10.专题七 几何压轴题 二阶对接中考-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·二轮复习·分层突破题位题

日阶对接中考 题型一填空压轴题（第14题） 类型①线段定值问题(2023、2022.13) BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB, 1.多解法[2025高新逸翠园月考]如图，在矩 BC于点O,E,则四边形OECA的面积为 形ABCD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD 交于点O,点E为BC边上的一个动点，EF⊥ AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+ EG= BE C 第3题图 D 4.[2025高新一中四模]如图，在四边形ABCD 中，BC=11,∠B+∠C=60°，E为BC上一点，且 △AED为等边三角形，若BE=4,则图中阴影 第1题图 部分的面积为 2.[2025高新一中五模]如图，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O,AC=6,BD=8, 点E,F分别为OB,OD上的点，且BE=DF,EG ⊥BC于点G,连接CR,若CF+BG-4,则EF 第4题图 的长为 5.[2025高新一中三模改编]如图，在平行四边形 ABCD中，AB=16,AD=12.E,H分别是AD,AB 的中点，点F在DC上，且DF=10,∠A=60°， 点G在BC上，且BG=4,则四边形EFGH的面 积为 第2题图 类型2)面积定值问题 >考法1割补法计算(2022.26(2)；2021.26(1)》 H 第5题图 3.多解法[2022陕西26(2)题改编]如图，在 △ABC中，CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥ 66 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 >考法2动态图形面积计算(2024.13；2018.14) 动点，F是CD边上的动点，且AE=DF,连接 6.[2018陕西14题改编]如图，点0是口ABCD的 EF,则EF的最小值是 cm. 对称中心，AD>AB,E、F是AB边上的点，且EF= 2B,G,H是BC边上的点，且GH=了BC,若 B 第9题图 SA0r=4,则SA0cH=】 10.如图，在菱形ABCD中，BC=4,∠ABC=60°， 在BC边上有一线段EF由B向C运动，点F 到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1,连 H 接AE,AF,则△AEF周长的最小值为 第6题图 7.[2025西安市未央区一模]如图，在正方形AB CD中，AB=8,点F为边AB上的一点，连接CF B E F 交BD于点G,且CG=2FG,点E是对角线BD 第10题图 上的一点，连接EF,CE.若EF⊥CE,则△BCE 11.[2025西工大附中五模]如图，在四边形ABCD 的面积为 中，∠ABC=90°，∠DAB=120°，AB=4,AD=6, BC=8,点P在直线BC上方，△PBC的面积 为6，则IDP-BPI的最大值为 B 第7题图 8.[2025交大附中四模改编]如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，E是AB上一点，F是AD上一 第11题图 点，连接EF,CF,∠CFE=60°，若BE+DF=6, 12.[2025铁一中一模改编]如图，在矩形ABCD 则菱形ABCD的面积为 中，AB=6,AD=8,点E在对角线BD上，点F、 G分别在边BC、CD上，且EF=FG,∠ABD与 ∠EFG互补，则四边形EFGD周长的最小值 第8题图 为 类型③最值问题 >考法1线段最值(2025.26(2)；2023.13； 2023.26(2);2021.13;2019.14;2018.25(3)) 第12题图 9.[2025陕西14题改编]如图，在边长为10cm 的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上的 分层突破题位题·陕西数学 67 >考法2面积最值(2025.14；2021.26(2)； AE,AB上，且满足AN=CP,AM=OC.已知 2020.25(3);2019.25(3)) ∠BAE=∠B=∠BCD=90°，AB=AE=600m, 13.[2025铁一中十模]在一块三角形钢板ABC BC=1000m,CD=400m,公园OPMN的边 中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如 MP∥AC,则四边形OPMN面积的最大值 图所示，顶点F在边BC上，顶点D,E分别在 为 m2 边AB、AC上，已知AB=AC=5,BC=6,DE∥ BC,则当△DEF的面积最大时，DE的长 为 第15题图 D 考法3角度最值(2025.26(3) 16.[2025西工大附中三模]如图，在□ABCD中， 第13题图 ∠ACB=(0°<a<90°)，E、F分别为AD、BC 上的点，连接EF,若EF⊥AD于点E,且EF 14.[2025陕西14题3分]如图，在口ABCD中，AB= 平分口ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点 6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边AB, P,连接PF,则sin∠EFP的最大值为 AD上，且AM=AN,以MN为边作等边 △MNP,使点P始终在口ABCD的内部或边 上.当△MNP的面积最大时，DN的长 为 第16题图 17.如图，在正方形ABCD中，AB=4,M是AD的 中点，点P是CD上一个动点，当∠APM最大 时，CP的长为 第14题图 变式[2025陕西14题改编]如图，平行四边 形ABCD中，AB=6,∠B=60°，点E、F分别在 边AB、AD上，点G在平行四边形ABCD内或 B 第17题图 边上，若△EFG为等边三角形，则△EFG面积 最大为 18.