9.专题七 几何压轴题 一阶模型、方法突破-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·二轮复习·分层突破题位题

一战成名新中考 专题七 儿何压轴题 一阶模型、方法突破 1.不变【解析】如解图，作OM LAB于M,作ON⊥BC于 一、对角互补模型 N,设OA'与AB交于点A1,OC与BC交于点A2,解法1： 例1解：解法1：作垂直：如解图①.，过点A作AM⊥BC于点 四边形ABCD是正方形，.∠A,OA2+∠ABC=180°， M,过点A作AW⊥CD交CD的延长线于点N. ∠0A2B+∠0A,B=180°，∠0A2B+∠0A2C=180°， ∠BCD=90°，.四边形AMCN为矩形，.∠MAN= ∠OA,B=∠0A,C,易得0B=0C,∠0BA1=∠0CA2, 90°..∠BAD=90°，.∠BAM=∠DAN.在△ABM和 △0A,B≌△0A,C,S回边，40=Sac=4S正方形Cm I∠AMB=∠AND. △ADN中， ∠BAM=∠DAN,.△ABM≌△ADN 解法2：由题意可得，BD平分∠ABC,OM=ON, ∠OMB=∠ABC=∠BNO=90°，∴.四边形OMBN是正方 AB=AD. (AAS),.AM=AN,△ABM与△ADN的面积相等，. 形，∴.∠M0N=90°，∠M0A1+∠A,ON=∠A,ON+ 矩形AMCN为正方形，则四边形ABCD的面积=正方 ∠N0A2=90°，.∠M0A1=∠NOA2,∴.△M0A1≌ 形AMCW的面积.由勾股定理得AC2=AM+MC2,: △N0A2,S四边形，L,0=S四边形410+S△0N,=S四边形1BN0十 AC=6,.2AM=36,AM=18,即四边形ABCD的面积 为18. S△04，=S正方彩0wBN=4S正方cD 解法2：旋转：如解图②，：AB=AD,LBAD=90°， 将△ACD绕，点A顺时针旋转90°得到△AEB,从而有 等腰直角△ACE,.四边形ABCD的面积=等腰直角 △4CE的面积= 2 ×6×6=18. 第1题解图 第2题解图 2.2【解析】如解图，连接BD,四边形ABCD是菱形， ·.∠ADC=∠ABC=120°，AB∥CD,BC=CD=AB=2, ∠BDC=∠ABD=∠DBC=∠C=60°，∴.BD=CD,.∠EDE =60°，.∠EDF=∠BDC,∴.∠BDE=∠CDF,∴.△BDE≌ △CDF(ASA),∴.BE=CF,.BE+BF=CF+BF=BC=2. B 图① 图② 3. 7w5 【解析】如解图，把△BCD A(C) 例1题解图 绕D顺时针旋转120°得到 例21【解析】解法1：如解图①.过点D作DG∥BC交AB △B'C'D,过点D作DH⊥AB,垂 于点G,则∠DGB=∠DCF=120°，∠GDC=∠EDF= 足为H,∴.△BCD≌△B'CD, 120°，∴.∠GDE=∠CDF,,D是AC的中点，∴.DG是 BD=B'D,∠CDB=∠ADB',∠C △1BC的中位线DG=2BC=DC=BG=2.易得 第3题解图 =∠DAB',四边形内角和为 360°，∴.∠C+∠CBA+∠BAD+∠CDA=360°，.∠ADC= △GDE≌△CDF,.GE=CF,,BE=1,∴.CF=GE=1. 120°，∠CBA=60°，∴.∠C+∠BAD=180°，.∴.∠BAD+ 解法2：如解图②，过点D芬别作DM1AB宇点M, ∠DCB'=180°，又AD=CD,.点B,A,B三点共线， DN⊥BC于点N,连接BD,D是AC的中点，BD ∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠ADB'=∠BDB'= 是LABC的平分线，.DM=DN,∠ABC=60°， 120°，BD=B'D,.∠B'=∠DBA=30°，.BB'=BA+B'C'= ∠MDN=120°，.∠EDF=120°，∴.∠MDE+∠NDE= ∠NDE+∠NDF,∴.∠MDE=∠NDF,,∠DME= BABC=7,DH⊥4B,BD=BD,Bm=BB=子，在 ∠DNF=90°.△DME≌△DNF(ASA),.ME=NF, 7 由题意可得，在Rt△ADM中，AD=】 4C=2,∠A= BH 2 Rt△BDH中，cos∠DBH= BD BD c0s30°=3 60°，.AM=1,同理，CN=1,.ME=AB-AM-BE=2, 75 NF=2 CF=1 3 4.(1)解：如解图①，PC即为所求，正方形： B NB 图① 图② 例2题解图 第4题解图 参考答案与重难题解析·陕西数学 69 (2)证明：如解图②，过点P作PC⊥OB于点C .S△lw=S△wE,S四边形AwMc0+S△cE=S四边影AMc0+S△lw0 由(1)知四边形OAPC是正方形， =S四边形AMCD: .OA=AP=PC=OC,∠APC=90°， ∴.AM平分四边形ABCD的面积. ,'PN⊥PM,∴.∠APM=∠CPN=90°-∠MPC, 1.1.2【解析】如解图，连接PE、PF、QE、QF,设AP=x,则 又，∠MAP=∠NCP=90°，AP=CP,∴.△APM≌△CPN BP=6-x,·点O是矩形ABCD的对称中心，.OP=OQ, ∴.AM=CN, OE=OF,DQ=BP,.四边形EPFQ为平行四边形， .OM+ON=OM+0C+CN=OM+AM+OC=0A+0C=2AP .OM+ON=2PA. Sam=5ae5ane=5aoi心72x=7×8(6-),解 二、面积等分问题 得x=4.8,∴.BP=6-x=1.2. 4 例127【解析】如解图，分别过 点A和点E作AG⊥BC于点 G,EH⊥BC于点H,易得四边 形AGHE为矩形，AG=EH,.B GFH C GH=AE=2..