6.专题五 圆的综合题 二阶对接中考-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·二轮复习·分层突破题位题

一战成名新中考 目阶对接中考 类型①非切线圆的证明与计算(2023.24) 2.如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上的一点，过 1如图，⊙0为△ABC的外接圆，AD为⊙0的直 点C作CD⊥AB,交⊙O于点D,交AB于点E, 径，交BC边于点E,且AB=AE. 连接AC,BD,过点C作CF⊥BD于点F,交AB (1)求证：∠BAD=2∠CAD: 于点G. (2)若AB=7,CE=3,求⊙0的半径 (1)求证：AC=CG: (2)若CD=8,0G=1,求⊙0的半径. 0 D 第1题图 B 第2题图 分层突破题位题·陕西数学 29 3.「2025铁-中四模]如图，⊙0是△ABC的外接 类型2》切线圆的证明与计算(2025、2024、 圆，D是直径AB上一点，CD LAB,∠ACD的平 2022、2021.24:2020～2018.23) 分线交AB于点E,交⊙0于另一点F 4.[2025高新一中八模]如图，在△ABC中，AB= (I)多解法求证：FA=FE; AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D (2)若FM⊥AB,垂足为M,OM=OE=1,求AC 作⊙O的切线，交AB于点E,延长BA交⊙O 的长 于点F (1)求证：DE⊥AB: DI （2)若4=10，mg=号求o0的半径 F 第3题图 D 第4题图 30 分层突破题位题·陕西数学 一战成名新中考 5.[2025交大附中五模]如图，AB为⊙0的直径，6.[2025铁一中十模]如图，⊙0的内接四边形 点C在⊙0上，∠ACB的平分线交⊙0于点 ABCD中，AD=BC,AB是直径，过点C作⊙O D,DE是⊙O的切线，交CB的延长线于点E. 的切线交AB的延长线于点P,延长DO交⊙O (1)求证：DE∥AB: 于点E,连接PE (2)若AC=12,BC=5,求CD的长 (1)求证：PE是⊙0的切线； (2)若BP=2,CD=2,求⊙0的半径. D 第5题图 E 第6题图 分层突破题位题·陕西数学 31 7.[2024陕西副题24题8分]如图，⊙0是△ABC8.城成名原创如图，AB是⊙0的直径，D是 的外接圆，∠ABC=90°，BD是⊙0的直径，作 ⊙O上一点，连接AD并延长与切线BC相交 直线BE,使∠ABE=∠C,并与DA的延长线交 于点C,E是⊙0上另一点，且∠BAE=45°，连 于点E. 接BD、DE. (1)求证：BE是⊙O的切线； (1)求证：∠AED=∠ACB; (2)当AB=16,BC=12时，求DE的长. (2)多解法若BD=6,tan∠ACB=2,求DE 的长 0 B 第7题图 0 第8题图 32 分层突破题位题·陕西数学练1解：点E是AB的中点，CD是⊙0的直径， .∴.CD⊥AB,.∠OEA=90°， .CP是⊙O的切线， ∴.CD⊥CP,∠OCP=90°， .·∠A0E=∠POC,∠OCP=∠OEA=90°， .△AE0∽△PC0,P00C AO OE 即A0·OC=OE·OP, 设⊙0的半径为r,则0P=12-r,OA=0C=r, =12-7,解得r=3(负值已舍去)， .⊙0的半径为3. 练2解：解法1：如解图，连接OC,BC,·AB是⊙0的直径 CE是⊙0的切线，.∠ACB=∠0CE=∠E=90°， .∴.∠BCE+∠OCB=90°，∠A+ ∠ABC=90°. .OC=OB,·.∠OCB=∠ABC ∴.∠BCE=∠A=∠D, ·⊙0的半径为5，AC=8 练2题解图 ∴.AB=2×5=10, .BC=V√AB-AC=√10-82=6， BC=sinL BCE-sin A=BC=6=3 CE BE AB105'BC=cos∠BCE =cos A=AC-8 4 AB105 DE=tamD=anA=BC-6、3 C AC 8 4' 3 6BE=3BC=三x6=78 624 .CE-4BC-4> 5 5 5 51 DE=4CE=4×24=32 35=5 :.BD=DE-BE-5-55 321814 :即曲长为若 :解法2点拨：同解法1得∠BCE=∠A=∠D,∠BCA =∠E=90°，BC=6,AB=10,△BECn△BCA,. BE BC EC BE 6 EC AC610g,解得BE=1 5.Rcs 利用三角函数可求出D6=BD=DB-E 24 32 321814 555 二阶对接中考 1.(1)证明：如解图，连接0C、CD, :AC=AC.∠ABE=∠CDE, AB=AE,.∠ABE=∠AEB, .OC=OD,∴.