[2025陕西26(3)题改编]如图，在△ABC中， AB=12,AC=BC=18,MN为△ABC的中位线， 点0为MN上一点，当∠BOC最大时，M0的 值为 变式题图 15.[2025高新一中三模改编]如图，现规划在五 边形空地ABCDE内部修建一个四边形公园 OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD, 第18题图 68 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 题型二综合与实践（第26题） 1.[2025新城区联考八模](1)如图①，在△ABC中，∠A=90°，AB=6,BC=10,D是边AB上一点，BD= 4,过点D作直线l⊥BC,作点B关于直线I的对称点E,作CE的垂直平分线m交AC于点F,连接 DE,DF,EF,则△ADF的面积为： (2)如图②，现有一张锐角△ABC纸片，∠A=45°，AB=12√2cm,AC=21cm,小明进行以下操作： ①作BC的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F; ②作∠CEF的平分线交AC于点G; ③以G为顶点，EG为边，作与∠EGC相等的角，交EF于点D. 小明按上述操作完成后，认为D是△ABC的外心，你认为他的想法正确吗？若正确，请加以 证明，并求出EG的长：若不正确，请说明理由 图① 图② 第1题图 分层突破题位题·陕西数学 69 2.「2020陕西14题改编]问题提出 (1)如图①，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=120°，点E是AD上一点，且AE=1,过点E的直线与 BC交于点F.若EF平分菱形ABCD的面积，求四边形ABFE的周长； 问题解决 (2)某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地 ABCD中，AB=80m,BC=1O0m,现规划在草地上△ABP区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内， 且tan∠APB=2,为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，左侧 为研究区，右侧为采样区，且P到AD,AB的距离相等，直线I分别交AD,BC于点M,N,是否存 在满足要求的点M,N?若存在，求出此时AM,CWN的长；若不存在，请说明理由.（点A,B,P, M,N,C,D在同一平面内)》 B N 图① 图② 第2题图 70 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 3.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC平分∠DAB,且D恰好在AB垂直平分线上，已 知∠ADB=100°，求∠ACB的度数； (2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，现对△ABC进行如下操作： 步聚一：分别以A,B为圆心，大于)AB的长为半径画弧，分别在AB上下方交于点M,N,连接 MW交AB于点O,交BC于点D,测得DB长8cm; 步骤二：在0端固定一条长2cm的木棒OE; 步骤三：在A点放置激光笔，使得光线经过E端： 步骤四：将带刻度直尺的0刻度线和点D对齐，绕点D旋转直尺，使激光笔光线经过刻度8 (单位：cm),即点F; 步骤五：将OE不断绕点O在AB上方区域旋转，重复步骤三、四，并测量BF的长度 当∠AEO为多少度时，BF最长？为什么？请求出BF的最大值.（结果保留根号） C D N米 图① 图② 第3题图 分层突破题位题·陕西数学 71 4.如图所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD,其中AD∥BC,AD=40m,BC= 60m,点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2,∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面 积尽可能大； （1)画出点E的运动轨迹，并说明理由： (2)求绿化区域ABCD面积的最大值. B 第4题图 72 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 5.[2025交大附中六模]问题提出： (1)如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC为对角线，AB=2,AC=2√0，AD=CD,求四边 形ABCD的面积； 问题解决： (2)如图②，某农业园区计划在一块圆形区域（⊙0）内开辟一块现代化育苗基地，该育苗基地为 圆内接四边形ABCD,按照设计方案，要在该育苗基地内规划一块水果育苗区域△PBQ,P,Q 分别为AB,BC边上的点，且PB=QC,五边形区域APOCD为蔬菜育苗区，已知∠BAD=90°， AB=120m,AD=20W3m,∠ABC=60°，设PB的长为x(m),△PBQ的面积为y(m2). ①求y与x之间的函数关系式； ②因市场对蔬菜苗的需求减少.现要求蔬菜育苗区域五边形APOCD的面积尽可能小，请问蔬 菜育苗区域的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由， 图① 图② 第5题图 分层突破题位题·陕西数学 73 6.[2018陕西25题改编]问题提出 (1)等边△ABC的边长为4，则点A到BC的距离为 问题探究 (2)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1,D为BC上任意一点，E为AB上任意一 点，连接AD,DE,求AD+DE的最小值； 问题解决 (3)如图②，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边△ABC”中，AB,AC为线段， ∠BAC=60°，BC为一段弧线，BC所在的圆与AB边相切，切点为B.D为BC上一点，一只电子 蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线AD-DE,在点E处，电子蚂蚁停止移动，其中AD L DE, ∠EAD=60°.