·在菱形ABCD 例1题解图 第1题解图 中，AB=6,∠B=60°，BG=3,AG=33=EH,.HC=2.解：存在满足要求的点P和点F.如解图，连接CD,: BC-BG-GH=6-3-2=1.·EF平分菱形面积，即EF ∠DAB=60°，∠ABC=120°，.∠DAB+∠ABC=180°， 经过菱形对角线交点，.由菱形的中心对称性可知。 ADBC,AD=BC=900m,四边形ABCD是平行四边 FC=AE=2,.FH=FC-IC=2-1=1.在Rt△EFH中， 形，.CD=AB=1200m,要在湿地上修建一个新观测 根据勾股定理，得EF=√E+FT=√27+I=2√万 点P,使∠DPC=60°，.点P在以0为圆心，CD为弦，圆 例2解：如解图，点E即为所求； 心角为120°的优弧CD上，·AE=EC,∴.经过点E的直线 △BEC的面积为2.【解法提示】.CD为AB边上的中 都平分四边形ABCD的面积，：新步道PF经过观测点 1 E,并将五边形ABCPD的面积平分，.直线PF必经过 线，△ABC的面积为8，.S△CD= ×8=4. 2 CD的中点M,.ME是△CAD的中位线，ME∥AD, 1 :点E是CD的中点，S△C= 1 MF∥AD,DM∥AF,.四边形AFMD是平行四边形，.FM 252×4=2 AD=900m,作CN⊥PF于点N,.四边形AFMD是平行 四边形，∠DAB=60°， ·.∠PMC=∠DMF=∠DAB=60° CM=2C0=24B=600(m), .MW=CM·cos60°=300(m), CW=CM·sin60°=300/5(m), 例2题解图 例3题解图 ∠PMC=∠DPC=60°，.△PMC∽△DPC, PC CM 例3解：如解图，DF即为所求， CD PC 证明如下：如解图，设AE交DF于点O,易得S△Ar= 即PC=600 S△D0E,.S回边形BD0+S△H0F=S四边影B0+S△DOE=S△HBE= 1200P元PC2=72000. 2Sac·DF平分△ABC的面积 在Rt△PCN中，PW=√PC2-CW=√/720000-(300W3)2 =3005(m), 例4(1)解：如解图，AM即为所求，作图步骤：①连接AC: ②过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E;③连接 .PF=300w5+300+900=(3005+1200)m, AE,取BE的中点M,连接AM,则AM平分四边形 ∴.存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(300√5+ ABCD的面积： 1200)m M 例4题解图 F B 第2题解图 (2)证明：如解图，设AE交CD于点O,:DE∥AC, SAADE=S△cDE,.S△A0D=S△cOE, 三、利用轴对称转化—将军饮马模型 .M为BE中点， 例1(1)22(2)√10(3)2 70 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 (1)~(3)点P的位置如解图①~③ 股定理得PC=√PN+NC=22. D 图① 图② B 图① 图② 第1题解图 2.25+10【解析】如解图，作E关于CD的对称点E',作 F关于BC的对称，点F',连接E'F',交BC于G,交CD于 H连接FG,EH,则F'G=FG,E'H=EH,则此时四边形 图③ EFGH的周长最小，由题意得：BF'=BF=AF=2,DE'= 例1题解图 DE=2,∠A=90°，∴.AF'=6,AE'=8,.EF=10,EF= 例2解：(1)如解图①，即为所求： 2W5,.四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+ (2)65.【解法提示】如解图②，连接OP1,OP,OP, HB=EF+E'F'=2N5+10. 根据轴对称的性质，可得OP,=OP2=OP=6,∠P,OM= ∠POM,∠P,ON=∠PON.此时△PAB的周长最小.又 .∠POM+∠P0W=∠M0N=60°，.∴.∠P,OP,=60°×2 =120°，∠P1=30.过点0作0Q⊥P,P,于点Q,则 3 P2Q=P1Q=0P1·cos30°=6× 2 =33,.PP,=6W3, 第2题解图 .△PAB周长的最小值为PA+PB+AB=P,A+P,B+AB3.解：(I)如解图①，过点P作AB的平行线MN,动点P的 =P,P2=65. 轨迹即为所求，理由： :四边形ABCD是矩形，且AB=5,AD=3,.S矩形D=3× 5=15又：5m=38n5anw=号x15=5.令点r 到AB边的距离为，则了B·h=5,解得h=2 .过点P作AB的平行线MN,点P在直线MN上运动： (2)如解图②，点P'即为所求，此时P'A+P'B最小，作点 图① 图② A关于直线MN的对称点A',连接A'P,连接A'B与直线 例2题解图 MN交于点P',连接AP',点A'和点A关于直线MW对 例33【解析】如解图，作点N关于AD的对称点N', 称，则A'P'=AP'..PA+PB=PA'+PB≥A'B,.当点P与 AD平分∠BAC,.N'在射线AC上，则BM+MN=BM+ 点P重合时，PA+PB有最小值.由(1)知AM=2,·.A'A= MN',当B,M,N'三，点共线且垂直AC时BM+MN有最 2AM=4,在Rt△A'AB中，A'B=√4+5=√4T,即PA+ 小值，作BH⊥AC,垂足为H,∠BAC=30°，AB=6, PB的最小值为√41 2AB=3,.BM+MW的最小值是3. 图① 图② 例3题解图 第3题解图 L.2√2【解析】在矩形ABCD中，CD=AB=3,∠BCD= 四、利用平移转化—造桥选址模型 ∠ADC=90°，.