7.专题六 二次函数综合题 一阶全角度突破设问-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·二轮复习·分层突破题位题

一战成名目 专题六二次函数综合题 (2025年第8,25题) 日阶全角度突破设问 一、二次函数的性质与计算（必考） 典例精讲⑦ 例1[2023陕西8题改编]在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过 点(0,6)，其对称轴在y轴左侧. (1)求该二次函数的表达式： (2)画出该二次函数的图象，并写出该二次函数的两条性质； (3)直接写出该二次函数图象向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度后，顶点在哪个 象限 7654 987 4 引 方6古4古之1立方4方678元 -2 -3 例1题图 分层突破题位题·陕西数学 33 例2多解法[2023陕西副题8题改编]如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几 组对应值： -3 0 3 5 16 -5 -8 0 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是 (填序号) ①图象的顶点在第一象限：②有最小值-8；③图象与x轴的一个交点是(-1,0)： ④图象开口向下：⑤若点A(-1,y,),B(2,y2)和C(6,y3)在该函数的图象上，则y2<y,<y3· 思维点拨 解法1：求表达式→看到表格中点坐标想待定系数法求表达式，利用二次函数性质来判断； 解法2：画草图法→依据表格中点坐标画出该函数图象草图，通过图象性质来判断. 例3[2025西安市新城区二模]已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3(a是常数，且a≠0)，当x<-3时，y 随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为 A.4 B.-4或1 G.-4 D.1 攻思维点拨 ①找对称轴：对称轴为直线x= 4a =-2; 2a ②确定开口方向：当x<-3时，y随x的增大而减小→a>0: ③求a:-1≤x≤1整个区间在对称轴的右边，此时y随x的增大而增大，当x=-1时，y取最小值为 -1,代入表达式，可求得a. 例4[2025陕师大附中七模]已知抛物线y=x2+mx+m,当x<1时，y的值随x值的增大而减小，则该 抛物线的顶点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 …汝思维点拨 ①找对称轴：时称轴是直线=分： ②确定m的取值范围：a=1>0,开口向上，x<1时，y的值随x的增大而减小，结合增减性确定m的 取值范围； ③撕顶点象限：通点金标为（受，？加）.表据m取值范偶，判新碳点泉限 34 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 二、二次函数实际应用问题 突破设问1待定系数法求表达式（必考） 典例精讲 例[2025榆林市靖边县联考卷]果树拉枝的作用是通过调整枝条生长方向和树形结构，实现营养与 生殖生长的平衡，从而提升产量和果实品质.果树右侧的枝条经过拉枝后近似呈抛物线形.经过 拉枝的枝条抽象成如图所示的抛物线，OA为果树主干，BC为拉枝的绳子，AO与BC均与地面 在直线为x轴，0A所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，卫 m,点B到)轴的水平距离为m,范物线的对称轴为宜线=1，求抛物线的表达式 25 女思维点拨 y/m ①0A=三m 4 B →点A的坐标为0， E 4 ②BC=祭m,点B到轴的水平距高为 3 一点的坐标为停瓷》 C x/m 例题图 44-小小4-小2一4小44-小小2 分层突破题位题·陕西数学 35 突破设问2与抛物线上点有关的计算（长度、面积）(2025~2022.25(2)) 典例精讲) 例1元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线形灯链，最初的设计方案如图①所示，灯链两端连接 A,B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，OC所在的直 线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线表达式为y=0.03x2-0.3x+3,但 实际实施方案后发现最低点M过低.莉莉将方案进行修改，如图②，将图①中灯链的最低点固定 在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线，若图②中两个最低点 E、F的距离为4米，求修改方案后最低点提高了多少米？ 