已知BC所在圆的半径为6，BC的长度为2π.结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行 时，线段AE是否存在最小值？若存在，求出AE的最小值：若不存在，请说明理由。（结果保留根 号) B 图① 图② 第6题图 74 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 7.[2025陕师大附中六模改编]折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图 形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了一张边长为 6cm的正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动， 【操作判断】 操作一：如图①，在正方形ABCD的边AD上任选一点E,沿BE折叠，使点A落在点G处，把纸片 展平，折痕BE与对角线AC交于点I; 操作二：将边BC折叠，使点C落在射线BG上，折痕交CD于点F,把纸片展平，折痕BF与正方形 的对角线AC交于点H. 图① 图② 第7题图 (1)根据以上操作，得∠EBF的度数为 【迁移探究】 (2)经过多次操作，同学们发现EF与Ⅲ的比值不变，则 【拓展提升】 (3)小明在操作中不慎将正方形纸片撕破，得到一个矩形ABCD,其中AB长为6cm,AD长为4cm, 如图②，经过上述操作一、二，得到折痕BE,BF,EG的延长线与BF的延长线交于点K,当点E 在线段AD(E不与A重合)上运动时，求点K到直线AD的最大距离 分层突破题位题·陕西数学 755.解：(1)如解图①，点E的运动轨迹为优弧BD(不包含B、 D两点)， 理由：连接BD,A为口BCDE的对称中心，BA=50m, BD=100m, .·∠CBE=120°，.∠BED=60°，此时BD为定长，∠BED 为定角 作△BED的外接圆⊙O,点E在优弧BD(不包含B、D两 点)上运动： (2)如解图②，取BED的中点E',连接E'B,E'D, 则EB=ED,且∠BE'D=60°，.△BE'D为等边三角形 作平行四边形BCDE',连接E'C',易得E',O,A,C共线， .平行四边形BC'DE为菱形，且∠C'BE=120°， 过点E作EF⊥BD,垂足为F,连接EO,则EF≤EO+OA E'0+0A=E'A, 1 SamE=2BD·EF≤2BD:E'A=SAEm, SORCDE≤S菱形cDE=2S△EBm=100·sin60°=5000W5, .面积最大时的图形为口BCDE,最大面积为5000√5m2. E 0 D 图① 图② 第5题解图 6.解：存在.如解图，过点Q作QJ∥OM交ON于J,作线段 AB的垂直平分线，交AB于点K,交JQ的延长线于点D, 在线段AB的垂直平分线上取一点T,连接AT,以T为圆 心，TA长为半径作⊙T,当⊙T与直线QJ相切于点Q'时， ∠AQ'B的值最大，连接TQ 2 D 0 B N 第6题解图 .OJ∥OM.∠MON=∠DJK. DJ是⊙T的切线， ∴.TQ'⊥JD,∴.∠TQ'D=∠DKJ=90°， .∠DT0'+∠O'DT=90°，∠DJK+∠O'DT=90°， ∴.∠DTQ'=∠DJK=∠MON, tan∠D0'=tan∠MON=4_DQ 3T0' .∴.设DQ'=4km,Q'T=3km,则DT=5km. 由题意，得0J=PQ=3m,0A=8m,.AJ=8-3=5(m), 12 ·AK=BK2AB5m,·JK=5+号=37 55(m), 参考答案与重难题 一战成名新中考 ·tan∠DJK= JK 3 148 .DK= 37 .TK=( 148 15 5k)m, TA=TQ'=3km,在Rt△ATK中，：ATP=AK+TK, 整理，得18然-1k+116=0,解得=土或2（舍去) 3 16 六D0'=4=3(m),A7=3k=4(m), 37_16-7(m), J0=JD-D0'=33 .OP'=JQ',∴.0P'=7m, 白 此时sim∠AQ'B=sim∠AK-4K乏-3 AT 45 么满足条件的点P位置是0P=7m,此时inLA0B} 二阶对接中考 题型一填空压轴题（第14题） 60 1. 【解析】解法1：等面积法：如解图①，连接OE,:四 边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°，BC=AD=12,A0=C0= BO=DO.AB=5..AC-B=13.0C-13 , Sw0EG+OCEF= OB·EG+OC·EF=SAAc,即OC·(EF+EG)=2AB· BC.(EFEG)2G 13 解法2：特殊值法：如解图②，当点E运动到B(C)处 :时，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CG⊥BD于点 :G,易得EF+EG=BF=CG,.AB=5,BC=AD=12,.AC AB·BC= =√AB+BC=13,:Sac=2 AC·BF,解 21 60 :得BF= EF+EG= 60 3 0 G E 图① 图② 第1题解图 2. 【解析】如解图，连接CE,~四边形ABCD是菱形，对 9 角线AC与BD相交于点O,AC=6,BD=8,∴.AC⊥BD,OC =0A=2AC=3,0B=0D=2BD=4,∠B0C=90°， BC=VOC+OB=√32+4=5，BE=DF,.OB-BE= 军析·陕西数学 75 OD-DF,∴.OE=OF,.AC垂直平分EF,∴.CE=CF,EG LBC于点G,.LBGE=90,sim∠OBC-EC0C-3 BE BC5 5 cE-cF-(号0E)-号0E,在 △B0c中.0640c-0E043-(号+20Ey时。 