·ED=3=CD,.∠DCE=45°，∴.∠BCE= 45°，如解图①，作点N关于EC对称的点N',连接PW', 例12√3【解析】如解图，作BB垂直于河岸b,使BB MN',则PM+PN=PM+PN'=4=BC,易得MN'∥BC,如解 等于河宽，连接AB',与河岸a相交于点M,作MN垂 图②，易得四边形PNCN',MPNB均是矩形，.∠BCE= 直于河岸b于点N,过点A作AC1BB'交BB的延长 45°，.PN=NC,.矩形PNCN'是正方形，又.BN=BM, 线于点C,则MN∥BB'且MN=BB',于是 MNBB'为平行四边形，故MB'=BN.根据“两点之间线 矩形MPNB是正方形，PN=NC=BN=2BC=2,由勾 段最短”，可知AM+BN的最小值为AB'的长：AB= 参考答案与重难题解析·陕西数学 71 10千米，BC=1+3+4=8(千米)，.在Rt△ABC中，AC A0=7AB=4,在△M0n中，0D=VA0-AD- =√AB-BC=6(千米)，在Rt△AB'C中，B'C=8-4= 3,.C,D=8,点C到AB距离的最大值为8， 4(千米)，.AB'=√AC+B'C=213(千米). △4BC面积的最大值为24B·CD=7×88=32 例1题解图 练1题解图 例4题解图 练14【解析】如解图，作DG∥AC,使得DG=EF=2√2，连 例5题解图 接BG,FG,BD,DE,DG=EF,DG∥EF,∴四边形 例5√5-1，√-1【解析】如解图，连接BM交⊙M于点 DEFG是平行四边形，.DE=FG,:四边形ABCD是 N,,连接BD,CN,.四边形ABCD是菱形，∴AB=AD= 正方形，.AC是正方形ABCD的一条对称轴，BDL 2,AD∥BC,∠A=60°，△ABD是等边三角形， AC,∴.DE=BE,∠BDG=90°，∴.BE+BF=DE+BF=FG+ .·M是AD的中点，AM=MD=1,.BM⊥AD,..BM1 FB≥BG,BE+BF的最小值为BG=2√IO,在 BC,∴.BM=AB·sin60°=√3，.BN,=√3-1，即点N到 Rt△BDG中，BD=√BG-DC=√(2√Io)-(2W2)= 直线BC距离最小值为V5-1,:.△BCW面积的最小值 45,在Rt△ABD中，AB=AD= BD=4. 为28C.NB=22x(5-1)=5-1 1 2 例25【解析】如解图，将C点向左平移1个单位长度至1.32+1【解析】解法1：当⊙0与CB,CD相切时，点A到 G点，连接EG,AG,易得POAD∥BC,CG=EF,.四边 ⊙0上的点Q的距离最大，如解图①，连接AC,过点0分 形EFCG是平行四边形，EG=CF,:四边形ABCD 别作OE⊥BC于点E,OF⊥CD于点F,.OE=OF=1, 是矩形，.∠B=90°，BC=AD=5,BG=BC-CG=5-1 CO平分∠BCD,四边形ABCD为正方形，.点O在AC =4,.AG=√AB+BG=√32+4=5，：EG=CF,. 上，.AC=√2BC=4√2,0C=20E=√2，∴.AQ=AC-0C+ AE+FC=AE+EG≥AG,即AE+CF的最小值为AG的 00=4√2-√2+1=3√2+1，即，点A到⊙0上的，点的距离的 长，AE+CF的最小值为5. 最大值为3√2+1. 】 b G4-6 D F. G 例2题解图 E 练2120【解析】如解图，将点C向上平移10个单位长度 图① 得到点C',连接AC',OC',A0,N0,易得CM=0C',则 图② 第1题解图 AN+CM=AN+OC'≥A0-N0+0C'≥AC'-N0=AC'-10, CD=AB=60,AF=80,FD=40,∴.AD=120,DC'=50, 解法2：如解图②，取⊙0上茌二点E,连接0E,A0, .AC'=√120+50=130，.AW+CM的最小值为130 AE,则AE≤OA+OE=OA+1,过点O分别作OF⊥AB于 -10=120. 点F,0G⊥AD于点G,设AF=a,AG=b,则FB=4-a, (4-a≥1， GD=4-b,则0A2=0G2+AG2=a2+b2, (4-b≥1， a≤3. (b≤3， 当a=3,b=3时，0A有最大值，∴.0Am=32, AEm=3V2+1. 练2题解图 2.4+25【解析】如解图，在Bt△ABC中，AB=4.BC= 五、点圆、线圆最值模型 例180.20 2,∠ABG=90°5Ac= 2AB·BC=4,AC=VAB+BC 例2(1)25,0：(2)√5-1，√5+1 =25,:S四边形CcD=S△c+SA4Cn=4+SAcD,.当△ACD的 例32√3 面积最大时，四边形ABCD的面积最大.：⊙O在斜边 例432【解析】如解图，连接OA,过点0作AB的垂线， AC上滚动，点D是⊙0上一点，·.当△ACD中AC边上的 垂足为D,延长D0交⊙0于点C1,连接AC1,BC1,. 高DE经过点O时，DE最大，即△ACD的面积最大，此时 72 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 0E=2Sa款=号C·DE=25四边形ABCD的 =√DM+Or=27,.PD=0D-0P=2√7-2，.PD 的最小值是2√7-2 最大面积为4+2√5】 D 2 E E、H 例3题解图 第2题解图 例4解：(1)如解图①，动点P的运动轨迹为半圆0（不包 六、辅助圆模型 含点B,C); 例1解：(1)画出动点F的运动轨迹如解图①： (2)4.【解法提示】如解图②，过点A作AH⊥CD于H, :在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=4√3，∠ABC= 60°，∴.CD=AB=4,∠ADC=∠ABC=60°，∴.AH=AD· sin60°=6，.