∠ODC=∠OCD ∴.∠ABE=∠AEB=∠OCD=∠CDO .∴.∠C0D=180°-2∠ODC=180°-2∠ABE=∠BAD ○参考答案与重难题 一战成名新中考 .∠COD=2∠CAD,∴.∠BAD=2∠CAD: D 第1题解图 (2)解：设⊙0的半径为T,则0C=0D=r,AD=2r, AB=7,CE=3, .AE=7,DE=2r-7. 结合(1)可知∠CED=∠CDE,∠OCD=∠ODC, CD DE CD=CE=3,△CDE△0CD,OCCD 3-2整理得2-7-9=0. 3 .9 解得12-1（不合题意，舍去）， ©0的羊径为号 2.(1)证明：.AB⊥CD, ∴.∠BED=90°，∴.∠B+∠D=90°， ·CF⊥BD,∴.∠BFG=90°， .∠B+∠BGF=90°，∴.∠BGF=∠D .∠BGF=∠AGC,∴.∠AGC=∠D. .∠A=∠D,∴.∠A=∠AGC,∴.AC=GC: (2)解：如解图，连接C0, B 第2题解图 .AB⊥CD,AC=GC,.AE=GE CDLAB,AB为⊙0的直径，CD=8CE= 2CD=4, 设OE的长为x,则AE=GE=x+1. .C0=A0=AE+0E=2x+1, 在Rt△0CE中，0E2+CE2=C02. .x2+42=(2x+1)2, 整理得，(3x-5)(x+3)=0, 解得x1= 36=-3(不合题意，舍去)， 5 C0=2x+1=3⊙0的半径为号3 3.(1)证明：证法1：.·CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE .AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACF+∠BCE=90°， .CD⊥AB,.∠CDE=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°， ∴.∠BCE=∠CEB, ∠FAB=∠BCE,∠AEF=∠BEC,∴.∠FAE=∠AEF. ∴.FA=FE; 解析·陕西数学 61 证法2：如解图，连接BF」 .AB是⊙0的直径，.∠AFB=90°， .CE平分∠ACD,.∠ACE=∠DCE, .∠ACE=∠ABF=∠DCE, .·CD⊥AB,∴.∠CDA=90° ∴.∠EAF=90°-∠ABF=90°-∠DCE=∠CED=∠AEF FA=FE: (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE,∴.BE=BC, .·OM=OE=1,AF=EF,FM⊥AB, ∴.MA=ME=2,.∴.AE=4. ∴.0A=OB=AE-0E=3, .BC=BE=0B-0E=2. 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90° .AC=VAB-BC=√6-2=42. A 0 D 第3题解图 第4题解图 4.(1)证明：如解图，连接OD,·DE是⊙0的切线 .DE⊥OD, .·AB=AC,∴.∠B=∠ACB .·OC=OD.∴.∠ODC=∠ACB,∴.∠B=∠ODC, .OD∥AB,.DE⊥AB: (2)解：如解图，连接CF,·AC为⊙0的直径， .∴.∠BFC=90°， 2 CF 2 .tan B=- BF3,设CF=2,则BF=3x, ∴.AB=3x-10,∴.AC=3x-10. 在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2, 即(3x-10)2=102+(2x)2, 解得x1=0(不合题意，舍去)，x=12, .AC=3x-10=26,.⊙0的半径为13 5.(1)证明：如解图，连接OD,,AB为直径，∴.∠ACB=90° ·CD为∠ACB的平分线 .∠ACD=∠BCD=45°， .∠A0D=2∠ACD=90°. ·DE为切线，OD为半径 ∴.OD⊥DE,∴.∠ODE=90°， .∴.∠AOD=∠ODE,∴.DE∥AB: (2)解：如解图，过B作BH⊥CD,垂足为H,连接BD, AC=12,BC=5,∠ACB=90°， AB=ACBC=13.0B=0D= 13 .·∠BOD=2∠BCD=90°. 六△B0D是等腰直角三角形，BD=V2OB=132 2 .·∠BCH=45°，∠BHC=90°， 62 参考答案与重 △BCH是等腰直角三角形，BM=CH= 5√2 2 BC= 2 DH=BD6 CD=DH+CH=17 2 D 第5题解图 第6题解图 6.(1)证明：如解图，连接0C, .PC是⊙0的切线，.∠PC0=90°， AD=BC,.AD=BC,.∠AOD=∠B0C, .·∠AOD=∠BOE,.∠BOC=∠BOE, OC=0E. 