攻思维点拨 例1题图① 分别求出yw和 E、F的距离为4米， yE,相减即可 拋物线AN段对称轴为直线 x=x,一2，表达式可求 C 例1题图② 36 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 例2如图，是某企业一面外轮廓为抛物线形(OCA)的文化墙，该文化墙的最高点C到地面的距离 BC-号，文化墙在地面上左右两端的聪离OA-8m,现要在速面上裁划出菱形DBC区蚊，用 于展示企业的发展历史，墙面剩余部分用于企业文化宣传.现以墙边左端点0为原点，水平地面 OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知展 示企业发展历史区域（即菱形DBEC)的涂料价格是30元/2，则购买该区域的涂料需要花费多 少元？ 女思维点拨 ①该文化墙的最高点到地面 辅助线作法 8 的距离BC=m,0A=8m S线形DBEC三 ②求菱形DBEC的面积 例2题图 分层突破题位题·陕西数学 37 三、二次函数与几何综合题 突破设问1线段、面积问题(2018.24) 典例精讲刀 例[2017陕西副题25题改编]如图，已知抛物线L:y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，连接AC、BC. (1)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M,使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标：若 不存在，请说明理由。 攻思维点拨 辅助线作法 ①已知y=x2-2x-3=(x+1)x-3)A(-1,0),B3,0), C(0,-3) AM+CM的最小AO B ②要使△ACM周长最小，AC是定值为BC的长 值，转化为求AM+CM的最小值 例题图 (2)在抛物线L上是否存在一点N,使Sc=2 SC？若存在，求出点V的坐标；若不存在，请说 明理由 攻思维点拨 辅助线作法 求SAARCT=2S△cN 即70Cx4=2x70Ck, N →令xv=2即可求解 例题图 38 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 女归纳总结 1.线段问题： ①定线段长：利用坐标差/勾股定理/全等/相似求解； ②线段（和差）最值：利用“将军饮马”“造桥选址”等模型解决 2.面积问题： ①当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴（如图①）：通常将坐标轴上的边或平行于坐标轴的 边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式直接求解； ②当三角形的三边均不与坐标轴平行时：一般用割（如图②）补（如图③/④）法转化为面积的和或 差来求解 R D A -E C F D 图① 图② 图③ 图④ 1 解法1： 解法1： Sac=2AB·CH SAABC =S矩形DBE SABc=SAACD,+S△cBm, SAABC=S△ACn,-S△cBD, SABD-S△ABc-S△BFC =2(xa-x)(ye-y） 1 1 =2xen,ay） =20ny)(xe) SAD=2DE FG 解法2： 2(yne)(xe-xg) 1 SAAc=SAARDA,+S△CBm, =2(0n-yz）·lxp 1 77%0) =2(n,yc)(xa-) 解法2： SAAnC=SACD,-S△ABn, 1 =2(0ny)(e） 2（yn,y4)(xg-x) 2（n,y)(xcxB)】 分层突破题位题·陕西数学 39 突破设问2特殊三角形存在性问题 典例精讲7 I.等腰三角形存在性问题 例1如图，点A坐标为(1,1)，点B坐标为(4,3)，在x轴上取点C,使得△ABC是等腰三角形，则点 C的坐标为 B A 0 例1题图 文归纳总结 解法1：代数法求点坐标 设，点C的坐标，根据A,B,C的坐标表示出线段AB,BC,AC的长，由AB=BC,AB=AC,BC=AC,求解出 点C坐标 解法2：数形结合法 （1)“两圆一线”定点的位置：如图①，①AB为腰时：分别以A,B为圆心，AB长为半径画圆，与x轴交 于点C,此时点C有4个；②AB为底时：作AB的垂直平分线，交x轴于点C,此时点C有1个 注：若有三点共线的情况，则需排除 y B C CHC,元 图① 图② (2)计算点的坐标：以AB为腰且A为顶点为例，如图②，作AH⊥x轴于H,构造直角三角形，通过勾股 定理(AH+HC2=AC2=AB2)求解出，点坐标. Ⅱ.