将△ABE沿着AE翻折，得△AFE,.AF= 0 图① 图② AB=4,.点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， 例4题解图 .当点F在AH上时，FH有最小值为AH-AF=2, (2)如解图②，设半圆0与AD相交于P1,P2两点， △C0F面积的最小值为2×42=4 连接BP1,P,C,P,O,BP2,CP2,点P在矩形内部或 边上， .∴.△BPC的顶，点P在P1或P2位置时，△BPC的面积 最大， AB=4,BC=10,.0B=r=5, 作P,E⊥BC,垂足为E,易知P,E=AB,AP,=BE,则OE 图① 图② =P-P,E=√P-AB=√5-4=3， 例1题解图 ∴.AP,=BE=OB-0E=5-3=2, 例2解：(1)画出点M的运动轨迹如解图①； 由对称性得DP,=AP1=2,即AP,=AD-DP,=8. (2)7.【解法提示】如解图②，连接AM,EF=6,M是 .综上，点P到点A的距离为2或8. EF的中点，，AM=3,点M的运动轨迹是以点A为 例5解：如解图，作△ABC的外接圆⊙0，连接OA,OB,OC, 圆心，3为半径的一段弧，连接AC交圆弧于点M', 过点O作OE⊥BC于点E,.·∠BAC=60°，.∠BOC AM+MC≥AC,当，点M在M处时，CM取得最小值， 120°，0B=0C,.∠0BC=∠0CB=30°，设⊙0的半 最小值为CM的长，AB=6,AD=BC=8,.AC= √AB+BC=10,.CM'=AC-3=7,.CM的最小值 20B、 径为则0E=a=宁Bk= 21,.BC= 为7. 5r,OA+0E≥AD,r 21≥4，解得r≥8 BC≥ 8W3 2 3 3， △4BC面积的最小值为16 3 例2题解图 例32万-2【解析】如解图，点P在正所对圆周角 ∠BPE=60的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O 时，PD有最小值.连接OE,OB,OD,OP,过0作OH⊥ 例5题解图 BE于H,过O作OM⊥AD于M,:AE:EB=1:2,AB=3 例645 V5,.BE=25,AE=√3，OE=OB,OH⊥BE,. 例742【解析】如解图，∠ABD=∠ACD,A,B,C,D ∠B0I=∠B0E,BI=E=5,∠B0E=2 四点共圆，由圆周角定理的推论得∠DAE=∠CBE, ∠BPE=120°，.∠E0H=60°，tan∠EOH=tan60°= ADE=∠BCE,△ADE∞△BCE,:AB 50H=1,P0=0E=20=2,易得四边形 EH CE=BE·DE,E为AC的中点，AE=CB=4C, AIOM是矩形，.AM=OH=1,OM=AH,.DM=AD- AM=5-1=4,:AH=AE+EH=25,.0M=23,.0D BD=6.BE=4.DE=BD-BE=2AC=4x2, 参考答案与重难题解析·陕西数学 73 解得AC=42(负值已舍去). ∴.OA=OB=OC,.点O是△ABC的外接圆的圆心， ∠BDC=45°，点D在△ABC的外接圆上，.OA=0B= 0C=0D=52AC=20A=10N2,.AB=BC=)4C-2 Γ2 ×10W2=10.·BE⊥CD,∠BDC=45°，.△BDE是等腰直 B 角三角形5=DE-号0-号×8、反=8，在△ 例7题解图 例8解：(1)∠BAC≥∠BDC; 中，CE=√BC2-BE=√10-82=6，.CD=DE+CE=8+6 (2)如解图，作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q,交 =14. AD于点P,连接BP,CP,作△PBC的外接圆⊙0，⊙03.42【解析】如解图，作线段AB的垂直平分线，垂足为 与直线PQ交于另一点N,则PB=PC,圆心O在 K,在线段AB的垂直平分线上取一点T,以T为圆心，TA PW上， 长为半径作⊙T,当⊙T与OM相切于点P'时，∠APB最 :AD∥BC,.OP⊥AD,.⊙0与AD相切于点P, 大.连接BT,TP,OM是⊙T的切线，.TP⊥OM,TK ⊥AB,∴.∠TK0=∠K0P'=∠OP'T=90°，·四边形OK PQ=AB=6.BQ=2 BC=4.PQ>BQ.LBPC< 90°，圆心0在弦BC的上方， P是矩形0P=K,0B=2点，AK=k=B= 设EC与⊙0交于点M,连接MB,则∠BPC=∠BMC≥ 32,∴.0K=TP'=TB=52,Op=KT=√BT-BK= ∠BEC, 当点E与点P重合时，∠BEC最大， √(52)2-(32)2=42，.当∠APB最大时，0P的长 连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC 为42. .0B=0P=6-0Q,在Rt△B0Q中，BQ+0Q=0B ..42+002=(6-00)2, 00=0B= 5 3 osBC=-ms∠B00=%5 第3题解图 0B13 即当∠BEC最大时，eos LBEC的值为 4.22-1≤AE≤2√2+1【解析】由条件可知∠BAC= 13 乙ABC=子×90=45，由旋转性质可知：点D在以点C 为圆心，1为半径的圆上，.·BE⊥AE,.∠AEB=90°= ∠ACB,,点E在以AB为直径的圆上，在Rt△ABE中， AE=AB·cos∠BAE,:AB为定值，当cOs∠BAE最大 时，AE最大，cos∠BAE最小时，AE最小，.当AE与⊙C 相切于点D,且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最 大，如解图①，连接CE,则CD⊥AE,·∠ADC=∠CDE= 例8题解图 90°，.AD=√AC-CD=√32-1下=22，：∠CED= L.B【解析】如解图，作△ABC的外接圆⊙O,连接O4, ∠ABC=45°，∠CDE=90°，∴.