在△PC0和△PEO中」 ∠COP=∠EOP, OP=OP. ∴.△PCO≌△PE0(SAS), .∴.∠PE0=∠PC0=90°， .OE是⊙0的半径，∴.PE是⊙O的切线： (2)解：如解图，连接CE,易得CE⊥OP, ∴.∠OEC+∠E0P=∠EOP+∠EPO=90° ∴.∠OEC=∠EPO,即∠CED=∠OPE, DE是⊙0的直径，.∠DCE=LOEP=90°， CD DE 2 2E0 △CDE∽△EOP,EOOP÷E0B0+2' .∴.E0=2,即⊙0的半径为2. 7.(1)证明：，BD是⊙0的直径 ∴.∠BAD=90°，∴.∠D+∠ABD=90°， AB=AB,∠D=∠C=LABE, ∴.∠ABE+∠ABD=90°， 即∠EBD=90°， ·BD是⊙O的直径，.BE是⊙O的切线： (2)解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=16,BC=12, 由勾股定理得，AC=√AB+BC=√16+12=20， ,·∠ABC=90°，∴.AC为⊙0的直径 BD是⊙0的直径，.BD=AC=20,∠BAD=90°， 由勾股定理得，4D=√BD-AB=√20-16=12， 由(1)知∠EBD=90°，：∠EBD=∠BAD=90°， 又：∠D为公共角，△BDA一△EDB.ED-BD BD AD “0G20D6=10 2012 3 8.(1)证明：，AB是⊙0的直径， .∠BDA=∠BDC=90°. ∴.∠ACB+∠CBD=90°， .·BC是⊙O的切线. ∴.∠CBA=90°=∠CBD+∠DBA, ∴.∠ACB=∠DBA, 难题解析·陕西数学 一战成名新中考 .∠DBA=∠AED ..AE=BE, .∠AED=∠ACB; .·四边形ADBE是⊙O的内接四边形 (2)解：解法1：如解图①，过点A作AF⊥DE于点F, ∴.∠DBE+∠DAE=180° 由(I)知，∠ACB=∠DBA=∠AED, :∠EAF+∠DAE=18O°，.∠DBE=∠EAF. .tan∠ACB=2,∴.tan∠DBA=tan∠AED=2, (BD=AF. 六在△DBA中，an∠DBA=-A D2, 在△DBE和△FAE中，{∠DBE=∠FAE, BE=AE BD=6,∴.AD=12, .△DBE≌△FAE(SAS), ∠BAE=45°，.∠BDE=45° :∴.DE=FE,∠BED=∠AEF ∠BDA=90°=∠BDE+∠ADE, :.∠AEF+∠DEA=∠DEF=∠BEA=90°， .∠ADE=45°，.△ADF是等腰直角三角形， 又.·∠ADE=∠ABE=45°， ∴.AF=DF=6N5 :.△DEF是等腰直角三角形 在△1F中，am∠AD号-2E=35， .·DF=DA+AF=18 :DE=FE=92. ∴.DE=DF+EF=9W2: 解法2：如解图②，延长DA到，点F,使得AF=BD,连接 BE.EF, 由(1)知，∠ACB=∠DBA=∠AED, .tan∠ACB=2,'.tan∠DBA=tan∠AED=2, AD .在Rt△DBA中，tan∠DBA BD 2, B ,BD=6,.AD=12,AF=6. 图① 图② .·AB是⊙O的直径，·.∠BEA=∠BED+∠DEA=90° 第8题解图 :∠BAE=45°∠ABE=45°：」 专题六二次函数综合题 一阶全角度突破设问 性质：①函数图象的开口向上：②函数图象经过第一、 一、二次函数的性质与计算 二象限：③图象的对称轴为直线=一子，④图象的顶 例1解：(1)由题意可得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2, .二次函数y=x2+mx+m2-m图象的对称轴在y轴 点坐标为（一号：⑤当6时魔：增大面减 左侧， 受0.即m0m=3, 小：当时，随x增大而增大：⑥函数的最小值 .该二次函数的表达式为y=x2+3x+6: 为宁：（写出任意两条即可 (2)画出该二次函数的图象如解图， (3)第一象限 例2③⑤【解析】解法1：求表达式：设二次函数的表达 16 9a-3b+c=16, 式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意知{c=-5, 解 9a+3b+c=-8. a=1, 得b=-4,.二次函数的表达式为y=x2-4x-5=(x c=-5, 5)(x+1)=(x-2)2-9,.函数的图象开口向上，顶点 坐标为(2，-9)，图象与x轴的交点是(-1,0)和(5， 0).顶点在第四象限，函数有最小值-9，③正确， ①②④错误，.·抛物线的对称轴为直线x=2,图象开 村6就 口向上，y2最小，1-1-21<6-21，…y1<y3,y2< 例1题解图 y,<y⑤正确 参考答案与重难题解析·陕西数学 63