直角三角形存在性问题 例2如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(1,1)，点B坐标为(5,3)，在x轴上找一点C,使得 △ABC是直角三角形，则点C的坐标为 B 0 例2题图 40 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 文归纳总结 解法1：代数法求点坐标 设，点C的坐标，根据A,B,C的坐标表示出线段AB,BC,AC的长，分别列方程BC2=AB2+AC2,AC2= AB2+BC,AB2=BC+AC,求解出，点C坐标 解法2：数形结合法 (I)“两线一圆”定点的位置：如图①，分三种情况.①∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点 即为所求点C;②∠B为真角，过点B作AB的垂线，与x轴的交，点即为所求点C:③∠C为直角，以 AB为直径作圆，与x轴的交，点即为所求，点C(直径所对的圆周角为直角). C3( o c C O FC 图① 图② (2)构造三垂直计算点的坐标：以∠BAC,为直角为例，如图②，构造Rt△ABE和Rt△AC,F,通过 AE BE △MBE一△CAK,可得C,求出点C坐标 突破设问3相似三角形存在性问题（含全等、位似)(2021.25；2020、2019.24) 典例精讲刀 例在平面直角坐标系中，有点A(4,0),B(0,2),点C在x轴上（不与点A重合），当以B,0,C三点 为顶点的三角形和△AOB相似时，点C的坐标为 画图区 文归纳总结 △A0B∽△COD 不需要分类讨论 △AOB与△COD相似 ∠AOB=∠COD AO边对应C0边 第一步：找等角常见的找等角的情况： ①找90°等角；②找对顶角； 审题 ③找共角.如∠AOB=∠COD. △AOB与△COD相似 分类 讨论 第二步：分类讨论：若LAOB=∠COD 则分△AOB∽△COD和△AOB ∽△DOC两种情况，根据“两 边对应成比例且夹角相等”列 关系式 找一组等角，分类讨论等角两边分别相 △A0B与△C0D全等 分类 等.即若∠AOB=∠COD,则讨论AO=D0, 根据边相等求解 讨论 OB=0C和A0=C0,OB=OD两种情况 分层突破题位题·陕西数学 41 突破设问④特殊四边形存在性问题 典例精讲刀 例在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(5,3),C(3,5),D是平面内一点，若以A,B,C,D为顶点 的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 画图区 交归纳总结 类型 问题 找点 点坐标 已知平面内不共线三个点构造已知边的对边，平行且等 对边水平距离相等和竖直距 A,B,C,求一点P,使得以于已知边，确定第四个点 离相等： 三定 A,B,C,P四个点为顶，点的 一动 四边形是平行四边形 4 B C BXA-XB 已知平面内两个，点A,B, (xA-XB=xp-xc, 分两种情况讨论：①若AB为 求两点P,Q,使得以A,B, 平行四边形的边，将AB上下 ya-Yn=YD-Yc, P,Q四个，点为顶，点的四边 对角线互相平分（利用中，点 左右平移，确定P,Q的位置； 形是平行四边形（题目中 坐标公式)： ②若AB为平行四边形的对 两定 P,Q的位置有具体限制) 角线，取AB中点，旋转经过 两动 A。 中点的直线确定P,Q的位置 ·B (xA+xC=xB+xD, (ya+yc=y8+yp 判定菱形时，在平行四边形的基础上满足一组邻边相等或对角线互相垂直即可； 判定矩形时，在平行四边形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等即可； 判定正方形时，在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等，在矩形的基础上满足对角线互 相垂直或一组邻边相等即可 42 分层突破题位题·陕西数学一战成名新中考 :∠DBA=∠AED .AE=BE, .∠AED=∠ACB; .四边形ADBE是⊙O的内接四边形 (2)解：解法1：如解图①，过点A作AF⊥DE于点F, .∴.∠DBE+∠DAE=180°. 由(I)知，∠ACB=∠DBA=∠AED, ∠EAF+∠DAE=18O°，.∠DBE=∠EAF. .tan∠ACB=2,∴.tan∠DBA=tan∠AED=2, (BD=AF. 六在R△DBA中，an∠DBA=-A D2, 在△DBE和△FAE中，∠DBE=∠FAE. BE=AE BD=6,.AD=12, .△DBE≌△FAE(SAS), ∠BAE=45°，.∠BDE=45° :∴.DE=FE,∠BED=∠AEF ∠BDA=90°=∠BDE+∠ADE, :.∠AEF+∠DEA=∠DEF=∠BEA=90°， ∴.∠ADE=45°，△ADF是等腰直角三角形， 又.·∠ADE=∠ABE=45°， ∴.AF=DF=6N5 :.△DEF是等腰直角三角形 在△4F中，am∠40号-2E那=3迈， .·DF=DA+AF=18 DE=FE=9 ∴.DE=DF+EF=9√2： 解法2：如解图②，延长DA到，点F,使得AF=BD,连接 BE.EF, 由(1)知，∠ACB=∠DBA=∠AED, :tan∠ACB=2,.tan∠DBA=tan LAED=2, AD .