△CDE为等腰直角三角形， 0B,0C,过点0作OH⊥AC于点H,.∠ABC=120°， ∴.DE=CD=1,∴.AE=AD+DE=2N2+1,即AE的最大值为 ∠A0C=2(180°-∠ABC)=120°，.∠A0H=60°，设⊙0 22+1;当AE与⊙C相切于点D,且点D在△ABC外部 的半径为1，则0M=乞，AC=2H=5,又：0B≥0H+ 时，∠BAE最大，AE最小，如解图②，连接CE,则CD⊥ AE,同理可得AD=22,DE=1,AE=AD-DE=2√2-1， BD,≥3，解得r≥6AC=5≥65,4C的最 即AE的最小值为2√2-1，综上，AE的取值范围是22-1 小值为65. ≤AE≤2W2+1 第1题解图 第2题解图 2.14【解析】如解图，作△ABC的外接圆，过点B作BE⊥ CD于点E,在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，∴.AB 图① 图② CB,∠A=∠ACB=45°，.0是Rt△ABC斜边AC的中点， 第4题解图 74 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 5.解：(1)如解图①，点E的运动轨迹为优弧BD(不包含B、 :an∠DK=DK4 D两点)， JK3 理由：连接BD,.·A为□BCDE的对称中心，BA=50m, 148 5 .DK= BD=100m, ·∠CBE=120°，.∠BED=60°，此时BD为定长，∠BED K=(15 ,148 5k)m, 为定角， 作△BED的外接圆⊙O,点E在优弧BD(不包含B、D两 TA=TQ'=3km,在Rt△ATK中，：ATP=AK+TK, 点)上运动： (2)如解图②，取BED的中点E',连接E'B,ED. 整理，得18-111k+116=0,解得k= 4或（舍去）， 则E'B=E'D,且∠BE'D=60°，∴.△BED为等边三角形. 6 作平行四边形BC'DE',连接E'C',易得E',O,A,C共线， 六DQ'=4h=16 (m）,AT=3k=4(m), ..平行四边形BCDE为菱形，且∠CBE'=120°， 过点E作EF⊥BD,垂足为F,连接EO,则EF≤EO+OA= 3716=7(m) J0=JD-D0'=33 E'0+0A=E'A, :0P'=JQ',.0P'=7m, 六SE=BDEF≤2BD·E'A=SAEm 2 AK 5 3 .SORCDE≤S菱形BcDg=2S△EBn=1002·sin60°=5000W5, 此时sin∠AO'B=sin∠ATK= AT-45 面积最大时的图形为口BCDE',最大面积为50005m. 满足条件的点P位置是0P=7m,此时sim∠40B= 5 二阶对接中考 0 题型一填空压轴题（第14题） 60 13 【解析】解法1：等面积法：如解图①，连接OE,四 边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，BC=AD=12,AO=CO= 图① 图② BO=D0,AB-5.AC-BC13..0C=13 第5题解图 6.解：存在.如解图，过点Q作QJ∥OM交ON于J,作线段 Sac=SaBn6+SaE= F2OB·EG+ 20C·EF= AB的垂直平分线，交AB于点K,交JQ的延长线于点D, 在线段AB的垂直平分线上取一点T,连接AT,以T为圆 OB·EG+OC·EF=SAc,即0C·(EF+EG)=2AB: 心，TA长为半径作⊙T,当⊙T与直线QJ相切于点Q'时， nac.号(EG)=5xi2BP4ac- 13 ∠AQ'B的值最大，连接TQ 13 M 解法2：特殊值法：如解图②，当点E运动到B(C)处 时，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CG⊥BD于点 G,易得EF+EG=BF=CG,.·AB=5,BC=AD=12,.AC =√AB+BC=13,“S△c=2 AB·BC= AC·BF,解 1 60 得BF= B N 13EF+EG= 60 13 第6题解图 :QJOM,∠MON=∠DJK, DJ是⊙T的切线， .TQ'⊥JD,∴.∠TQ'D=∠DKJ=90°， 图① 图② .∴.∠DT0'+∠0'DT=90°，∠DJK+∠O'DT=90°， ∴.∠DTQ'=∠DJK=∠MON, 第1题解图 an∠DW'=tan∠M0N=4_DC 9 【解析】如解图，连接CE,,四边形ABCD是菱形，对 3TQ .设DQ'=4km,Q'T=3km,则DT=5km. 角线AC与BD相交于点O,AC=6,BD=8,.AC⊥BD,OC 由题意，得0J=PQ=3m,0A=8m,.AJ=8-3=5(m), =0M=2AC=3,0B=0D=2BD=4,∠B0C=90°， AK-BK-2AB-- mk=5+12=37 12 55(m), BC=√OC+OB=√32+4=5，BE=DF,.OB-BE= 参考答案与重难题解析·陕西数学 75一战成名目 2 专题七几何压轴题 (2025年第14,26题) 阶模型、方法突破 一、对角互补模型(2020.25) 典例精讲☑ 朗模型解读 例1多解法[2017陕西14题改编]如图，在四边形AB- 条件：∠ABC+∠ADC=180°. CD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6, 方法1：作垂直，如图，作DE⊥AB,DF ⊥BC. 求四边形ABCD的面积. B 结论：①若AD=CD,则△AED兰 例1题图 △CFD,BD平分∠ABC. ②若AD≠CD,则△AEID∽△CFD. 