0E=4EF=20E=2 第2题解图 3153 2 【解析】解法1：如解图①，连接PB,:APBC,AP =BC,∴.四边形PBCA为平行四边形，CA=CB,.平行 四边形PBCA为菱形，.PB=AC=6,∠PBC=180°-∠C= 60°，：PE⊥BC,.BE=PB·cos∠PBC=3,PE=PB· sin∠PBC=3√5，.CA=CB,∠C=120°，∴.∠ABC=30°， 0E=BELAC=-5,Saa=5a-Sane=子× 6x35-2x3xw5-15 2 解法2：如解图②，连接0C,BC=AC=6,LACB= 120°，∴∠ABC=∠BAC=30.AP∥BC,PE⊥BC, ∠PAB=∠ABC=∠BAC=30°，∠EPA=90°，又.AP=BC =AC,A0=A0,.△PA0≌△CA0(SAS),.∠OCA= ∠0PA=90°，.∠0CB=30°，.0B=0C,.EC=3,0E =5,0c=25Se=0B·Bc=3 2,= 155 20cc-655a5sw 图① 图② 第3题解图 4.75【解析】由题意可得，∠BAE+∠EDC=360°-∠B- ∠C-∠EAD-∠ADE=180°，如解图，将△BAE绕点E顺 时针旋转6O得△FDE,过点F作FH⊥BE于点H, S阴影=S△hE+S△DcE=SADFE+S△pCE=S△Erc,:∠B+LC= 60°，∴.∠DFE+∠C=60°，：∠FEH是△EFC的外角，. ∠FEH=∠DFE+∠C=60°，.：FH⊥BC,∴.在Rt△EFH 中，LEFH=90°-∠FEH=30°，EH=2EF=2×4=2, 76 参考答案与重无 由勾股定理得：FH=√EF2-EF=√4-2=25，：CE C-BE=7..SaweCE.FW-x7x2575 CE=BC-BE=7,.S阴影=75。 D B H C 第4题解图 5.49V5【解析】如解图，过点D作DK⊥AB,垂足为K,过 点E作MN⊥AB,垂足为N,交CD的延长线于点M,过点 G作PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q,交CD于点P,: DC∥AB,AB=CD=16,AD=BC=12,.MN⊥CD,PQ⊥CD AF=DE-AD-6.A--4B=8,ZA-60"EN =AE.sin60°=6× =35,DK=A0·sin60°=12x5 3 65,根据平行的性质可得：∠MDA=∠DAB=60°，∠C= ∠60=605=E·560=6x号-35，cG=-c BG=12-4=8,G0=BG·sin60°=4×)=23，PG= CG·sin60=8x 2=4 DF=10..CF=CD-DF= 16-10=6,.S▣边影sraH=S四边形ABD-S△M-S△DBr-S△CG S EN-DF EM-CF PG- 2B.60=16x657x8x3v5-7×10x35-76x 2×8x25=495 MD H G ANK BO 第5题解图 8 6氵【解析】如解图，连接0A,0B,0C,EP=之4B, SAo=2SroSAo=4.So=8.GH=BC. S△x=3S△0Gm,:四边形ABCD是平行四边形，0是其对 8 称中心Sa0=Samc=8,Sa0m=3 G 第6题解图 7.24【解析】如解图，过点E分别作EH⊥AB于点H,ET⊥ BC于点T,连接AE,∴.∠EHB=∠ETB=∠ETC=90°，， 题解析·陕西数学 四边形ABCD是正方形，AB=8,·.AB=BC=CD=8, ∠ABC=90°，AB∥CD,∠ABD=∠CBD=45°，.△GBF BF FG BF FG x8= AGDC.EH-ET CD-CG8-2FG2 4,.AF=AB-BF=4,∠EHB=∠ETB=∠ABC=90°， 四边形EHBT是矩形，：EF⊥CE,.∠HET=∠FEC= 90°，.∠HET-∠FET=∠FEC-∠FET,.∠HEF= 1∠EHF=∠ETC=90°. ∠TEC,在△HEF和△TEC中，〈EH=ET, \∠HEF=∠TEC, △HEF≌△TEC(ASA),∴.EF=EC,由正方形对称性得 AE-EC..EF-AE.-FH-AF- 2,.BH=ET=6,.S△BG= E7=2x8x6=24 2 0 B 第7题解图 8.18√5【解析】如解图，过点C作CH⊥AD于点H,连接 AC,EC,·四边形ABCD是菱形，且∠B=60°，.AB=BC= AD=CD,∠D=∠B=60°，△ABC和△ADC都是等边三 角形，∠EAC=∠D=60°，AC=AB=AD=DC,又：∠CFE =60°，.∠EAC=∠CFE=60°，.A,E,C,F四，点共圆，根 据圆内接四边形的性质得：∠AEC=180°-∠AFC= 1∠EAC=∠D, ∠DFC,在△AEC和△DFC中 ∠AEC=LDFC,. AC=DC, △AEC≌△DFC(AAS),∴.AE=DF,∴.AB=BE+AE=BE+ DF,.BE+DF=6,∴.AB=6,DC=AD=AB=6,.∠D= 60°，CH⊥AD,在Rt△CDH中，∠DCH=90°-∠D=30°， M=子cD=3,由勾股定理得cH=Vm-m。 √6-3=35，.菱形ABCD的面积为AD·CH=6×35= 185. FH 第8题解图 9.55【解析】如解图，连接BD,BE,BF,四边形ABCD 是菱形，.AB=BC=CD=AD,∠DAB=60°，.△ABD, △BCD都是等边三角形，∴.∠A=∠ABD=∠CDB=60°， (AE=DF. AB=DB,在△EAB和△FDB中，∠A=∠FDB,.△EAB兰 AB=DB, △FDB(SAS),∴.BE=BF,∠ABE=∠DBF,∴.∠EBF= ∠ABD=60°，∴.△EBF是等边三角形，∴.BE=EF=BF, 参考答案与重难题 一战成名新中考 3 当BE LAD时，BE最小，即EF最小，最小值为气×10=5 √3(cm),EF的最小值为5W3cm. AH D D B G 第9题解图 第10题解图 10.8【解析】如解图，作点A关于BC的对称，点G,记AG 与BC交于点M,连接FG,可得AF=FG,在AD上取一点 H,使得AH=EF,连接HF,易得四边形AHFE为平行四 边形，FH=AE,:△AEF的周长=AE+AF+EF=FH+GF+ 1≥GH+1,当H,F,G三点共线时，△AEF周长有最小 值，最小值为GH+1,在Rt△ABM中，AM=AB·sin∠ABM= 4sin60°=23，.AG=45,在Rt△AGH中，GH= √AG+AF=√(45)2+12=7，.