在Rt△DBA中，tan∠DBA BD 2, B .BD=6,∴.AD=12,AF=6 图① 图② .·AB是⊙O的直径，·.∠BEA=∠BED+∠DEA=90° 第8题解图 ∠BAE=45°∠ABE=45°：」 专题六二次函数综合题 一阶全角度突破设问 性质：①函数图象的开口向上；②函数图象经过第一、 一、二次函数的性质与计算 二象限；③图象的对称轴为直线x=-3 ;④图象的顶 例1解：(1)由题意可得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2, :二次函数y=x2+mx+m2-m图象的对称轴在y轴 点坐标为（子 ):⑤当<-3时，y随x增大而减 2 左侧， 2<0,即m>0m=3 小：当时，y随x增大而增大：⑥函数的最小值 .该二次函数的表达式为y=x2+3x+6: 为宁：（写出任意两条即可 (2)画出该二次函数的图象如解图， (3)第一象限 例2③⑤【解析】解法1：求表达式：设二次函数的表达 9a-3b+c=16, 式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意知{c=-5, 解 9a+3b+c=-8, a=1, 得b=-4,.二次函数的表达式为y=x2-4x-5=(x- c=-5 5)(x+1)=(x-2)2-9,.函数的图象开口向上，顶点 坐标为(2，-9)，图象与x轴的交点是(-1,0)和(5， 0).顶点在第四象限，函数有最小值-9，③正确， ①②④错误，.·抛物线的对称轴为直线x=2,图象开 6就 口向上，y2最小，1-1-21<16-21，y1<y3,.y< 例1题解图 y1<⑤正确 参考答案与重难题解析·陕西数学 63 解法2：画草图法：根据表格中的点画草图如解图， ∴.点M到0C的距离为2.25米，点N的坐标为(5， 由解图可知③⑤正确 2.7),令x=0,得y=3,.A(0,3), ·图②中两个新抛物线对称，且两个最低点E、F的 6 水平距离为4米， ∴.左边AV段新抛物线的对称轴为直线x=5-2=3, 3 设左边AW段新抛物线的表达式为y=m(x-3)2+k, 4567891 将点A(0,3),N(5,2.7)代人y=m(x-3)2+h, 得m0-3》+=3.年得=006， (m(5-3)2+k=2.7, (k=2.46 .AW段新抛物线的表达式为y=0.06(x-3)2+2.46, 即点E(3,2.46), 8 ∴.2.46-2.25=0.21（米）. 例2题解图 答：灯链最低点提高了0.21米。 8 例3D【解析】二次函数y=ax2+4ax-a2+3的对称轴为直 例2 解：由题可得抛物线的顶点C坐标为(4，了)，设抛物 线x=-4 =-2,当x<-3时，y随x的增大而减小 线的表达式为y=a(x-4)°+兮， 8 2a .a>0,,-1≤x≤1，整个区间在对称轴的右边，此时 y随x的增大而增大，∴.当x=-1时，y=-1,a-4a- 将(0,0)代入y=a(x-4)2+8」 得0=a(0-4, a2+3=-1,解得a=1或a=-4(舍去)，即a的值为1. 故选：D. 解得a=-6 例4D【解析】由题意，抛物线为y=x2+mx+m,对称 此抛物线对应的表达式为y= 轴是直线x=受“4=1>0，抛物线开日向上 如解图，连接DE交BC于点F. 当K受时y随x的增大而减小又：当x<1时，) :四边形DBEC是菱形，BC=8 m, 的值随值的增大而减小一受≥1m≤-2又： ∴.DE⊥BC,BF=CF= 4 3m, m=(+受牙+m顶点的纵坐标为 :点D和点5的纵坐标均为手， m=子(m-2)21:当m≤-2时，预点纵坐标 令石x-4号号解得=42E 随m的增大而增大，.当m=-2时，纵坐标最大为 ∴.DE=4+22-(4-22)=42(m), mm -3.又顶点坐标为(-7,4+m),顶点在第四象 sc=Ec宁4xg-l62 33(m), 限故选：D. 二、二次函数实际应用问题 30x16,5-1602(元). 3 突破设问1待定系数法求表达式 :购买该区域（即菱形DBEC)的涂料需要花费 例解：设a(-1产，范40马.B号尝代Ay 5 160√2元. a(x-1)2+k, 4 得 解得 4。 25 3 h= B 18 2 例2题解图 箱物线的表达式为y子一1+号 2 三、二次函数与几何综合题 突破设问2与抛物线上点有关的计算（长度、面积）突破设问1线段、面积问题 例1解：y=0.03x2-0.3x+3=0.03(x-5)2+2.25,即点M例解：(1)存在，：抛物线L的表达式为y=x2-2x-3, 的坐标为(5,2.25)， 易得A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), 64 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 如解图①，·抛物线的对称轴为直线x= 2=1,点AB 点在第四象限 2 3.D【解析】.