方法2：旋转，如图，将BD绕点D逆时 针旋转∠ADC的度数交BC的延长线 于点G.(或作等角，作∠CDG=∠ADB; 或作等线段，延长BC至点G,使得CG =AB,连接DG) 结论：①若AD=CD,则△ABD兰△CGD, BD平分∠ABC. ②若AD≠CD,则△ABD∽△CCD. 分层突破题位题·陕西数学 51 例2多解法如图，等边三角形ABC的边长为4，D是边延伸模型： 60°(DC=BC) 90°(DC=BC) AC的中点，E在边AB上，BE=1,点F在边BC的延长线 对120°型 对90型 上，且∠EDF=120°，则CF的长为 609 120 A A AB+AD=AC AB+AD=√2AC 例2题图 120°(DC=BC)对60°型 D 120 260° A AB+AD=√3AC 7综合训练 1.90对90°型多解法如图，ABCD和A'B'C'D'是两个大小相同的正方形纸片，其中正方形ABCD 的对角线相交于点O.固定正方形纸片ABCD,将正方形纸片A'B'C'D'的顶点D'绕着点O旋转，则 两个正方形重叠部分的面积 (填“变大”“变小”或“不变”) B B 第1题图 第2题图 第3题图 2.60对120°型如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2,E,F分别是AB,BC上的动点.若 ∠EDF=60°，则BE+BF= 3.120对60°型如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2,AB=5,则对 角线BD的长是 4.90对90型综合与实践：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A, (1)操作判断：如图①，过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图①中画出PC,四边形AOCP的形 状为 (2)问题探究：如图②，点M在射线A0上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N.当点M 在线段A0上时，求证：OM+0N=2PA. N B 图① 图② 第4题图 52 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 二、面积等分问题(8年2考) 类型①》中心对称图形平分面积 例3如图，点D是△ABC的边BC上一点，在 (2024.26(2);2020.14) AC上找一点F,使得DF平分△ABC的面积 典例精讲刀 作图步骤为： 例1[2020陕西14题3分]如图，在菱形ABCD ①作△ABC的中线AE; 中，AB=6,∠B=60°，点E在边AD上，且AE ②连接AD,作EF∥AD交AC于点F; =2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平 ③连接DF 分，并与菱形的另一边交于点F,则线段EF 根据题意补全图形（无需尺规作图），并证明 的长为 作图的正确性 B D 例1题图 例3题图 文归纳总结 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其对 称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和 周长分成相等的两部分.如图，四边形ABCD是 平行四边形，S四边形ABF阳=S田边形DEFC;两条对角线 将平行四边形面积4等分，SAA0B=S△coB=S△coD 例4如图，在四边形ABCD的边BC上找一点 =S△D;对于圆，过圆心的任意一条直线均等分 M,使得AM平分四边形ABCD的面积 圆的面积 (1)请画出AM,写出作图步骤： (2)证明作图的正确性 类型2)》借助三角形中线性质平分面积 例4题图 (2024.26(2)) 典例精讲刀 例2如图，△ABC中，CD为AB边上的中线， △ABC的面积为8.点E为DC上一点，BE平 分△BDC的面积，请你用尺规作图法，画出点 E,并直接写出△BEC的面积 例2题图 分层突破题位题·陕西数学 53 综合训练 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点E,F分别为AD,BC上的点，AE=2,且EF过矩形ABCD 的对称中心O.若点P,Q分别在AB,CD边上，且EF,PQ将矩形ABCD的面积四等分，则BP的长 为 第1题图 2.[2024陕西26题节选]如图所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D, E,C,线段AD,AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上，且 AE=EC,∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测 点P,使∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修建三条新步道PF,PD,PC, 使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分. 请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时P℉的长；若不存在，请说明理由.