△AEF周长的最小值 为8. 1L.√43【解析】如解图，过点P作PH LBC于HSPx= 3 2BC·PH=6,BC=8,PH=2∠ABC=90°，过点 P作直线IBC,作点B关于直线I的对称，点B',则BB =2PH=3,连接DB'并延长交直线I于P',此时IP'D P'B'I的值最大，即IDP-BPI的值最大，最大值为线段 DB'的长，过点D作DK⊥AB交BA的延长线于K: LDAB=120,AD=6,心∠DAK=60°，÷AK=号AD=3 DK=YAD=33 AB=4,BB'=3,AB'=1..B'K AB′+AK=4,.DB'=√B'K+D=√4+(35)2= √43，.IDP-BPI的最大值为√43. K H B 第11题解图 第12题解图 12.18【解析】如解图，过点F作FP⊥BD于点P,连接 FD,四边形ABCD为矩形，∴.AB∥CD,∠A=∠BCD= 90°，AB=DC=6,∴.∠ABD=∠CDB,.·∠ABD与∠EFG 互补，∠CDB与LEFG互补，D,E,F,G四点共圆， .EF=FG,.∠FDP=∠FDC,.FP⊥BD,∠BCD=90°， AFP=FC,在Rt△FDP和△FDC中，FD=FD. (FP=FC. .Rt△FDP≌Rt△FDC(HL),.PD=DC,同理Rt△EPF ≌Rt△GCF(HL),∴.PE=CG,∴.DE+DG=DP+PE+DG= DP+PE+DC-CG=2DC=12,.四边形EFGD的周长为 FE+FG+DE+DG=2FE+12,∴.当FE最小时，四边形EF 解析·陕西数学 77 GD周长有最小值，当FE⊥BD,即点E,P重合时，FE 最小，即为FP,∠A=90°，AB=6,AD=8,.由勾股定 1 理得：BD=10,:Saw=Sasm+S6cnX6X8=2× 10P×6fC,又：FP=FC,FP=3四边形EFG0 周长的最小值为2×3+12=18. 13.3【解析】如解图，过点A作AG⊥BC于点G,交DE于 点H..DE∥BC,.△ADE∽△ABC,△ADH∽△ABG, BG AB'AGABBC-AGAB-AC=5.BC=6.BG DE AD AH AD,DE AH =C=3,在△ABG中，4c=aG-BG-V5-3 =4,设GH=x,则AH=4-x,. g号=6子 3 3 4<0,当x=2时，S6r最大，此时DB=6- 2 =3. D FG B H 第13题解图 第14题解图 14.5【解析】如解图，过点A作MW的垂线交BC于H, AM=AN,△MNP为等边三角形，.∴.点P在AH上，AH为 ∠BAD的平分线，且当△MNP边长最大时其面积最大， 四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，.∠BAD= 120°，∠AMN=∠ANM=30°，又.·∠PMN=∠PNM=60° 六∠r=90,又：∠MM=号∠MaN=60,sn 2D,△ABH为等边三角形，点P始终在口ABCD的 √ 内部或边上，∴.当P与H重合时，AP最大，此时AP=AB -6.AN-AN-P3.DV-5. 变式95【解析】由题意可知，要使△EFG面积最 大，即使得边长最大，如解图，在BC边上取点H,使得 BH=BE,连接EH,·∠B=60°，.△BEH为等边三角 形，.∠A=∠EIG=120°，易得∠AEF=∠HGE,又.·EE =EG,∴.△AEF≌△HGE,.AF=EH=BE,EF≤AF+AE= BE+AE=AB,∴.当A、F重合，B、E重合时，EF=AB, △BFG面积最大.此时5c=子×6x35=9,5 7D H G 变式题解图 78 参考答案与重难 15.300000【解析】如解图，延长AE、CD交于点Q,则四边 形ABCQ为矩形，.∠BAE=∠B=∠BCD=∠Q=90°，AB =CQ,AQ BC,.AN=CP,AM=0C,..MQ=0B,PO= NB,.△ANM≌△CPO(SAS),△BNO≌△QPM(SAS), ∴.MN=OP,MP=NO,设AW=CP=x,AM=OC=y,则MQ EB0=1000-y,BN=P0=600-￥，MP∥AC, QD.:1000y=60O-,即y=3,Sm边oPwv=S延cw y -2S-2SMS1OXO-2xy-2x 7×(60-)10-)=600-·子-(60-） 5 )-9+2005awm-9(x (1000-5 80)2+300000,三0<0，当x=30时，S0最 大，为300000，：四边形OPMW面积最大值为 300000m2. 0 0 第15题解图 16子【解析】如解固，设EP与4C相交于点0，~P平 分□ABCD的面积，.O'为AC的中点，.O'A=OC, 四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,.∠DAC= ∠ACB,又.·∠A0'E=∠C0'F,.△A0'E≌△CO'F,. O'E=0'F,EP⊥AC,.点P在以EO'为直径的圆上， 取EO'的中，点O,连接OP,当PF与⊙O相切时，∠EFP 最大，.sin∠EFP的值最大，此时∠OPF=90°，设OP为 1,则0'0=1,0P=2,0F=1+2=3.sin∠EFP=0 OF 3 B C 第16题解图 第17题解图 17.4-22【解析】如解图，过点A、M作⊙0与CD相切于 点P,记PM与⊙0交于点Q,连接AP',MP',OM,OP', AQ,则∠AP'M=∠AQM>∠APM,∠OP'D=90°，.当点P 运动到点P'时，∠AP'M最大，作ON⊥AD于点N,则 N=AW=4M,回边形ABCD是正方形∠D- 90°，.四边形OP'DN是矩形，·AB=4,M是AD的中 点，∴.AM=DM=2,∴.MN=1,∴.OM=OP'=DN=DM+MN 题解析·陕西数学 =3,在Rt△M0W中，0N=√OM-MN=√/32-下=2 2Dp'=0N=22,.Cp'=DC-Dp'=4-22,当 ∠APM最大时，CP的长为4-2√2. 18.7【解析】如解图①，作△B0'C的外接圆⊙T,当且仅 当⊙T与MWN相切时，∠BOC的值最大，此时∠BO'C= ∠BFC=∠BOC+∠OBF,故∠BO'C=∠BFC>∠BOC.