·二次函数y=ax2-4ax+2a的图象经过y轴 关于对称轴对称 的正半轴2a>0,即a>0图象开口向上，4a- 2a 2,二次函数图象的对称轴是直线x=2.x1+x2≥4，x <x2,.,-2≥2-x1.点A到对称轴的距离小于或等于 B 点B到对称轴的距离∴y1≤y 4.D【解析】小y=mx2-2mx+5=m(x-1)2+5-m,.顶点 A(1,5-m),:抛物线L,与抛物线L,关于点B(-1,0)成 C 例题解图① 中心对称，.抛物线L,与抛物线L,的开口大小相同，方 当，点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小 向相反，顶，点为(-3，m-5),∴.抛物线L,的表达式是：y= 设直线BC的表达式为y=kx+t(k≠O), -m(x+3)2+m-5,.抛物线L,经过，点A,∴.5-m=-16m+ 则将B,C两点坐标代入，得3+1=0， 解得 k=1, 5 m-5,解得m=-7 t=-3, t=-3. .直线BC的表达式为y=x-3. 5.C【解析】由题意可得：二次函数图象的对称轴为直线x 当x=1时，y=-2. 4+6-1,当，<，<时，恒有>y>3函数值先 .抛物线L的对称轴上存在点M(1.,-2),使△ACM周 长最小： 增大，后减小，1，x在对称轴的两侧，图象的开口向 (2)存在，如解图②，设N(x,x2-2x-3) 下，故A选项错误；当x<1时，y随x的增大而增大，当 >1时，y随x的增大而减小，故B选项错误：.图象上的 点离对称轴越远，函数值越小>1，，+，>2，故 2 C选项正确：条件不足，不能求出函数的最大值为7，故D 选项错误 6B【解析1①：抛物线的对称轴为直线x=名-26 例题解图② -4a,即4a+b=0,故本结论正确：②：当x=-3时，y<0, A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), .9a-3b+c<0,即9a+c<3b,故本结论错误：③抛物线与 .AB=4,OC=3, x轴有两个交点，.b-4ac>0,故本结论正确；④对称 5e=寸h,0-=74x3=6 轴为直线x=2,..当-1<x<2时，y的值随x值的增大而 增大，当>2时，y随x的增大而减小，故本结论错误； SAABC=2S△cv, ⑤.·抛物线的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为 2×20C1x=6,即1x=2,解得x=2或x=-2. (-1,0),.抛物线与x轴的另外一个交点为(5,0)，当 函数值y<0时，自变量x的取值范围是x<-1或x>5,故 当x=2时，x2-2x-3=-3,此时N,(2,-3): 本结论正确。 当x=-2时，x2-2x-3=5,此时N2(-2,5). 7.D【解析】根据题意和平移法则可知L':y=-2x2+4nx 综上所述，符合条件的点N的坐标是(2，-3)或(-2,5)： 3n2-4+2=-2x2+4nx-3n2-2,L':y=-2x2+4nx-3n2-2= 突破设问2特殊三角形存在性问题 -2(x-n)2-n2-2,.抛物线L'的顶点坐标为(n,-n2-2), 倒1（1-25.0或1+25.0支2.0或6.0或2o n>0,-n2-2<0,∴.抛物线L的顶点一定在第四象限. 8.D【解析】A.由表可知，当x逐渐增大时，y的值先变大 例2（号0或（号0）或(2.0)或(4,0) 再变小，.a<0,图象的开口向下，故不正确；B.根据x= 突破设问3相似三角形存在性问题（含全等、位似） -3,y=6和x=7,y=6,可知二次函数图象的对称轴为直 例(-4,0)或(-1,0)或(1,0) 线x=37-2,故不正确：C.图象的开口向下，对称轴 2 突破设问4特殊四边形存在性问题 为直线x=2,.当x>2时，y随x的增大而减小，故不正 例(7,6)或(-1,4)或(3,0) 确；D.由题意可知，x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的最 二阶对接中考 4ax=1时y=6,如c- 大值为y=4ac-b 4a 2>k,a<0, 1.2(答案不唯一) 2.D【解析】小：抛物线y=ax2-2ax+a2-1的对称轴为直线 ..4ac-b2<4ak,..b2>4a(c-k),故正确 =名1.且当0时>0当2时0，又：当 9.C【解析】画y=x2-4x=(x-2)2-4的草图如解图，对称 轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-4)，：x=-2时，y取最 1<x<2时，y<0,.当x=2时，y=0,x=1时，y<0,.顶 大值为12，点(-2,12)关于对称轴x=2对称的点的坐标 参考答案与重难题解析·陕西数学 65