（点A, B,C,P,D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留 根号) D A B 第2题图 54 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 三、利用轴对称转化—一将军饮马模型 (2025.26(2);2023.13;2019.14:2018.25(3) 典例精讲刀 朗模型解读 例1在平面直角坐标系中，点A(2,1),B(3,2),C(4,-1), 情形1：“将军饮马”即两定一动，两线段 点P为x轴上一点 和最小（两定点在动点所在直线同侧）》 (1)当PA+PC的值最小时，在图①中作出点P的位置， 辅助线：作对称，如图，作定点B关于 PA+PC的最小值为 动点P所在直线I的对称点B'(目的 保证距离不变，促成三点共线)，连 r4 A 接AB 定点At 定点B 定点A 定点B 0 c 动，点P 动，点P 例1题图① 例1题图② 定点B (2)当PA+PB的值最小时，在图②中作出点P的位置，原理：两点之间线段最短 PA+PB的最小值为 结论：AP+BP=AP+B'P≥AB (3)当1PC-PB1的值最大时，在图③中作出点P的位置 情形2：两定一动，线段差最大 辅助线：作对称，如图，作定点B关于 IPC-PBI的最大值为 动点P所在直线1的对称点B',连接 AB并延长，交直线I于点P. 定点A 定点A 定点B c 动，点P 动点P 定点B 定点B 例1题图③ 原理：两点之间线段最短 结论：AP-BP=AP-B'P≤AB 例2如图，P是∠MON内一点，分别作点P关于OM,ON 情形3：一（两)定两动，周长最小 的对称点P,P,连接PP2,分别交OM于点A,交ON于 辅助线：作对称，类比情形1. 原理：两点之间线段最短， 点B,连接PA,PB 定，点P (1)请根据题意画图； 动点y 动点W (2)若∠MOW=60°，OP=6,则△PAB周长的最小值 定点P 定点P 为 动点M 动，点M M 定点P 结论：PM+MN+PN=P'M+MW+P"N≥ PP 定点Q 动，点y 定点0 动点 、定点O ·定点P+ 定，点P 例2题图 动，点M 动点M八 定，点P 结论：PQ+PM+MW+QN=PQ+P'M+MW +Q'N≥PQ+P'Q'. 分层突破题位题·陕西数学 55 例3[2025东营]如图，在△ABC中，AB=6,∠BAC=30°，情形4：一定两动，两线段和最小 ∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上辅助线：作对称，如图，作定点P关于 的动点，则BM+MN的最小值是 动点M所在直线L,的对称点P'(哪个 点连接两条线段，就关于哪个点所在直 线作对称)，作P'N⊥2于点N交L于 点M. 例3题图 定点P' 亨思维点拨… 动，点M 动，点M 定点P 定点P ①BM和MW在同侧，考虑作对称，点N关于AD的对称 h 动，点N l, 动点N 点N'; 原理：垂线段最短 ②当B,M,N'三点共线且垂直AC时BM+MN有最小值. 结论：PM+MW=P'M+MW≥P'N. 7综合训练 1.[2023陕西13题3分]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M,N分别 是边AB,BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN若PM+PN=4,则线段 PC的长为 B N 第1题图 第2题图 2.[2016陕西25(2)题改编]如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,边BC、CD上存在点 G、H,使得四边形EFGH的周长最小，则四边形EFGH周长的最小值为 3.[2025陕西26(2)改编]如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.平面内一点P满足S矩形ABcD=3 S APAR, (1)请画出点P的轨迹，并说明理由； (2)请确定一点P使得PA+PB最小，并求出最小值 第3题图 56 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 四、利用平移转化—造桥选址模型(2023.26(2) 典例精讲0 即模型解读 例1[新人教八上P96活动三改编]如图，在河的两岸有A, 情形1：“造桥选址”即两定两动，三线 B两个村庄，河宽为4千米，A,B两村庄的直线距离AB=段和最小（两动点在平行线上且动点 10千米，4，B两村庄到河岸的距离分别为1千米，3千连线垂直于平行线，两定点在平行线 米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，点M为靠近异侧) A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为 辅助线：作平移.如图，将其中一个定点 千米 A沿垂直于平行线的方向向下平移长度 a得A'(去除定长部分影响，促成三点共 线)，连接A'B交直线m于点M';过点 M'作M'N⊥m与直线n交于点N' b 定点A 定点A ●B Nn 例1题图 Mm 练1[2024交大附中四模]如图，在正方形ABCD中，E,F是 定点B 点B 对角线AC上两点（点E靠近点A),且EF=2√2，当BE+ (MN=a) BF的最小值为2√10时，AB的长为 原理：两点之间线段最短 结论：AN+NM+MB=A'M+M'N'+MB≥ A'B+M'N'. 练1题图 例2如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点P,Q分别在情形2：“将军遛马”即两定两动，三线 AB,CD上，PQAD,线段EF在PQ上，且满足EF=1,连段和（或周长）最小.