如 解图②，连接CM,作MK⊥BC于点K,连接TO'交BC于 点L,:⊙T与MN相切于点0'，.∠M0'T=90°，MW ∥BC,.∴.∠MO'T=∠BLT=90°，即BC⊥LT,.∴.BL AB=12,M是AB的中点，AC=BC=18 24B=6,CM LAR,cs∠ABC=K,即K.6 1 BM BC 6181 .BK=2..MO=KL=BL-BK=BC-BK=9-2=7. M/OO M B 图① 图② 第18题解图 题型二综合与实践（第26题） 1解：(1)？，【解法提示：8=6，BC=10,∠A=90,在 Rt△ABC中，AC=√BC2-AB=8,BD=4,.AD=AB- BD=2,:点B,E关于直线I对称，DE=BD=4,∠DEB =∠B,直线m垂直平分CE,CF=EF,∠C=∠FEC, ∠B+∠C=90°，∠DEB+∠FEC=90°，∠DEF= 90°，设AF=x,则EF=CF=8-x,.由勾股定理，得AD+ AF=DE+BF,即4=16+(8-)，解得x9AP 19 (2)正确，证明如下：如解图，连接BD,CD,AD, A 第1题解图 EF垂直平分BC,BD=CD,BE=CE,∠DEC=90°， .·EG平分∠DEC,∴.∠DEG=∠CEG= 2∠DBC=45, I∠DEG=∠CEG. 在△EDG和△ECG中， EG=EG. ∠DGE=∠CGE. .△EDG≌△ECG(ASA), ∴.DE=CE,∴.∠EDC=∠ECD=45° ∴.△BDC是等腰直角三角形， 参考答案与重难题角 一战成名新中考 ∴.∠BDC=90° 作A4BC的外接国.∠B4C=45=子∠BDc. .∴.△ABC外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，即在EF 上，且所对的圆心角为90°， .点D为△ABC的外接圆的圆心，即D是△ABC的外 心，.AD=BD=CD, 过点B作BN⊥AC于点N,.∠BAC=45°，AB=12W2cm, .'AN=BN=12 cm, AC=21cm,.CWN=9cm,在Rt△CNB中， BC-BN+CNF-15 cm,".BE=CE=15 2 cm, .·∠CEG=∠CAB=45°，∠ECG=∠ACB, .∴.△CEG∽△CAB. 15 4即12w万256=302c。 EC.CE.即EG 2 2. 解：(1)如解图①，过点A作AH⊥BC于点H,过点E作 EG⊥BC于点G. 易证四边形AEGH为矩形，AE=HG=1,AH=EG. :四边形ABCD为菱形，.AB=BC=CD=DA=6, EF平分菱形ABCD的面积， .EF经过菱形ABCD的中心， .AE=FC=1,BF=6-1=5, .∠BAD=120°，.∠B=60°. A⊥BC,.BH= 2AB-3.AH-EG= 2 -AB=33.GF= BF-HG-BH=1. .EF=√EG+GF2=2万 .四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=6+5+1+2√万= 12+27: AE B HGFC 第2题解图① (2)存在满足要求的点M,N,此时AM=CW=30m. 如解图②，过点B作BE⊥AP于点E,过点P作PF⊥AD 于点F,延长FP,交BC于点G 第2题解图② ·四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC=100m ·过点P的直线I将矩形ABCD的面积平分为两部分， .MN经过矩形ABCD的中心， .AM=CN. ·P到AD,AB的距离相等， .点P在∠BAD的平分线上， 析·陕西数学 79 ∠BAMP=∠DAP= -∠BAD=45°. 2 .BE⊥AP,∴.AE=BE= 4B=40w2(m）. tan∠APB=2=BE EPEP=2E=20w万(m）. 2 ..AP=AE+PE=602(m), PD PFF0(m) .·四边形ABCD为矩形，PF⊥AD. .四边形ABGF,四边形DCCF为矩形， .FG=AB=80 m,FD=GC=AD-AF=40(m) ..PG=FG-FP=20(m), 设AM=CN=xm,则MF=(60-x)m,NG=(40-x)m .'ADCB,∴.△MFP∽△NGP 60x-3, %咒” ∴.x=30,∴.AM=CN=30m. 综上，存在满足要求的点M,N,此时AM=CN=30m. 3.解：(1)由题意可得AD=DB, :∠ADB=100°，.∠DAB=∠DBA=40°， ·AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC=20° AB∥DC, ∴.∠DCA=∠BAC=∠DAC=20°，∠BDC=∠DBA=40°. .AD=DC=BD. .∴.∠DBC=∠DCB=70°. .∠ACB=∠DCB-∠DCA=50°： (2)当∠AE0=90时，BF最长，理由如下： 在△ABF中，BF所对的角为∠FAB,BF的长随∠FAB度 数的增大而增大，则当∠FAB最大时，BF的长度最大，此 时AF与以0为圆心，0E的长为半径的圆0相切，即 ∠0EA=90°： 如解图，连接AD,由题意可知AD=BD,则有AD=DB= DF,.∠DAB=LABC, .∠ABC=30°，∴.∠ADB=120°， 设∠BP=B则∠DAP=∠DPA=30e-B, ∠DFB=∠DBF=90-. ∴.∠AFB=∠DFB-∠DFA=60° 过，点B作BH⊥AF于点H, .BH∥OE,由题意可知点O为AB的中点，∴.OE是 △ABH的中位线，.BH=2OE=4, 在Rt△BFH中，BF= BH2√3。 -85 -BH sin∠HFB3 31 ∴.当 ∠AB0=90时，BF最长，BF的最大值为85 3 cm. NX 第3题解图 80 参考答案与重难， 4. 解：(1)如解图①，点E的运动轨迹是劣弧BF(不包含点 B,F),理由： 延长AE、BC,相交于点F ADBC.△CEF∽△DEA,. CF CE AD DE' :CE:DE=1:2,AD=40m, ∴.CF=20m,∴.BF=60+20=80(m). 易得∠BEF=180°-∠AEB=120°，BF为定长，∠BEF为 定角， ∴.