2)化简：V3+4W4+23: (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2V2-1,AC=V3,那么BC边的长为多少？ 8/8