（两定点在动点所 接AE,CF,则AE+CF的最小值为 在直线同侧，动点间距离为定长)》 D 辅助线：作对称+平移.作点B关于直 线m的对称点B',将点A向右平移距 离a得A',连接A'B'交直线m于点Q, 例2题图 将点Q'向左平移距离a得P' 练2[2023陕西26(2)题改编如图，在矩形ABCD中，AB= 定点A 定点4定点4 60,点F,E分别在AD,BC上，AF=BE=80,FD=CE=40. 定，点B 川定点B 半径为10的⊙0在线段EF上移动，并与EF交于点M (M在圆心O的下方，圆心0在EF上)，N为⊙0上任意 Pp'QXm O 一点，连接AN,CM,则AN+CM的最小值为 (PQ=a) 定点B 原理：两点之间线段最短 结论：AP+PQ+QB=A'Q+P'Q'+QB≥ A'B'+P'Q'. E 练2题图 分层突破题位题·陕西数学 57 五、点圆、线圆最值模型 类型①点圆最值(2023.26(2)；2021.13；2018.25(3) 典例精讲 颶模型解读 例1一成名原创假日小红一家三口乘坐如图①所示的摩 (一)点圆最值 天轮游玩，图②为其示意图，摩天轮的中心记为点0，小 已知：⊙0的半径为r,A是平面内一定 红和爸爸乘坐一轿厢（看作点P),妈妈所站位置为点M, 点，P是圆上一动点，确定PA的最值 N为摩天轮上最外沿一点，且MW与地面垂直，ON与地 方法：“一箭穿心”定交点P,“近点”有 面平行.已知点0到地面的距离为40m,摩天轮直径为 最小值，“远点”有最大值 60m.则妈妈和小红的最远距离为 m,最近距离 点A在圆内 为 m. 0 最大值：r+OA(即AP2) 最小值：r-OA(即AP) 图① 图② 点A在圆外 例1题图 例2在平面直角坐标系中，A(-4,0),B(0,2),以AB为直 径作⊙M. (1)如图①，C是⊙M上一点，坐标为(-2，√5+1)，点D 最大值：r+OA(即AP2) 在⊙M上，则CD的最大值为 ,最小值为 最小值：OA-r(即AP) 原理：真径是圆内最长的弦 10 图① 图② 例2题图 (2)如图②，C是⊙M内一点，坐标为(-2,2)，点D在⊙M 上，则CD的最小值为 最大值为 例3如图，点P为⊙0上一动点，点A为圆内一点，且满足 拓展—夹角问题 已知：点A是⊙0外一点，点P在⊙0 2OP=2,当∠P最大时，则AP的长是 上，当∠PAO最大时，确定点P的位置 图示： 4 例3题图 结论：当AP'与⊙0相切时，∠P'A0 最大 证明过程：作OQ⊥AP交AP的延长线 于点Q,则00≤，in∠PA0=09≤ OA 0当00=r时，点P与点p'重合， ∠PAO最大，此时AP和⊙O相切. 58 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 类型2)线圆最值(2023.26(1)；2019.25(3)；2018.25(2)) 典例精讲0 (二)线圆最值 例4如图，AB是⊙0的弦，C是⊙0上一动点，连接AC,已知：⊙0的半径为r,圆心0到定直 BC,若⊙0的半径为5，AB=8,则△ABC面积的最大值线m的距高为d,点P是⊙0上一动 为 点，确定点P到直线m的最值 方法：过点0作m的垂线，交⊙0于点 P,交直线m于点M. 0. 线圆相离 B 最大P 动，点P 例4题图 动点P 最小P O M m 例5一成成名原创如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A= PQ最大=d+r PQ最小=d-r 60°，M是AD边的中点，⊙M经过点A,点N为⊙M上 (PQ≤PM≤OM+ (PQ≥0Q-0P≥ 动点，连接BN,CW,则点N到直线BC距离的最小值 OP=d+r) OM-OP=d-r) 为 ,△BCW面积的最小值为 线圆相切 线圆相交 最大P 最大P2 动点P 动点D 0 0 M 冰漾 Q最小p m B 例5题图 PQ大=2r PQ最大=d+r PQ最小=0 PQ最小=0 依据1：垂线段最短 依据2：三角形三边关系 7综合训练 1多解法)[2021陕西13题3分]如图，正方形ABCD的边长为4，⊙0的半径为1.若⊙0在正方形 ABCD内平移（⊙0可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 D 0 0 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，AB=4,BC=2,∠ABC=90°，半径为1的⊙O在斜边AC上滚动，点D是⊙0 上一点，则四边形ABCD的最大面积为 分层突破题位题·陕西数学 59 六、辅助圆模型(8年3考) 类型①》定点定长 典例精讲 颶模型解读 例1[2025高新唐南中学七模]如图，在平行四边形ABCD如图，点A为定点，点B为动点，且AB 中，AB=4,AD=4√3，∠B=60°，点E是线段BC上一动 长度固定，则点B的轨迹是以点A为 点，连接AE,将△ABE沿着AE翻折，得△AFE,连接 圆心，AB长为半径的圆，此模型称为 CF,DF. “定点定长”模型 (1)画出动点F的运动轨迹； B (2)则△CDF面积的最小值为 模型总结 等距成圆 折叠成圆 例1题图 条件： 条件：点P在BC 0A=0B=0C 边上，沿AP折叠 △ABP D B P 旋转成圆 斜边中点 例2如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别在 条件： 条件：AB为定 旋转△ABC AB,AD上，且EF=6,点M是EF的中点，连接CM. 长，C为AB的中 点，点A,B在射 (1)画出点M的运动轨迹； 线OM,ON上滑 (2)CM的最小值为 M L A BN 例2题图 60 分层突破题位题·陕西数学