作△BEF的外接⊙O,点E在劣弧BF(不包含点B,F) 上运动； (2)如解图②，作EG∥AD交AB于点G,作AN⊥BC于点 N,交EG于点M, .'ADBC,∴.ADEG∥BC. .CE:DE=1:2,∴.MW:AM=1:2, 设MN=x,AM=2x,连接AC, 1 则Sw=Sa+Sam=之BC·AV+ZAD·AN= 7(BC+40)·A=X(60+40)·3x=1505m=7× 1 80·x=40x, 15 .S形CD=4S△F, .当△BEF的面积最大时，绿化区域ABCD的面积最大 作△BEF的外接圆⊙0，过点O作OE'⊥BF交⊙0于点 E',交BF于点H,连接BE',FE',当E在EF的中点，即点 E与，点E重合时，△BEF的面积最大 易得=M了. .∠AEB=60°， .∠BE'F=∠BEF=120°， ∴.∠E'BH=30°， Eh=am30°，Bm=x40-405(m）. 3 3 &SAep=,x80x403=1600 1 (m2), 3 3 15 六S脑影m=45aar=200,5(m2). .绿化区域ABCD面积的最大值为20005m2. 0 图① 图② 第4题解图 5.解：(1)∠B=90°，AB=2,AC=2/0, .BC=√AC-AB=6, .∠D=90°，AD=CD,∴.∠DAC=∠DCA=45°， 题解析·陕西数学 .AD=CD= 2Ac=25, 六Sa边都m=SA4+Sac=2AD·CD+2AB,BC=2 2 1 25×25+2×2x6=16: (2)①如解图，连接BD,过点A作AE1 BC于点E,过点D作DF⊥AE于点F, 过点P作PG⊥BC于点G, ∠BAD=90°，BD是直径， 第23题解图 ∴.∠BCD=90°， .:∠ABC=60°，.∴.∠ADC=120°， .AE⊥BC,∴.∠AEB=90°， E=AB·sin60°=120x5 1 =603(m),BE= AB= 2 60m, .DF⊥AE,∴.∠DFE=∠FEC=90° .四边形DFEC是矩形， .DF=CE,EF=CD,∠FDC=90°， .∠ADF=120°-90°=30° 六Af=40=105m,DF=A0,si60P=30m, .CE=DF=30 m,.BC=BE+CE=90 m, PB=OC=xmB=(90-)m.PG 2m, c0-=590动 4(x2-90x); ②存在，由①可得CD=EF=AE-AF=503m, SoD+CCD0205 Z×90x50,5=3450w3(m2) 1 :四边形ABCD的面积是定值，要使五边形APQCD的面 积最小，则需要△PBQ的面积最大， 4(-0x) 4(x-45)+20253 4 六△PB0面积最大为2025,5m 4m2, 345052025,517755 4 4 “蔬菜育苗区域的面积的最小值为山75,5 4 6.解：(1)23； (2)如解图①，作点A关于直线BC的对称点F,连接 DF,根据对称性可知AD=FD,AC=CF=1, .AD+DE=DF+DE,要求AD+DE的最小值，即求DF+DE 的最小值， 当D,E,F三点共线，且EF⊥AB时，DF+DE最小，即AD+ DE最小. 过，点F作FE⊥AB,交BC于点D',交AB于点E',此时 AD+DE的值最小，为EF的长 在Rt△ABC中，∠B=30°，∴.∠BAC=60°， 参考答案与重难题解 一战成名新中考 在Rt△AE'F中，sin∠E'AF-E'E AF 即sin60°= 2,解得EF=5, E 故AD+DE的最小值是3； (3)存在， 如解图②，设BC所对的圆心为点0， 连接A0,B0,C0,D0,BC. :C的长度是2π，且⊙0的半径是6， nm:6=2m,解得n=60,即∠B0C=60 180 .·B0=C0,∴.△BOC是等边三角形， ∴.∠CB0=60°，BC=B0=6. :AB是⊙0的切线，∠AB0=90°，∠ABC=30°， .·∠BAC=60°，∴.∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，sin∠BAC-BC AB 即sin60°= ,解得AB=45. AB 在Rt△ABO中， A0=√AB2+B0=√(45)2+62=2√2I, 根据三角形性质可知AD+DO≥AO,即AD≥AO-DO .AD的最小值为2√21-6. AD 在Rt△AED中，co5∠EAD= AE' 则当AD取最小值时，AE有最小值， 即cos60°=1E,解得4E=4v2T-12 故AE存在最小值为4√21-12. E、 B D D 0 图① 图② 第6题解图 解：(1)45°：【解法提示】四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°，由折叠的性质得∠ABE=∠GBE,∠GBF ∠CBF,将边BC折叠，点C落在射线BG上，.∠ABE+ ∠GBE+∠GBF+∠CBF=∠ABC=90°，·.∠EBF=∠GBE+ LGBF-2 LABC=45° (2)2;【解法提示】如解图①，连接EH,:四边形ABCD 是正方形，.∠BAD=90°，∠BAC=∠DAC=45°，由(1)知 ∠EBF=45°=∠EAH,.点A,B,H,E四点共圆，∠AEI= ∠BHl,.∠BEH=∠BAH=45°，∴.∠BEH=∠EBH=45°， ∴.BH=EH,∴.∠BHE=180°-∠BEH-∠EBH=90°，∴.BE 析·陕西数学 81 =√2BH,∠AEI=∠BHI,由折叠的性质得∠AEI= EF BE ∠BEF,∠BI=LBEF,△BEF∽△BIL,mBm √2BH =」 BH B 第7题解图① (3)如解图②，过，点K作KM⊥BC交BC延长线于点M. 交AD的延长线于点N,KN即为点K到直线AD的距离， A E D N 第7题解图② .∠BGK=∠M=90°， .'AD∥BC,.MN⊥AD,.MN=AB=6cm, .·∠GBK=∠MBK,BK=BK,∴.△GBK≌△MBK(AAS), ∴.BG=BM,GK=MK, .AB=BG=6 cm..'.BM=6 cm, .当E在线段AD上移动时，K在直线MN上，且E越接 近点D,K越接近点M, .当E、D重合时，KN最大，如解图③所示 易得四边形ABMN是正方形，.DN=6-4=2(cm),由折 叠得DG=AD=4cm, 设GK=MK=xcm,则EK=(4+x)cm,KN=(6-x)cm,:在 Rt△EN中，EK=EN+KN2,即(4+x)2=2+(6-x)2,.x 5 K=6-6=24 了写(m),即点K到直线4D的最大距离是 24 D(E)N B 第7题解图③ 8.解：(1)线段PM的最小值为43-4： (2)如解图，分别在BC,AE上作BB'=AA'=r=30m, 连接A'B',B'O,OP,OE,B'E. OM⊥AB,BB'⊥AB,ON=BB' ∴.四边形BB'OW是平行四边形 .BN=B'O. ,'B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E 82 参考答案与重难， ∴.BN+PE≥B'E-r, .当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值 作⊙0'，使圆心0'在B'E上，半径r=30m 作0'M⊥AB,垂足为M,并与A'B'交于点H,与⊙0'交 于点N'. AOH/AE△B0m△BE,28 O'H B'H ·⊙O在矩形AFDE区域内（含边界）， .当⊙0与FD相切时，B'H最短， 即B'H=10000-6000+30=4030(m) 此时，O'H也最短 M'N'=O'H,M'N也最短， 0H-E4BH_1000030)x4030=4017.91(m. B'A 10000 .0'M'=0'H+30=4047.91(m). 答：此时环道⊙0的圆心0到AB的距离OM的长为 4047.91m. A M F B B' C 第8题解图 9. 解：(1)=；【解法提示】DE∥BC,.SaDe=SAcE, S&DRE-SADOE=S△cE-SADE,即SABD=SACOE- (2)可以；如解图，连接BE,作FK⊥BE, .·∠BFE=120°，BF=EF,.∠FBE=∠FEB=30°， 设BF=EF=2xcm,则BE=2BK=2BF·cos30°=2√5xcm, 作FG∥BE,交CE的延长线于点G,过点G作GH⊥BC于 点H,连接BG, 第9题解图 易得S△E=S△E,∠GFE=LBEF=30, SARFE+SARCE=SARGE+SARCE ∴.四边形部件的BCEF的面积等于△BGC的面积= nc.cn. .当GH最大时，四边形部件BCEF的面积最大， .∠CEF=120°，∴.∠FEG=60°， ∴.∠BEG=∠BEF+∠FEG=90°，∠FGE=180°-∠FEG- ∠EFG=90°， EG=EF=x cm,'.tan L BGE= BE GE =25, ∴.∠BGC为定角， 题解析·陕西数学 作△BCG的外接圆⊙O,则点G在优弧BC上运动 连接B0,C0,0G,过点0作01⊥BC于点1， 则B1=C1= C-205./BOC-24RGE.OR= ∠BOI=∠BCE,tan∠B0I=-tanLBGE=25=Bg Γ011 01=BL_203 =10 2√325 .0B=√Bm+0F=√(203)+102=10√3， .∴.0G=10√13， .GH≤0G+0I=10√13+10. .GH的最大值为10√3+10， 此时Sam的最大值为C.6H=子×40w5x(10vB+ 10)=(200√39+2005)cm2; 即四边形部件BCEF面积的最大值为： (200√39+200N3)cm2. 10.解：(1)如解图①，□BDEF即为所求： B D H 图① 图② 第10题解图 (2)6√万+6：【解法提示】如解图②，过点P作PH⊥BC于 点，Sae=9,BC=6了C.PI=分×6PI=9,解 得PH=3,过，点P作MN∥BC且分别与AB,CD交于M, N,即P在线段MN上运动，则CA=BP+CP+BC=BP+ CP+6,.当BP+CP有最小值时，△BPC的周长有最小 值，作点B关于MN的对称，点B',连接B'A,B'P,B'C,则 B',A,B三点共线，.BM=BM=3,BP=B'P,.BP+CP= B'P+CP≥B'C当B',P,C三点共线时，BP+CP有最小 值，最小值为B'C的长，则△BPC的周长有最小值，为 B'C+6,.四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，在 Rt△B'BC中，B'B=BM+B'M=6,BC=6,.B'C √B'B+BC=√6+6=62，.△BPC周长的最小值为 B'C+6=6√2+6. (3)如解图③，取AB的中点M,取AC的中点N,连接 MN,过点P作PD∥AC交BC于点D,连接DQ,则MN是 △ABC的中位线，∠BAC=∠BPD, 又：∠ABD=∠PBD △PBD∽△ABC,ABAC PB PD 参考答案与重难题解 一战成名新中考 PB AB 120 2 PD AC 180 3' B即2 AO3.AQ=PD, 又.PDAC,.四边形APDQ是平行四边形 连接AD, 0是PQ的中点，.O是AD的中点， 过点A作AH⊥BC于点H,过，点O作OE⊥BC于点E, 则∠AID=∠OED=90°，∴.OE∥AH, .OE是△ADH的中位线， 0E=, AB=120 m,AC=BC=180 m,AH L BC. ..AH为定值，.OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MN上运动， 作△BOC的外接圆⊙T,当且仅当⊙T与MN相切时， ∠BOC的值最大， ∴.OT⊥MW,.MN∥BC,∴.OT⊥BC, 此时点E为OT与BC的交点，且E为BC的中点， 则点0即为所求观景台的位置： E 第10题解图③ 连接CM,过点M作MK⊥BC于点K, 易得四边形OMKE为矩形，∴MK=OE,MO=KE, BC=AC=180m,M是AB的中，点. 六MB=2AB=60m,CMLAB, Lc微然 60180 ∴.BK=20m, 2M0=KE=BE-BK=)BC-BK=90-20=70( 点M是AB的中点，点O是AD的中点， M0是△ABD的中位线，.BD=2M0=140m, .·△PBD∽△ABC, 120180BP=280n =BD,即BP_140 m, 3 ·AP=AB-BP=120-280_80 33(m). 析·陕西数学 83